Vierde beweging · Verschil onthechten

Hoofdstuk 12 — En hij buigt

Logistische regressie: kansen, odds en odds ratio’s

Schets v2 — het slot van deel 1. H10 eindigt op “alles was al die tijd één model”; dit hoofdstuk komt dáárna en is een coda: hij mag één ding doen dat H10 niet deed — laten zien dat de ruggengraat buigt — en dat is genoeg. Registerbewaking: niets in H12 mag harder klinken dan H10 §6.

De dragende lijn van v2 (Bens wens, 20-7): multiplicatief is de motor, niet de bijvangst. De boog: de kraai stelt een vraag met twee antwoorden → de rechte lijn loopt stuk omdat hij optelt (optellen kent geen muur — vandaar 1.269) → het model mag geen ja zeggen, alleen een kans → kansen-wereld blijkt een keer-wereld (odds; verdubbelen en halveren zoveel je wilt, nooit onder nul) → de logaritme als adapter die van keer weer plus maakt, zodat de optel-machine van negen hoofdstukken ongewijzigd kan blijven draaien → coëfficiënten lezen in keer-taal (OR) → schatten primair → de rekening van het hakken, in één toetsfamilie → hij buigt. Bib-eerst uitgevoerd, atomen benoemd in de open punten.

Wat dit hoofdstuk NIET doet (harde rem): Poisson, multinomiaal, ordinaal — deel 2. Ook niet: maximum likelihood als machinerie, pseudo-R², ROC/AUC, classificatietabellen, de LR-toets naast de Wald-toets, de polynoom-als-tussenstap (bewust: een polynoom kent óók geen muren — die ladder leeft in de oefenboek-schil).

1. De nacht van de kraai

Verhaal-stem, herschreven 20-7 na Bens leesronde. Twee reparaties: (1) de scène hield zijn eigen regel achter — de kraai selecteert op wat het licht terugkaatst, niet op wat een steen waard is; die regel is nu één keer zichtbaar gemaakt (“Er kwam iets terug, of er kwam niets terug”) zónder uitleg; (2) “Hij zag ze heel goed” had een vaag voornaamwoord — verankerd op de stenen die hij liet liggen. En de scène mag geen ijzeren wet suggereren: er staat nu expliciet één glimmende steen die hij overslaat en één doffe die hij oppakt (Hans/Dora, ongenoemd) — anders was er straks geen kans-model nodig. Wilde-regel verhaal-stem: verlies mag, ironie nooit. GEEN statistiek.

Verhaal-consistentie, Bens call: deze scène speelt de nacht vóór de diefstal van H4. De kraai pakt er zes óp en legt ze terug; Geer neemt hij later pas echt mee. Zo blijft het kistje van H1–H10 intact (n = 12 overal) en is gepakt geen diefstal maar een oordeel.

De kraai kwam toen iedereen sliep.

De twaalf lagen op een rij op het mos, zoals ze daar sinds de vondst lagen, en de maan stond laag. De kraai liep de rij langs zoals hij alles langsliep: één stap, kop schuin, één stap.

Hij keek niet zoals de olifant keek, die alles zag en alles bewaarde. Hij hield zijn kop scheef en wachtte af wat het maanlicht terugdeed. Wat een steen wáárd was — hoe zwaar, hoe oud, hoe lang hij op de bodem van een meer had gelegen — daar vroeg hij niet naar. Er kwam iets terug, of er kwam niets terug.

Bij de eerste steen bleef hij lang staan. Toen pakte hij hem op, hield hem even vast, en legde hem terug.

Zo ging het de rij af. Sommige stenen liet hij liggen, en het was niet dat hij die stenen niet zag; hij zag ze heel goed. Hij zag dat er eentje zwaar was en oud, en dat er onderin iets moois zat, op de plek waar het maanlicht niet kon komen. Hij liep door.

En één keer, ergens halverwege de rij, deed hij het andersom. Hij stond bij een steen die het licht keurig terugstuurde, wipte van zijn ene poot op de andere — en liep door. Drie stenen verder pakte hij er een op die nauwelijks glansde. Waarom, dat wist alleen de kraai, en misschien wist hij het zelf ook niet.

Bij de zesde die hij oppakte was de maan al gezakt.

Hij kende geen woorden voor wat hij deed. Hij had geen lijstje in zijn kop met eigenschappen, en hij woog niets af. Er was alleen dat ene moment, telkens weer, waarin het lijf van de kraai besloot: oppakken. Of doorlopen.

En de stenen — de stenen wisten van niets. Ze lagen daar met hun gewicht en hun slijpsel en hun scheurtjes en hun namen, en van alles wat ze waren kwam er die nacht maar één ding aan.

Ja. Of nee.

Ja of nee. Daar kunnen we het over hebben.

Want kijk wat er met deze twaalf stenen gebeurd is. Negen hoofdstukken lang heb ik je geleerd om precies te zijn. Karaat tot op de tiende. Glans op een schaal van nul tot honderd. Gladheid, merk. We hebben van Kees uitgerekend hoeveel glans hij tekortkomt, tot achter de komma, en we hebben het nog eens overgedaan met een derde kolom erbij omdat het eerste antwoord te grof was. En dan komt er één kraai langs en van dat hele bouwwerk blijft één bit over.

Dat is niet de kraai die dom doet. Dat is de wereld. Zoek de resultaten-sectie van je vak op en tel mee: hersteld of niet. Terugval of niet. Uitgevallen of niet. Aangenomen, geslaagd, overleden, opnieuw opgenomen. De helft van alles waar mensen onderzoek naar doen heeft maar twee gedaanten, en dat is precies de helft waar dit boek tot nu toe niets over gezegd heeft.

Dus dat gaan we nu doen. En ik zeg het maar meteen, want het is het enige wat je van dit hoofdstuk hoeft te onthouden als je de rest vergeet: dit is geen nieuwe statistiek. Het is de regel van hoofdstuk 10, hetzelfde rechthoekje, dezelfde motor — met één ding ertussen. Aan het eind van hoofdstuk 10 zei ik dat er geen techniek meer bij komt. Dat was waar. Er komt geen techniek bij; er komt een knik bij. De ruggengraat waar dit boek naar vernoemd is krijgt hier zijn laatste eigenschap, en het is de eigenschap die van een stapel botten een ruggengraat maakt.

Hij buigt.

2. De lijn loopt stuk

Laten we het gewoon proberen. Dat is niet retorisch bedoeld — ik meen het: probeer het, want de manier waarop het misgaat is het halve hoofdstuk.

We hebben een kolom die twaalf keer een nul of een één is. Ik noem hem gepakt: één als de kraai de steen die nacht opgepakt heeft, nul als hij doorliep. Zes keer een één, zes keer een nul. En we hebben een voorspeller waarvan je bij een kraai wel iets vermoedt: glans.

**Tabel 12.1.** *De twaalf, gesorteerd op glans, met het oordeel van de kraai.*
naam	karaat	glans	gepakt (0/1)
Anna	0.4	20	0
Bram	0.5	30	0
Cees	0.5	30	0
Dora	0.7	30	1
Kees	1.5	30	0
Else	1.0	50	0
Leen	1.5	50	1
Hans	1.2	60	0
Faas	1.0	70	1
Ida	1.3	70	1
Geer	1.1	80	1
Joop	1.3	80	1

Zet ze op glans gesorteerd en je ziet het zonder rekenen: onderin vooral nullen, bovenin alleen maar enen, en in het midden een rommeltje. Dora is opgepakt en Hans niet, en Hans glanst het dubbele van Dora. Precies wat je van een kraai verwacht — een neiging, geen wet. Kees, voor wie het nog bijhoudt: glans 30, niet gepakt. Zijn anderhalve karaat heeft hem bij de kraai niets gebracht.

Dus doen we wat we sinds hoofdstuk 4 doen — we leggen er een lijn doorheen. De computer rekent de rechthoekjes en geeft:

\[\widehat{\text{gepakt}}_i = -0.269 + 0.01538 \times \text{glans}_i \tag{12.1}\]

En dat wérkt, in zekere zin. Vul glans 50 in: \(0.01538 \times 50 = 0.769\), min \(0.269\) is \(0.500\). Dat leest als een kans, en dat is ook precies wat het is: het gemiddelde van een kolom nullen en enen ís een kans — dat wisten we al in hoofdstuk 9, toen we dummies leerden lezen — het gemiddelde van de dummy-kolom, 0.5, was gewoon het aandeel sterretjes; alleen stond die kolom toen réchts van het isgelijkteken.

Vul nu glans 100 in.

\[-0.269 + 0.01538 \times 100 = 1.269\]

Een kans van 1.269. De kraai pakt hem op met een waarschijnlijkheid van honderdzevenentwintig procent. En de andere kant op is het net zo erg: een volmaakt doffe steen, glans 0, krijgt van dit model een kans van −0.269. Minder dan onmogelijk, wat dat ook zou moeten zijn.

: Figuur 12.1. De twaalf stenen op hun nullen en enen, met de rechte lijn erdoorheen — de roze zones zijn waar een kans niet mag komen, en de lijn loopt er aan beide kanten gewoon in.

Nu kun je hier schouderophalend langslopen — “ja, buiten het bereik van je data moet je niets voorspellen” — en dat is ook waar, maar het is de verkeerde les. Kijk waar de lijn de nul kruist: bij glans 17.5. En de één: bij glans 82.5. Onze allerdofste steen heeft glans 20 en onze felste 80. Het model staat dus niet ergens in een verre uithoek onzin te verkondigen; het staat op nog geen drie glanspunten van Anna en op tweeënhalf van Joop op het punt de wereld te verlaten.

En nu de echte diagnose, want die is belangrijker dan het symptoom. De lijn loopt niet stuk omdat hij te lang is. Hij loopt stuk om wat hij doet. Een rechte lijn is een optel-machine — hoofdstuk 4 zei het al, en ik vond het toen al een heerlijk woord: lineaire regressie is een additieve methode. Per glanspunt komt er 0.01538 bij. Per tien punten: 0.154 erbij. Altijd hetzelfde erbij, waar je ook staat. En optellen kent geen muur. Er bestaat geen getal waarbij “erbij” ophoudt te werken. Bij glans 82.5 staat de teller op één — vol, zekerder kan niet — en de lijn merkt het niet eens. Hij doet er gewoon weer 0.154 bij. Zo kom je aan 1.269: niet door pech, maar omdat je een gereedschap dat eindeloos kan optellen hebt losgelaten op een vraag waarvan het antwoord tussen twee muren woont.

Onthoud die diagnose. Niet “de lijn is te steil” of “de data te smal” — optellen kent geen muur. De rest van dit hoofdstuk is niets anders dan de zoektocht naar een bewerking die wél muren respecteert.

3. Het model mag geen ja zeggen

Voor we gaan repareren, eerst een vraag die belangrijker is dan de reparatie. Wát moet dit model eigenlijk voorspellen?

De verleiding is: ja of nee. Het model kijkt naar de glans en zegt “opgepakt” of “doorgelopen”, en dan tellen we hoe vaak het goed zat. Dat voelt eerlijk — je vraagt een ja/nee-vraag, je krijgt een ja/nee-antwoord.

Maar kijk eens naar twee stenen uit ons kistje.

Else heeft glans 50. Leen heeft glans 50.

De kraai pakte Leen op. Else liet hij liggen.

Wat moet het model nu zeggen als je hem glans 50 voedt? Ja is fout. Nee is fout. Elk stellig antwoord is aantoonbaar, in ons eigen kistje, in de helft van de gevallen mis. Het énige antwoord dat niet gelogen is, is: ongeveer de helft.

En daarmee heb je de belangrijkste zin van dit hoofdstuk al te pakken, dus ik zet hem apart:

Een model over een ja/nee-uitkomst voorspelt geen ja of nee. Het voorspelt een kans.

Dat is niet het model dat zich eruit draait. Dat is het model dat precies weet wat het wel en niet weet. Kijk terug naar hoofdstuk 1: het gemiddelde was de beste gok voor een steen die je nog niet gezien had, en de standaardafwijking zei hoe ver je er gemiddeld naast zou zitten. De gok was nooit een belofte. Hier is het niet anders, alleen ziet de gok er anders uit: bij een getal gok je een getal met een marge, bij een ja/nee gok je een kans.

En hier valt de derde steen van dit boek op zijn plek. Else, de gemiddelde diamant, die in hoofdstuk 1 op precies het gemiddelde lag en daardoor onzichtbaar was — geen vierkantje, geen rechthoekje, nergens een bijdrage. In hoofdstuk 8 bleek ze op gladheid níét gemiddeld te zijn, en werd ze zichtbaar zodra we beter keken. En vannacht was ze weer op een nieuwe manier onmogelijk: op een ja/nee kan niemand gemiddeld zijn. Er is geen halve keer opgepakt. Elke steen deed één van de twee dingen, helemaal, en het gemiddelde van de zes enen en zes nullen — 0.50 — is een getal dat geen enkele steen zelf heeft gehad.

Dat is de tweede helft van wat een kans is, en de reden dat kansen zo moeilijk uit te leggen zijn. De kans woont niet in de steen. Hij woont in de verzameling stenen waar déze steen op lijkt.

Else-boog, derde beat (H1 onzichtbaar op het gemiddelde → H8 “Else staat niet op het gemiddelde”, r271 aldaar — die beat bestáát, maar staat in H8 als [voorstel]; guard j blijft dus staan tot Bens akkoord op de Else-boog. Belofte-boekhouding: dit is een oogst, geen aankondiging — Else is in H1 bewust zónder “onthoud haar” achtergelaten (keuzes §7b).

“De kans woont niet in de steen” is een epigram-kandidaat en concurreert met “als de wereld je een getal geeft, hak het niet doormidden” (§7). Twee kandidaten, Bens call. Quine mag hier onuitgesproken meelopen (wat betékent een kans voor één ding?); niet uitleggen.

4. Van plus naar keer

Goed. Het model moet een kans voorspellen, en een kans zit klem tussen twee muren: nul en één. Onze motor is een optel-machine, en optellen kent geen muur. Dat is het hele conflict, in twee zinnen.

Eén reparatie kun je zelf verzinnen, dus laten we die eerst afvoeren. Je knijpt de lijn gewoon af: alles boven de één maak je één, alles onder de nul maak je nul.

: Figuur 12.2. De lijn na de knip: plat op de vloer, dan klimmen, dan plat tegen het plafond — met de twaalf stenen er nog precies zo bij als in Figuur 12.1.

Kijk er even goed naar, want het is leerzamer dan het lijkt. Je krijgt twee knikken, op glans 17.5 en 82.5 — plekken die uit de rekensom komen en niets met de kraai te maken hebben. En rechts van de tweede knik is álles even zeker: Joop met zijn glans 80 en een denkbeeldige steen van glans 100 krijgen exact dezelfde kans, want het platte stuk is plat. Dat is pertinent onzin — en let op wat je eigenlijk gedaan hebt. Je hebt het optellen niet gerepareerd; je hebt het alleen verboden voorbij een hek. Binnen het hek telt de machine nog precies zo door als eerst, en op het hek zelf houdt de wereld abrupt op met bewegen. De diagnose van paragraaf 2 staat nog fier overeind.

Wat we nodig hebben is geen kortere lijn en geen hek. We hebben een andere bewerking nodig. Niet erbij. Keer.

Dat gaat in twee stapjes, en het eerste stapje beginnen we waar we altijd beginnen: bij de kans, want dat is het enige getal in dit hoofdstuk waar je al gevoel voor hebt.

Stap één: van kans naar odds

odds
odds
\(\text{kans} / (1 - \text{kans})\)
De kans op het één, gedeeld door de kans op het ander. “Vier staat tot één.”

Stel dat de kans dat de kraai een steen oppakt 0.80 is. Dan is de kans dat hij doorloopt 0.20 — die volgt vanzelf, één min de kans. De odds zijn die twee kansen, door elkaar gedeeld:

\[\frac{0.80}{0.20} = 4\]

Vier. Lees het als “vier staat tot één”: op elke vier keer oppakken één keer doorlopen. En doe nu het grensgeval: kans 0.50. Dan staat er \(0.50 / 0.50 = 1\) — precies fifty-fifty betekent odds van één op één. Zit de kans daaronder, dan zakken de odds onder de één: kans 0.20 geeft \(0.20 / 0.80 = 0.25\). De kans op oppakken is dan 0.25 keer zo groot als de kans op doorlopen — kleiner dus, en als dat duizelt zet je er gewoon “staat tot 1” achter: 0.25 staat tot 1.

In formule, en dit is de hele formule:

\[\text{odds} = \frac{\pi}{1 - \pi} \tag{12.2}\]

waarin \(\pi\) de kans is dat het gebeurt. Odds is geen nieuw soort onzekerheid; het is dezelfde informatie als de kans, in een andere taal — de taal van de bookmaker in plaats van die van de kansrekenaar.

Kijk nu wat er met de muren gebeurt, want dáárom staan we hier. De bovenmuur eerst. Kans 0.5 → odds 1. Kans 0.9 → odds 9. Kans 0.99 → odds 99. Kans 0.999 → odds 999. De odds lopen gewoon door, zo hoog als de kans maar wil kruipen: de muur bij één is weg. En de ondermuur? Die staat er nog — maar kijk hoe hij zich gedraagt. Kans 0.05 geeft odds 0.0526. Kleinere kans, kleinere odds: 0.01, 0.001, 0.0001 — de odds worden piepklein, maar ze blijven positief. Altijd.

En een getal dat alleen maar positief hoeft te blijven, dát is een getal waar keer mee overweg kan. Halveer maar eens iets, en blijf halveren: 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625 — je kunt dit tot sint-juttemis volhouden en je duikt nooit onder nul. Waar optellen dwars door elke muur heen marcheert, respecteert vermenigvuldigen de nul uit zichzelf. Gratis. Zonder hek.

Dus zó moet ons model in de kansen-wereld werken: niet per glanspunt iets erbij (dat liep stuk), maar per glanspunt keer een vast getal. Odds omhoog: keer. Odds omlaag: keer een getal onder de één. Waar lineair zich additief gedraagt, gedraagt deze wereld zich multiplicatief — en ik zeg je er eerlijk bij dat ik dit het mooiste moment van het hoofdstuk vind. Optellen is netjes en betrouwbaar en een tikje saai. Op het moment dat je multiplicatief gaat denken, verandert er echt iets in je hoofd. Dit boek doet dat hier voor het eerst.

Stap twee: de adapter

Maar nu hebben we een probleem dat je misschien al zag aankomen. Onze motor — negen hoofdstukken oud, net tot ruggengraat gekroond — is en blijft een optel-machine. \(b_0 + b_1 X\): startpunt, en per eenheid iets erbij. Die machine gaan we niet ombouwen; het hele punt van dit hoofdstuk is dat hij niet vervangen wordt. Dus we hebben iets nodig dat tussen de optel-machine en de keer-wereld in staat en de twee talen in elkaar overzet. Een adapter.

Die adapter bestaat, en hij heet de logaritme. Je hoeft er hier maar één ding van te weten, en dat ding kun je narekenen op je telefoon:

\[\ln(2 \times 3) = \ln(2) + \ln(3)\]

Reken maar na: \(\ln(2) = 0.69\) en \(\ln(3) = 1.10\), samen \(1.79\). En \(\ln(6)\)? Ook \(1.79\). De logaritme maakt van keer plus. Wat in de odds-wereld een vermenigvuldiging is, is in de log-wereld een optelling — en optellen, dát kan onze machine.

\(\ln\) is de natuurlijke logaritme, de omkering van “\(e\) tot de macht” — met \(e\) dat gekke getalletje 2.718 dat je rekenmachine als \(e^x\) kent. Drie ankerpunten: \(\ln(1) = 0\) (het grensgeval komt op nul te liggen), getallen boven 1 worden positief (\(\ln(3) = 1.10\)), getallen tussen 0 en 1 worden negatief (\(\ln(\tfrac{1}{3}) = -1.10\)) — netjes symmetrisch rond de één.

Neem dus de logaritme van de odds — de log-odds, en het deftige woord is de logit:

\[\text{logit}(\pi) = \ln\!\left(\frac{\pi}{1 - \pi}\right) \tag{12.3}\]

Kans 0.5 wordt 0. Kans 0.9 wordt +2.20, kans 0.99 wordt +4.60, en het houdt niet op. Kans 0.1 wordt −2.20, kans 0.01 wordt −4.60, en ook dat houdt niet op. De kans zat klem tussen twee muren; de log-odds loopt van min oneindig tot plus oneindig, met in het midden — waar het fifty-fifty is — keurig een nul.

En dáár, in die muurloze wereld, mag onze rechte lijn weer gewoon een rechte lijn zijn:

\[\ln\!\left(\frac{\pi_i}{1 - \pi_i}\right) = b_0 + b_1 X_i \tag{12.4}\]

Kijk daar even naar en zie wat er níét gebeurd is. Rechts van het isgelijkteken staat exact wat er in hoofdstuk 4 stond. Exact wat er in hoofdstuk 8 stond met meer termen, in hoofdstuk 9 met een dummy, in hoofdstuk 10 met een product-kolom. Geen nieuwe motor, geen nieuwe rechthoekjes, geen nieuwe manier van denken. Er is alleen links iets veranderd: niet de uitkomst zelf staat daar, maar een bewerking van de uitkomst.

Die bewerking heet de link. Zij verbindt de wereld waarin je vraag leeft — een keer-wereld met muren — met de wereld waarin je model leeft, een optel-wereld zonder muren. Het model buigt niet omdat wij het krom hebben gemaakt. Het model is nog steeds kaarsrecht; wij hebben er alleen een vertaler tussen gezet.

link-functie
link function
ook: de vertaler

De link vertaalt de uitkomst naar de schaal waarop het model recht is. Bij een ja/nee-uitkomst is dat de logit — in formulevorm \(g(\pi) = b_0 + b_1X\), waarbij die \(g\) niets anders is dan “reken eerst even om”. Andere soorten uitkomsten hebben andere vertalers, en die komen in deel 2 langs.

: Figuur 12.3. Drie panelen, één model: dezelfde twee getallen van de kraai, alleen de verticale as verandert van taal.

Eén figuur, drie gedaanten van precies hetzelfde model. Rechts de log-odds: kaarsrecht, de optel-machine op zijn eigen terrein. In het midden de odds: de pan uit, want elke stap naar rechts is een vermenigvuldiging — dat is hoe exponentiële groei eruitziet. En links de kans: een S-bocht, onderaan platgedrukt tegen de nul, bovenaan tegen de één, in het midden op zijn steilst. Die S is geen vormpje dat iemand mooi vond. Het is een rechte lijn, bekeken door de vertaling heen.

En de terugweg — van de rechte lijn naar de kans — kan altijd, en levert altijd een echte kans op. Want terugvertalen gaat met “\(e\) tot de macht”, en \(e\) tot de macht wat-dan-ook is nooit negatief. Kijk maar, dit is geen stelling maar een rijtje om even langs te lopen: \(e^{2.48} = 11.9\). \(e^{0} = 1\). \(e^{-2.41} = 0.09\). \(e^{-10} = 0.000045\). Hoe negatiever de macht, hoe kleiner het getal — maar het duikt nóóit onder nul. Wat de lijn ook beweert, hoe diep hij ook afdaalt, de odds die eruit terugrollen zijn positief, en een positieve odds geeft een kans tussen nul en één:

\[\pi_i = \frac{\text{odds}_i}{1 + \text{odds}_i} \tag{12.5}\]

Deel een positief getal door datzelfde getal plus één, en je zit gegarandeerd tussen de nul en de één. De multiplicatieve structuur is precies wat het model binnen de wereld houdt. De rechte lijn van hoofdstuk 4 liep stuk omdat optellen geen muur kent; odds kun je eindeloos verdubbelen en eindeloos halveren zonder ooit de wereld te verlaten. Dát is de reparatie — niet een krommere lijn, maar een andere bewerking.

Voor wie verder wil — de logistische functie, en waarom \(e\). Schrijf formule 12.4 en 11.5 in elkaar en je krijgt de logistische functie, het ding waar de hele techniek naar vernoemd is:

\[\pi_i = \frac{e^{\,b_0 + b_1 X_i}}{1 + e^{\,b_0 + b_1 X_i}} = \frac{1}{1 + e^{-(b_0 + b_1 X_i)}}\]

Waarom \(e\), en niet 2 of 10? Elke basis zou wérken — je krijgt dezelfde S, alleen met andere getallen op de helling. Maar \(e\) is de basis waarin groei en helling elkaars spiegelbeeld zijn (de functie \(e^x\) is de enige die op elk punt precies zo snel groeit als hij hoog is), en dat betaalt zich hier concreet uit: op het steilste punt van de S is de helling in kansen exact \(b/4\) — de vuistregel die je in paragraaf 5 gaat gebruiken. Met basis 10 zou daar een lelijk omrekengetal staan.

En waarom niet gewoon een kromme lijn — een polynoom, \(b_0 + b_1X + b_2X^2\)? Omdat krommer het probleem niet is. Een polynoom buigt prachtig, maar hij blijft een optel-machine, en optellen kent geen muur: elke polynoom schiet uiteindelijk naar plus of min oneindig en verlaat de wereld alsnog. Je had geen andere lijn nodig. Je had een andere bewerking nodig.

5. Wat de getallen zeggen

Nu de kraai. De computer zoekt de \(b\)’s die het best bij onze twaalf stenen passen — niet meer met de kleinste-kwadraten-som van hoofdstuk 4, maar met een broertje ervan dat op nullen en enen werkt; hoe dat broertje zoekt hoort in het oefenboek, wát er uit komt hoort hier:

\[\ln\!\left(\frac{\hat{p}_i}{1 - \hat{p}_i}\right) = -4.04 + 0.0814 \times \text{glans}_i \tag{12.6}\]

(Het dakje op de \(p\) zegt wat dakjes altijd zeggen: geschat.)

Dat getal, 0.0814, is de helling. En het is een correct en volstrekt onbruikbaar getal: één glanspunt erbij, en de log-odds stijgt met 0.0814. Niemand voelt log-odds. Ik ook niet. Dus doen we wat ik in de bijles ook altijd doe als de logit begint te zweven: we rekenen eerst gewoon een paar kansen uit, want de kans is het enige getal hier dat niet vaag is.

Neem Anna, glans 20. Invullen: \(-4.04 + 0.0814 \times 20 = -4.04 + 1.63 = -2.41\). Dat is haar log-odds. Terug naar odds: \(e^{-2.41} = 0.090\). En van odds naar kans met formule 12.5: \(0.090 / 1.090 = .08\). De kraai pakt Anna op met een kans van .08 — eens in de twaalf nachten, zegt het model.

Doe dat voor de hele glans-lijn, in stappen van tien, en zet de drie talen naast elkaar:

**Tabel 12.2.** *Van glans 20 tot 80 in stappen van tien: hetzelfde model, per rij vertaald in zijn drie talen.*
glans	log-odds	odds	kans
20	−2.41	0.090	.08
30	−1.59	0.203	.17
40	−0.78	0.458	.31
50	0.03	1.034	.51
60	0.85	2.334	.70
70	1.66	5.270	.84
80	2.48	11.897	.92

Deze tabel is het hele hoofdstuk in zeven regels, dus we lezen hem kolom voor kolom.

De log-odds-kolom is de optel-machine: telkens 0.814 erbij (afgerond zie je 0.81 of 0.82 staan — kruimels). Gelijke stappen, een rechte lijn, hoofdstuk 4 in een nieuwe jas.

De odds-kolom — en nu ga je iets doen wat ik mijn studenten ook altijd laat doen, dus pak je rekenmachine erbij. Ik wil weten met welk getal je de odds bij glans 50 moet vermenigvuldigen om de odds bij glans 60 te krijgen. Deel ze op elkaar: \(2.334 / 1.034 = 2.26\). Doe het nog eens, ergens anders in de kolom — van 70 naar 80: \(11.897 / 5.270 = 2.26\). Altijd hetzelfde getal. Wil je van een odds naar de odds één stap verderop, dan vermenigvuldig je met 2.26. Klaar. En dat vaste vermenigvuldigingsgetal heet de odds ratio.

odds ratio
odds ratio (OR)
\(e^{b}\)
Het vaste getal waarmee de odds vermenigvuldigd wordt bij één stap in de voorspeller. OR = 1: er verandert niets. Boven 1: opwaarts. Onder 1: neerwaarts.

Waar komt die 2.26 vandaan? Uit de adapter, maar nu de andere kant op. De logaritme maakte van keer plus; \(e\) tot de macht maakt van plus weer keer. In de log-odds-kolom komt er per tien glanspunten 0.814 bij; in de odds-kolom betekent dat keer \(e^{0.814} = 2.26\). En per één glanspunt: keer \(e^{0.0814} = 1.085\). Let wel: dat tarief werkt in keer, niet in plus — tien stapjes van keer 1.085 is keer \(1.085^{10} = 2.26\), niet keer 1.85. Vermenigvuldigingen stapelen als machten, niet als sommen. Dat is even wennen en dan is het heerlijk.

Elke tien glanspunten meer dan verdubbelt de odds dat de kraai hem oppakt. Dat is een zin die je aan tafel kunt zeggen, en het is het getal dat je in artikelen ziet staan — meestal als OR, met een betrouwbaarheidsinterval erachter. Herken het stramien van hoofdstuk 4: dit is wéér een tarief, net als 32.1 glans per karaat. Alleen was dat tarief een optelbedrag, en dit is een keer-getal. Verschil per verschil — maar dan multiplicatief. En daarmee hoort de OR ook bij de familie die in hoofdstuk 4 haar naam kreeg: het is een effectgrootte — hoe gróót, ditmaal uitgedrukt in keer.

En noteer meteen de strik die eronder ligt. In alle voorgaande hoofdstukken was nul het getal dat “er gebeurt niets” betekende: een \(b\) van nul, een \(r\) van nul, een verschil van nul. In de keer-taal is dat één, want keer één laat alles zoals het was. Geen nieuwe regel, dezelfde regel door de adapter gehaald: \(e^0 = 1\) — de nul van de optel-wereld ís de één van de keer-wereld. Raak je dat kwijt, dan lees je elk artikel in je vak verkeerd; een OR van 0.98 is bijna niks, geen bijna-nul.

De helling is niet overal even steil

Nu de kans-kolom, en daar wacht het lastigste van logistische regressie, en tegelijk het mooiste.

Bij de regressie van hoofdstuk 4 was \(b\) een belofte die overal gold: één karaat erbij is 32.1 glans erbij, of je nu onderaan of bovenaan de wolk zit. Kijk nu naar de kansen. Van glans 20 naar 30 stijgt de kans 9 punten. Van 40 naar 50: 20 punten. Van 70 naar 80: 8 punten. Zelfde stap in glans, drie verschillende antwoorden — er bestáát geen vast kans-tarief. Dat kan ook niet: een curve die tegen de nul en de één wordt platgedrukt, moet daar wel vlakker lopen. Constant is alleen de vermenigvuldiging in de odds. De keer-taal is de enige taal waarin dit model overal hetzelfde zegt.

: Figuur 12.4. De S-bocht door de twaalf stenen, met het steilste punt aangestipt: bij glans 49.6 is het precies 50/50, en Else en Leen zitten er vlak naast.

En dat is geen slordigheid van het model — het model zegt iets wat je al wist voordat je het vroeg: bij een steen die toch al bijna zeker opgepakt wordt, maakt extra glans nauwelijks meer uit. Bij een steen die het niet weet, maakt het alles uit. In het midden van de S telt elke glanspunt; tegen de muren aan is de wedstrijd al gelopen.

Eén vuistregel nog, want die is te bruikbaar om achter te houden. Op het steilste punt van de bocht — waar de kans 0.5 is — is de helling in kansen ongeveer een kwart van \(b\). Bij ons: \(0.0814 / 4 = 0.020\), dus zo’n twee procentpunt kans per glanspunt, twintig per tien punten. Kijk in de tabel: van 50 naar 60 gaat de kans van .51 naar .70. Negentien punten. De vuistregel klopt, en hij klopt alléén daar — aan de randen overschat hij schromelijk. Precies goed: hij is bedoeld om een OR snel menselijk te maken, niet om het model te vervangen.

En waar ligt het omslagpunt?

Nog één getal dat je zo uit de formule vist, en het is het getal dat een lezer meestal echt wil weten: bij welke glans wordt het fifty-fifty? Dat is waar de log-odds nul is — waar de odds één is — dus:

\[X_{.50} = \frac{-b_0}{b_1} = \frac{4.04}{0.0814} = 49.6\]

Bij glans 49.6 zegt het model: munt opgooien.

En daar ligt Else, op glans 50. Ze had het niet mooier kunnen doen. Ons model geeft haar een kans van .51 — het meest nietszeggende getal dat een model kan produceren — en dat is niet omdat het model haar niet begrijpt, maar omdat wij haar samen met Leen op de steilste plek van de bocht hebben gelegd, waar twee stenen die vóór dit model niet te onderscheiden zijn twee verschillende nachten hebben gehad. Ze zegt nog steeds niks. Ze telt nog steeds mee.

Vier hokjes

Nog één gedaante van de odds ratio, en het is de gedaante waarin je hem het vaakst zult tegenkomen. Bij ons kwam hij uit een curve, want onze voorspeller was een glans-lijn met honderd standen. Maar in de artikelen van je vak is de voorspeller zelf ook vaak een ja/nee — behandeld of niet, uitgevallen of niet, sterretje of golfje — en dan is er helemaal geen curve te zien. Dan zijn er vier hokjes.

Wij hebben zo’n voorspeller in huis. Het merk van hoofdstuk 9 is een ja/nee-kolom, en de kraai heeft vannacht over alle twaalf zijn oordeel uitgesproken. Kruis die twee en je krijgt de kleinste tabel die de statistiek kent:

**Tabel 12.3.** *Het merk van hoofdstuk 9 gekruist met het oordeel van de kraai: vier hokjes, twaalf stenen.*
	gepakt	niet gepakt
sterretje	4	2
golfje	2	4

Vier getallen, en alles van dit hoofdstuk past erop, zonder computer. De odds dat een sterretje wordt opgepakt: vier staat tot twee, \(4/2 = 2\). De odds voor een golfje: \(2/4 = 0.5\). En de verhouding van die twee odds:

\[\frac{2}{0.5} = 4\]

OR = 4. Vier keer zo grote odds bij de sterretjes-slijper. Zó — uit vier hokjes, zonder model — staat de odds ratio in duizenden artikelen, en het is precies het soort getal dat de 2.26 van daarnet was: het keer-getal bij één stap in de voorspeller. Alleen is er hier maar één stap mógelijk, van golfje naar sterretje.

En nu de zin die je er bijna zeker bij had gezegd, want bijna iedereen zegt hem: sterretjes hebben vier keer zoveel kans om opgepakt te worden. Nee. Deze tabel is zo klein dat je het zonder rekenmachine kunt controleren, dus doe dat. De kans voor een sterretje: vier van de zes, .667. De kans voor een golfje: twee van de zes, .333. Deel díé twee op elkaar en er staat 2. Twee keer zoveel kans. Vier keer zoveel odds. Allebei waar, op dezelfde twaalf stenen — en wie het ene voorleest als het andere, zit er hier een factor twee naast.

Hoe kunnen die twee zo verschillen? Kijk naar de noemer. De kans deelt door alle zes de stenen; de odds deelt alleen door de stenen die níét gepakt zijn, en dat zijn er bij de sterretjes nog maar twee. Hoe gewoner de uitkomst, hoe verder de odds voor de kans uit rent. Alleen bij zeldzame uitkomsten — kansen van .05, .01 — kruipen de twee getallen naar elkaar toe, en uit die hoek komt de slordige gewoonte om “odds” uit te spreken als “kans”: in een artikel over een zeldzame bijwerking gaat dat nog nét goed, en overal elders niet. De verhouding van de kánsen heeft trouwens een eigen naam, het relatieve risico — onze tabel zegt dus: OR = 4, RR = 2. Twee getallen, twee betekenissen, één tabel. Artikelen halen ze geregeld door elkaar; kijk dus altijd even door welke noemer er gedeeld is.

En dit is natuurlijk geen aparte techniek naast de regressie van dit hoofdstuk — dat mag je inmiddels eisen. Codeer het merk zoals in hoofdstuk 9, golfje 0, sterretje 1, en geef de dummy aan het logistische model:

\[\ln\!\left(\frac{\hat{p}_i}{1 - \hat{p}_i}\right) = -0.69 + 1.39 \times D_i\]

Die helling is geen rond getal in de log-odds-taal, maar haal hem door de adapter: 1.39 is voluit \(\ln 4\), dus \(e^{b_1} = 4\). Exact. De helling van de dummy ís de odds ratio uit de vier hokjes. In hoofdstuk 9 was de helling van een dummy het verschil tussen twee groepsgemiddelden; hier is hij het verschil tussen twee log-odds, en een verschil in de optel-wereld is — je kent de adapter nu — een verhouding in de keer-wereld. Zelfde cadeau, nieuwe jas. Het startpunt kun je ook lezen: \(e^{-0.69} = 0.5\), de odds van de golfjes, de groep op nul. De vier hokjes en het model zijn niet twee methoden die toevallig hetzelfde zeggen; het zijn twee handschriften voor dezelfde mededeling.

Eén ding nog, want een artikel geeft het je er altijd bij en het hoort erbij. Vier keer zo grote odds — hoe zeker? Het 95%-interval rond deze odds ratio loopt van 0.36 tot 44. Lees dat langzaam. Het kan zijn dat de kraai juist de golfjes wat liever heeft (0.36 — onder de één, de andere kant op). Het kan zijn dat de sterretjes een factor veertig voorliggen. Vier hokjes met twaalf stenen erin: de schatting is 4, en we weten het van bijna niks. Dat is geen mankement van de odds ratio — het is wat \(n = 12\) aan zekerheid te koop heeft, en een odds ratio zonder zijn interval is daarom een half getal. Ook dát zie je in artikelen; nu weet je waarom het er altijd bij moet.

Wil je het per se in één getal, dan kan dat ook. De toets die bij zo’n klein tabelletje hoort — Fisher’s exacte toets, die je in artikelen met kleine aantallen aan de lopende band tegenkomt — geeft p = .57. Dezelfde boodschap als het interval, alleen platter: uit deze twaalf stenen valt niets te bewijzen. Het interval vertelt er bovendien bíj hoe weinig, en dat is precies waarom ik hem eerst liet zien.

Vier hokjes — toegevoegd 22-7 (Bens bestelling: “een twee bij twee voorbeeld voor OR en odds en p, dus dichotome x”). Alle getallen uit _h11_2x2_en_interactie_getallen.md (guard l): OR exact 4, RR exact 2, glm-dummy \(b_1 = \ln 4\), \(b_0 = \ln 0.5\), Wald-BI [0.36, 44.1]. Plaatsing als subsectie van §5 (landing ná de naamgeving van de OR), niet vooraan — een 2×2 heeft geen lijn die kan vastlopen, dus vooraan zou hij de spanning van het hoofdstuk doorsnijden. Formules bewust óngenummerd (11.7 woont al in §8; hernummeren zou §8 raken). Fisher-exact p = .567 staat sinds 22-7 wél in de tekst — Bens call; hij had er expliciet om gevraagd. Geplaatst ná het interval, met de volgorde-uitleg erbij (schatten eerst, de toets als bijvraag), zodat de tweede toetsfamilie de coda niet overneemt. “Een half getal” echoot H9 §4 (de d zonder meetlat) bewust. Term-blokjes (odds ratio vs relatieve risico / relative risk, en de zeldzaamheids-vuistregel) → redactie-pas. Raakt het open punt in keuzes §1 (Polit & Beck: RR/NNT) — het RR is hiermee aangestipt, NNT bewust niet.

En de interactie?

Als hoofdstuk 10 goed is blijven hangen, jeukt er nu iets. Twee voorspellers heb je gezien — glans en merk — en je weet sinds de schaar wat er dan te vragen valt: werkt glans bij de ene slijper anders dan bij de andere? Eén product-kolom en je had het antwoord. Komt die nog?

Ja en nee — en het nee is het mooiste, dus dat eerst. Je hebt het eigenlijk al gezien, bij de kans-kolom: dezelfde stap in glans, drie verschillende antwoorden. Zet het nu eens symmetrisch neer. Drie keer precies dezelfde stap van tien glanspunten — onderaan de bocht, rond het omslagpunt, bovenaan:

**Tabel 12.4.** *Drie keer dezelfde stap van tien glanspunten, op drie plekken van de bocht.*
stap	kans	verschil in kans	odds
10 → 20	.038 → .082	+.044	keer 2.26
45 → 55	.408 → .608	+.201	keer 2.26
80 → 90	.922 → .964	+.042	keer 2.26

: Figuur 12.5. De drie stappen van Tabel 12.4 op de S-bocht: zelfde stap opzij, drie verschillende stappen omhoog.

Onderaan de bocht koopt die stap ruim vier procentpunt kans. Rond het omslagpunt: twintig. Bovenaan: weer vier. Zeg nu hardop wat daar staat, in de woorden van hoofdstuk 10: het effect van glans op de kans hangt ervan af. Niet van een tweede variabele ditmaal, maar van waar je op de bocht staat. Hetzelfde verschil in glans, een ander verschil in kans — een verschil in verschil. Dat is, woordelijk, moderatie. En niemand heeft er een product-kolom voor aangelegd; het zit in de vorm zelf. Een rechte lijn belooft overal hetzelfde tarief — dat was zijn trots, en in hoofdstuk 10 moest er een aparte kolom aan te pas komen om die belofte te breken. Een lijn die buigt, breekt haar uit zichzelf. Op de kans-schaal is een logistisch model altijd al een interactie-model, ook met één enkele kolom rechts van het isgelijkteken.

En het houdt niet op bij glans zelf. Zet er — hoofdstuk 8 — een tweede voorspeller bij, en die schuift elke steen naar een andere plek op de bocht; op de kans-schaal modereert dan iedereen iedereen, nog steeds zonder één product-kolom. Dat klinkt als chaos, maar kijk naar de laatste kolom van de tabel: de odds doen alle drie de keren exact hetzelfde, keer 2.26. Ik zei het bij de kans-kolom al — de keer-taal is de enige taal waarin dit model overal hetzelfde zegt — en hier zie je wat dat wáárd is: het is de reden dat artikelen odds ratio’s rapporteren. Eén getal dat overal geldt, tegenover een kans-effect dat op elke plek van de bocht anders is. Maar de prijs staat er meteen naast: dat ene getal is dan ook geen kans-effect, nergens, en wie OR = 2.26 voorleest als “de kans stijgt met zoveel” heeft niet één getal fout maar de taal.

Wat voegt een échte interactieterm dan nog toe? Precies wat hij in hoofdstuk 10 toevoegde, maar dan in de keer-taal: een product-kolom glans × merk laat de helling in de log-odds per slijper verschillen — de sterretjes krijgen hun eigen keer-getal per glanspunt, de golfjes het hunne. Twee odds ratio’s, één per groep: de schaar van hoofdstuk 10, door de adapter gehaald. Alleen — lees zo’n coëfficiënt in een artikel met beide handen aan het stuur. Hij woont in de log-odds-wereld, waar de optel-machine staat. Wat hij op de kans-schaal doet staat er niet bij, en dat kun je er ook niet aan aflezen: dat hangt, zoals je net zag, af van waar op de bocht elke groep zit, en het kan daar op sommige plekken zelfs een ander teken hebben dan de coëfficiënt zelf. Uitrekenen dus, op de plekken die er voor je vraag toe doen — niet aflezen. Wie een logistische interactie rechtstreeks als kans-effect rapporteert, maakt de fout van daarnet nog een keer, nu met een officieel getal erbij.

En op onze eigen twaalf? Geprobeerd, want dat hoort bij dit boek — en de computer weigert, terecht. Binnen één van de twee merken scheiden de gepakte en de niet-gepakte stenen zich perfect op glans, en dan kan het model een helling eindeloos ver wegduwen zonder er ooit slechter van te worden; de standaardfouten ontploffen en er valt niets te rapporteren (het verschijnsel heet volledige scheiding). Twaalf stenen kunnen twee aparte bochten niet dragen. Dus krijg je hier geen tabel met getallen die niets betekenen — het eerlijke antwoord is dat dit kistje die vraag niet kan beantwoorden, en dat opschrijven kost één zin.

En de interactie? — toegevoegd 22-7 (Bens vraag: “doen we interactie erbij? ja toch?”). Antwoord: ja, maar de dragende vorm is de bocht is al interactie — geen gefit interactiemodel. Getallen uit _h11_2x2_en_interactie_getallen.md (guards m en n): kansen .038/.082, .408/.608, .922/.964; verschillen .044/.201/.042; odds-factor overal 2.2575 → 2.26. Figuur 12.5 gebouwd in _bouw_h11.R (blok 5). Registerbewaking: mezzoforte — §7 houdt het enige fortissimo. gepakt ~ glans * D is wél gedraaid (check-script) en geeft quasi-volledige scheiding: het is de D-term die naar −49.5 loopt met SE ≈ 20000 (glans:D zelf: 0.997, SE = 334) — beide astronomisch, en daarom staat er in de lezer-tekst géén enkel modelgetal (afspraak, guard n). De teken-claim (“kan op sommige plekken een ander teken hebben dan de coëfficiënt”) is de Ai & Norton-les (interaction effects in logit/probit, Economics Letters 2003) — bij de redactie-pas verifiëren en beslissen of er een bron-verwijzing bij moet (referentie-lering). “Modereert iedereen iedereen” raakt §6 “Meer kolommen” (“er is niets te leren”) — bewust geen contradictie: §6 gaat over de log-odds-kant (rechts van het isgelijkteken), deze passage over de kans-kant; bij de stem-pas checken of dat voor de lezer vanzelf spreekt.

6. Met de handen op de rug

Je kent de volgorde inmiddels: eerst de schatting, dan pas de vraag of het echt is. En je weet ook al wat hier gaat gebeuren, want de toets is — voor het laatst, ik beloof het — geen nieuwe toets. Het is de tweede vraag van het twee-vragen-stramien uit hoofdstuk 8, gericht op de enige kolom die we hebben: voegt glans iets toe aan het voorspellen van de kraai?

De computer geeft bij \(b_1 = 0.0814\) een standaardfout van 0.0427. Deel het één door het ander en je hebt je toetsingsgrootheid: 1.91. Dat getal heet hier geen t maar een z — bij dit soort modellen wordt direct tegen de klok van hoofdstuk 3 aangelegd in plaats van tegen zijn iets bredere neefje — en het levert p = .057.

Dramaturgie-waarschuwing, expliciet aan Ben — ongewijzigd uit v1. Dit is de derde net-aan in het boek: .049 (opening), .054 (slot H10), .057 (hier). Twee is een spiegel, drie is een tic. Het getal is niet gekozen maar uitgerekend: met n = 12 en een ja/nee-uitkomst loopt de Wald-z tegen een plafond van ~1.9, ongeacht hoe sterk het patroon wordt (sterker → volledige scheiding → SE explodeert). Drie uitwegen, Bens call: (a) zoals hier — de derde net-aan wordt betekenisvol gemaakt als bewijsstuk van §7 (een ja/nee kost informatie, dít is de rekening in p-eenheden); (b) de toets helemaal weglaten (schatten primair; maar de VIOS-lezer komt de p in elk artikel tegen); (c) het gestel verruimen — breekt H1–H10, praktisch uitgesloten. Bewust niet voorgesteld: de LR-toets (p = .018 op dezelfde data) — statistisch beter bij kleine n, maar dan moeten er twee toetsen uitgelegd, en dat is deel-2/oefenboek-materie (getal geborgd).

En dan het interval, want dat vertelt het volwassener. Het 95%-interval rond de helling loopt van −0.002 tot 0.165 in de log-odds-wereld. Zet dat om naar iets menselijks — per tien glanspunten, in de keer-taal — en er staat:

OR = 2.26, 95%-BI [0.98, 5.22]

Lees dat interval hardop, want het is een oefening in twee talen tegelijk. In de optel-wereld schampt het de nul. In de keer-wereld schampt het de één. Dat zijn niet twee bevindingen; dat is één bevinding in twee jassen — en als je ooit twijfelt of je de vertaling snapt, is dit de test.

En inhoudelijk: het kán zijn dat glans niets doet voor de kraai, nét. En het kán zijn dat tien glanspunten de odds vervijfvoudigen. Dat is een breed interval, en het is breed om een reden die dit hoofdstuk zo meteen zijn hele slot geeft.

Meer kolommen

Voor de volledigheid, en het is één alinea waard omdat het de belofte van de openingsparagraaf inlost: alles van hoofdstuk 8, 8 en 9 werkt hier onveranderd. Zet er een tweede voorspeller bij, een dummy, een product-kolom — rechts van het isgelijkteken is niets veranderd, dus er is niets te leren.

Doe het maar met karaat erbij, dan zie je meteen iets anders. De computer geeft voor karaat een \(b\) van 0.40, met een standaardfout van 2.38 — een leeg adres zoals je ze in hoofdstuk 10 hebt leren herkennen, en zo leeg dat het interval in de keer-taal van bijna nul tot ver boven de honderd loopt. Twee lezingen: óf de kraai kijkt echt alleen naar glans en niet naar gewicht, óf twaalf stenen kunnen die vraag simpelweg niet beantwoorden. Ik weet het niet, en het model ook niet, en dat opschrijven is het eerlijke antwoord.

De karaat-coda blijft bewust kort en bewust negatief (leeg adres); derde lege adres van het boek (H8, H10) — kleine-n-realiteit, geen zwakte. v1 zei “van vier keer zo klein tot honderd keer zo groot” — dat klopte niet met het interval; nagerekend: OR per karaat 1.49, 95%-BI [0.014, 158], dus “van bijna nul tot ver boven de honderd”. Geborgd: glm(gepakt ~ glans + karaat) → b_glans = 0.0775 (SE = 0.0481), b_karaat = 0.397 (SE = 2.380, z = 0.17, p = .87).

En zo staat het in een artikel — lees maar, je kunt het nu:

“De kans dat een steen werd opgepakt nam toe met de glans van de steen, b = 0.081, SE = 0.043, z = 1.91, p = .057; per tien glanspunten kwam dat neer op een meer dan verdubbelde odds, OR = 2.26, 95%-BI [0.98, 5.22]. Bij het gemiddelde glansniveau lag de geschatte kans rond .50.”

Noord-ster-oogst, H12-variant. Verzonnen alinea, waarheidsscript regenereert; descriptief-eerst en reviewer-proof, zelfde stramien als H10 §5. Ontcijfer-opgaven + GGZ-variant (kans op terugval ~ baseline-ernst; OR’s uit een richtlijn-tabel lezen) → OEFENBANK.

7. De rekening

Het fortissimo van het hoofdstuk, en het enige. Wilde-register (De Profundis, niet de aforismen-poster). H10 heeft de grote finale; deze passage mag dieper landen dan de rest van H12 maar níét dieper dan H10 §6. Methodologische fix v2 (Bens punt 5): v1 vergeleek de continue r/t-toets (p = .049) met een logistische Wald-toets op de gehakte kolom (p = .19/.064) — twee toetsfamilies, dus een deel van de sprong kwam uit de toetskeuze, niet uit het hakken. Nu ÉÉN familie: de correlatietoets van H4/H6, ook op de gehakte kolom (een 0/1-kolom is een getal — H9). Nagerekend 20-7: continu r = .578, t(10) = 2.24, p = .049 · knip > 50: r = .41, t(10) = 1.41, p = .190 · knip ≥ 50: r = .63, t(10) = 2.58, p = .027. De les wordt er scherper van: de ene knip wist de bevinding, de andere maakt hem stérker dan het origineel — het antwoord komt uit het mes.

Ik moet je iets vertellen wat de meeste boeken in dit hoofdstuk overslaan, en het is de reden dat ik dit hoofdstuk aan het eind heb gezet en niet ergens in het midden.

Wij hebben vannacht iets weggegooid.

De kraai keek naar twaalf stenen die elk een heel dossier bij zich droegen — karaat tot op de tiende, glans op honderd, gladheid, merk, een naam, een geschiedenis van negen hoofdstukken — en van dat alles maakte hij één bit. Dat is zijn goed recht; hij is een kraai. Maar wíj doen het ook. Voortdurend. Een onderzoeker meet depressie met eenenveertig vragen, telt ze op tot een score met twee decimalen, en zet er dan een streep doorheen bij 13: hersteld, niet hersteld. Iemand die van 28 naar 14 gaat is niet hersteld, en iemand die van 14 naar 12 gaat is het wel.

En dan is er een prijs, en die kan ik je laten zien, want we hebben er de data voor.

Neem de allereerste vraag van dit boek. Karaat en glans — hangen die samen? Hoofdstuk 4 gaf ons de rechthoekjes en hoofdstuk 6 de toets: r = .58, t(10) = 2.24, p = .049. Nét aan.

Doe nu wat er in duizenden artikelen gebeurt: hak glans doormidden. Fel of dof. Zelfde twaalf stenen, zelfde karaat, zelfde vraag, zelfde toets — de correlatie met een 0/1-kolom mag gewoon, want een 0/1-kolom is een getal, dat weet je sinds hoofdstuk 9. Alleen de uitkomst gaat door de knip. Leg de streep bóven de 50, zodat Else en Leen bij de doffe horen, en er staat: r = .41, t(10) = 1.41, p = .190.

Niets. Weg. Hetzelfde verband, dezelfde stenen, en de bevinding waar dit hele boek mee begonnen is verdampt, omdat we de uitkomst grover hebben opgeschreven.

Maar nu wordt het pas echt ongemakkelijk. Want wáár leg je die streep? Else en Leen zitten allebei precies op 50 — óp de streep. Leg hem één haartje lager, zodat ze allebei bij de felle horen, en reken opnieuw: r = .63, t(10) = 2.58, p = .027. Sterker dan waar we mee begonnen. Twee keer dezelfde twaalf stenen, twee keer een verdedigbare streep — en de ene keer is de bevinding van dit boek verdwenen, de andere keer is hij overtuigender dan hij ooit geweest is. Het antwoord komt niet meer uit de wereld. Het komt uit het mes.

Dat is wat informatie weggooien dóét. Niet je verband netjes een beetje kleiner maken — was het maar zo eerlijk. Het maakt je antwoord willekeurig: afhankelijk van waar jij de streep trok, en van welke twee stenen daar toevallig op lagen.

Eerlijkheids-guard (v1, blijft van kracht en is nu in de tekst zelf ingebouwd): dichotomiseren gooit informatie weg, maar het is geen wet dat de samenhang in een concrete steekproef altijd zákt — hier stijgt hij bij één van de twee knippen. Beide knippen staan daarom in de tekst; de hoofdtekst claimt nergens “hakken verlaagt de correlatie” maar wel “hakken maakt het antwoord willekeurig”. Guard i in het waarheidsscript moet dit blijven bewaken.

Dus de regel is simpel, en het is de laatste regel van dit boek: als de wereld je een getal geeft, hak het niet doormidden. Doe het niet omdat een tabel dan makkelijker leest, en niet omdat je begeleider het altijd zo doet, en al helemaal niet omdat het significant wordt als je de streep een stukje verlegt.

Maar soms geeft de wereld je geen getal. Soms is het antwoord echt een ja of een nee — de kraai pakte hem op of hij liep door, en er is geen half opgepakt. Dan is dit hoofdstuk niet een verlies maar precies het juiste gereedschap, en dan is er niets weggegooid.

Het verschil tussen die twee is het enige wat ik je hier te leren heb. De vraag is niet “hoe analyseer ik een ja/nee?” De vraag is: was het al een ja/nee, of heb ik het er zelf van gemaakt?

En als jij het ervan gemaakt hebt — dan is er ergens een getal geweest dat je niet meer terug kunt halen. Iemand die van 28 naar 14 ging.

De slotzin is de Wilde-landing en moet onmiddellijk stoppen; geen uitleg erachteraan. De regel uit AANTEKENING_oscar_wilde (wat je hier wegrekent, was iemand) is de ondergrond, niet het bijschrift — staat er bewust NIET. Kitsch-bewaker: klinkt dit bij de stem-pas larmoyant, dan is de fix korter maken, niet zachter. Bens call of de 28-naar-14 hier terugkeert (staat drie alinea’s eerder) of dat de herhaling te veel is.

8. En hij buigt

En nu is het echt af.

In hoofdstuk 10 heb ik je de ladder laten zien — één regel die groeide van hoofdstuk 1 tot hoofdstuk 10, met termen erbij en eraf, en alles wat je geleerd had zat erin. Dat klopte. Maar er stond een aanname in die zo vanzelfsprekend was dat ik hem niet eens genoemd heb: dat je uitkomst een gewoon getal was dat alle kanten op mocht.

Haal die weg en er staat dit:

\[g(\pi_i) = b_0 + b_1 X_{1i} + b_2 X_{2i} + \ldots \tag{12.7}\]

Links een link, rechts de regel van hoofdstuk 10. Is je uitkomst een gewoon getal, dan is de link niets — je laat hem staan zoals hij is, en er staat de meervoudige regressie waar je al negen hoofdstukken mee werkt. Is je uitkomst een ja/nee, dan is de link de logit en heet het geheel logistische regressie. En er zijn nog andere uitkomsten, met andere links, en die komen hier niet meer aan bod — een aantal keren tellen, een volgorde zonder afstanden, een wachttijd. Dat is een andere keer, en de goede naam ervoor is het gegeneraliseerde lineaire model, wat een dure manier is om te zeggen: dezelfde regel, meer soorten antwoorden.

En nog één ding is er vandaag gebeurd, en het is groter dan een techniek. Dit was negen hoofdstukken lang een optel-boek. Verschil was aftrekken. Kwadraten telden op tot een som. DATA = FIT + RESIDU is een optelling. En \(b\) — elke \(b\) die je bent tegengekomen — was een bedrag dat je erbij deed, per eenheid, per stap, per kolom. Helemaal aan het begin, in hoofdstuk 1, schreef ik het gemiddelde stiekem een tweede keer op, als vermenigvuldiging in plaats van deling, en zei erbij dat statistici graag in vermenigvuldigingen denken en dat die vorm later handig zou worden. Dít was later. Negen hoofdstukken lang was keer ons gereedschap en plus onze taal. Vandaag spreekt het model voor het eerst zelf in keer — en het bleek geen truc maar noodzaak: keer is de enige taal die uit zichzelf binnen de wereld blijft. De optel-machine is niet vervangen. Ze heeft er een taal bij.

De ruggengraat van dit boek was regressie. Dat wisten we aan het eind van hoofdstuk 10, en het is nog steeds waar. Maar een ruggengraat die niet buigt is geen ruggengraat — dat is een stok. Wat een wervelkolom tot een wervelkolom maakt is niet dat hij recht is; het is dat hij rechtop houdt terwijl hij meegeeft. Negen hoofdstukken lang hebben we hem rechter en rechter gekregen: meer kolommen, groepen erbij, verschillen in verschillen. Vandaag heeft hij één keer meegegeven, en hij is niets kwijtgeraakt. Rechts van het isgelijkteken staat nog altijd wat er in hoofdstuk 4 stond.

Het rechthoekje. Afwijking maal afwijking. Twee dingen naast elkaar leggen en kijken of ze samen op en neer gaan.

En als je nu terugkijkt naar die eerste bladzijde — de baby die nog niets kan benoemen en al één ding doet, verschil ervaren — dan is er sinds vannacht één ding bijgekomen. Die baby kon het ook al. Want het allereerste wat een mens onderscheidt is niet hoeveel. Het is wel of niet.

De slotwending blijft bewust kleiner dan H10’s cirkel (coda-register): één stap terug naar H0 die H10 niet had — H10 oogstte het aforisme, dit oogst dat het eerste onderscheid binair is. Als dit bij de stem-pas te slim klinkt: schrappen en eindigen op “wat er in hoofdstuk 4 stond”. Bens call. Niet doen: het aforisme hier nóg een keer hardop citeren (staat in H10 §6). De optel/keer-alinea hierboven betaalt de H1-plant van formule 1.1b terug (“statistici denken graag in vermenigvuldigingen… wordt later handiger”, H1 §3) — checken bij de stem-pas dat die formulering in H1 blijft staan.

9. Werk

Het rekenen mét software hoort bij het oefenboek: het boek toont, het oefenboek traint. En hier ligt de grens voor het eerst ergens anders dan je gewend bent — dit is het eerste hoofdstuk waarin je de schattingen niet meer met de hand kunt narekenen. De motor van hoofdstuk 4 zoekt de kleinste kwadratensom, en die kun je op een ruitjesblaadje bijhouden; de motor van dit hoofdstuk zoekt iets anders en doet dat door te proberen, opnieuw te proberen, en te stoppen als het niet beter wordt.

Maar het narekenen zelf is niet verdwenen, het is verschoven — en dat is precies het principe waar we sinds hoofdstuk 8 mee werken: de computer schat, jij rekent na. Met de twee getallen uit formule 12.6 kun je élk getal in dit hoofdstuk zelf terugvinden, en de route is altijd dezelfde vier treden: invullen (log-odds), \(e\)-tot-de-macht (odds), delen door één-plus-zichzelf (kans), en twee opeenvolgende odds op elkaar delen (OR). Alles wat na het schatten komt is rekenmachine-werk.

Stub, vorm volgt het boek-brede Werk-besluit (R-besluit 7-7; lot JASP-tab open, keuzes §1).

Sier-regel R (om te lézen, ONDER VOORBEHOUD): glm(gepakt ~ glans, family = binomial) — het hele hoofdstuk is glm in plaats van lm plus één woord dat zegt welke link je wilt. Zelfde geforceerde beslispunt als H8 §8, H9 §6, H10 §7 (R-besluit staat de leesregel toe “per simulatie-hoofdstuk”, en H12 is er geen; vier hoofdstukken in één call). Voor dít hoofdstuk is het argument het sterkst: lm → glm + family = binomial is de pointe (hij wordt niet vervangen) in één regel.
Speeltje-idee (04_speeltjes/h11_link.html): twee schuiven (\(b_0\), \(b_1\)), links de rechte lijn in log-odds, rechts de S in kansen, tegelijk bewegend. \(b_1\) op nul → vlakke streep op de basiskans; negatief → de S kantelt. Knopje “toon de rechte lijn erbij” legt het lineaire kansmodel over de S zodat je hem door de bodem ziet zakken. Houtje-touwtje/dierenbos-look. Sterkste speeltje-kandidaat van het boek: de link is een beweging, geen plaatje.
Keukentafel-trede (blijft, is verhaal): de kaartjes van hoofdstuk 6 nog één keer. Twaalf kaartjes met de glans, per kaartje een kruisje of streepje (gepakt of niet). Schuif een lineaal langs de rij en tel bij elke stand hoeveel kruisjes er links en rechts liggen — je vóélt waar het omslagpunt ligt, en je vindt met de hand ongeveer de 49.6 die de computer zegt. Geen formule nodig.
Oefenboek (via OEFENBANK.md, zie open punten): kans ⇄ odds ⇄ log-odds heen en weer (het x⇄z⇄p-stramien in een nieuwe jas); odds-ratio’s stapelen als machten (OR³ voor drie stappen); een OR-tabel uit een echte richtlijn ontcijferen; omslagpunt uitrekenen en beoordelen of het binnen bereik ligt; het lineaire kansmodel narekenen tot het negatief wordt; heteroscedasticiteit- door-constructie bij het lineaire kansmodel (uit de hoofdtekst gehaald, zie open punten); de polynoom-ladder (waarom ook een kromme optel-machine de wereld verlaat — Bens volledige route polynoom → exp → logistisch); LR-toets naast Wald bij kleine n; volledige scheiding als valkuil; classificatie 9/12 en waarom dat getal minder zegt dan het lijkt; GGZ-variant (terugval ~ baseline-ernst); JASP/R-pad; het 2×2-handwerk: OR én RR uit vier hokjes en een krantenkop “vier keer zoveel kans” fact-checken (nieuw 22-7); de interactie-leesfout: een gegeven logistisch model op twee plekken van de bocht in kans-effecten omrekenen en zien dat de OR constant blijft (nieuw 22-7).

10. Sluiting

Uitademing, kort; einde deel 1. De docent zegt hier bijna niets meer: H10 §6 heeft de grote afsluiting, §7 en §8 hierboven de landing van dít hoofdstuk. Alleen de overdracht aan de verhaal-stem. Doe het licht maar uit. Nee — laat het verhaal dat doen, nog één keer.

Tegen de ochtend legde de kraai de zesde terug.

Zes had hij er in zijn snavel gehad, en van de andere zes wist hij ook genoeg — hoe ze roken, hoe het mos eromheen boog, dat er eentje was met een barstje aan de onderkant waar een heel klein beetje licht in bleef hangen dat er nooit meer uit kon.

Van dat alles nam hij niets mee.

Hij bleef nog even zitten op de rand van het lege kistje, met de rij onder zich, en dacht aan wat hij later tegen de anderen zou zeggen. Er waren zes die hij had opgepakt en zes die hij had laten liggen. Dat was het. Dat was alles wat er nog van over was.

Hij vond het weinig.

Maar de zon kwam op, en het licht ging over de rij zoals het licht doet, en de stenen lagen daar alsof er die nacht helemaal niets was gebeurd — allemaal anders, allemaal precies zichzelf, en geen van alle een ja of een nee.

Toen vloog hij weg.

Slot eindigt op de verhaal-stem (regel: mag, H9/H10 doen het ook; geen docent-glos erachteraan). v2-fix: “Hij had ze allemaal in zijn snavel gehad” (v1) sprak de openings-scène tegen — hij pakte er zes op; nu “zes had hij er in zijn snavel gehad, en van de andere zes wist hij ook genoeg”. Ontwerp ongewijzigd: (1) de kraai vindt zijn eigen dataset te weinig — de Wilde-lijn van §7 in het lijf van een dier, zonder één woord statistiek; (2) “geen van alle een ja of een nee” spiegelt “Ja. Of nee.” uit §1; (3) het barstje met licht dat er nooit meer uit kan = het weggerekende dat er wél was, ongenoemd — en het rijmt op de kraai-regel (wat geen licht teruggeeft, telde niet); (4) hij vliegt weg zonder iets mee te nemen — deze nacht is de nacht vóór de H4-diefstal, zie §1; (5) het opkomende licht spiegelt bewust het zakkende licht van H10-slot; kitsch-bewaker mag de echo schrappen als hij te net is.

SLOT-SCHETS 21-7 — verhaal-stem, botten (C’s draft; Bens stem-pas geeft het huidje). Op Bens wens: Opa & Moos ná de kraai, als slot van het boek — de sprookjes-dieren hechten af (kraai hierboven), dan tilt het op naar de mensenwereld (steiger weggehaald). Bookend naar H0 §1: de baby = wij állemaal, én Moos. Afscheid-motief op Bens uitdrukkelijke wens (hand vasthouden én loslaten, “mooi en verdrietig” — zo voelt Ben zich aan het eind van een cursus). Aforisme-echo “hij voelde verschil… en was” spiegelt de openingsclaim ik ervaar verschil, dus ik ben; de slotregel laat “verschil” één laatste keer terugkeren en lost het meteen op (goed ≠ zeer → één) — Bens vondst 21-7. Kitsch-bewaker: toets de “meestal”- en steen-echo’s.

Ze gingen wandelen, de laatste ochtend.

Opa liep langzaam, want zo liep hij nu. Moos liep langzaam omdat Opa dat deed.

“Kijk,” zei Moos. “Die boom heeft meer vogels dan die.”

Opa keek. “Meestal wel,” zei hij. Meer zei hij niet. Je moet een kind niet uitleggen wat het net zelf heeft gezien.

Moos gooide een steen in de sloot en keek hoe hij viel. Hij gooide er nog een. Die viel anders.

“Waarom valt-ie elke keer anders?”

“Dat weet niemand,” zei Opa. “Dat is juist het aardige.”

Moos was ooit zo klein geweest dat hij alleen maar had kunnen voelen dat het ene wangetje warmer was dan het andere. Nu liep hij, en wees, en vroeg. Het was hetzelfde jongetje. Hij deed alleen meer met wat hij altijd al kon.

Hij voelde verschil, en wees het aan, en was.

Aan het eind liepen ze terug naar huis, want dat doe je met een wandeling. Je gaat ergens heen en je komt weer thuis, en onderweg is alles net even anders dan je dacht.

Bij het tuinhek liet Moos zijn hand los en rende vooruit, zoals kinderen dat doen — zonder omkijken, want vooruit is waar alles is. De voordeur ging al open; in de deur stond zijn moeder. Naar háár rende hij, want thuis is waar zij is.

Opa bleef bij het hek staan, en keek hem na tot hij binnen was.

Het was goed, en het deed zeer, en dat waren niet twee verschillende dingen. Dat was er één.

Open punten (v2, 20-7-2026)

A. Wat er in v2 veranderd is, en waarom

Bib-eerst alsnog uitgevoerd (was in v1 bewust genoteerd als niet gedaan). Verwerkte atomen, met wat ze veranderd hebben: berekening-kans-op-slagen-punt-80-geeft-odds-van-4 (§4 opent nu bij de kans en rekent .80/.20 = 4 en het 50-50-grensgeval voor — Bens vaste bijles-instap); definitie-odds-zijn-de-kans-gedeeld- door-de-kans-op-niet (kansen éérst, dan pas odds — “de tweede stap”); berekening-odds-kleiner-dan-1-omdraaien-vermenigvuldigen (“zet er ‘staat tot 1’ achter”); berekening-odds-ratio-deel- opeenvolgende-odds-constante-factor (§5: de OR wordt nu óntdekt door twee opeenvolgende odds uit de tabel op elkaar te delen — “altijd hetzelfde. Klaar.”); uitleg-lineaire-regressie- is-additief-telkens-hetzelfde-erbij (§2-diagnose, incl. Bens plezier in het woord additief); uitleg-lineair-additief- exponentieel-multiplicatief + kreet-multiplicatief-denken-is- een-verandering-in-het-denken (§4/§5: “waar lineair zich additief gedraagt…”, “op het moment dat je multiplicatief gaat denken, verandert er echt iets”); berekening-exp-b-is-e-tot-de-macht- min-punt449-is-punt638 (“dat gekke getalletje 2.718”, eventerug §4); berekening-odds-omhoog-via-odds-ratio-tot-de-macht-aantal- stappen (machten-stapeling in §5 + oefenboek-regel); berekening- x-waarvoor-kans-half-is-min-b0-gedeeld-door-b1 (omslagpunt); Bens kans-eerst-motto (“normaal doe ik altijd eerst de kans voorspellen omdat logit en al die dingen best vaag zijn”) draagt de hele opbouw van §5: eerst Anna’s kans, dan de tabel, dan pas de coëfficiënt-interpretatie.
Multiplicatief = de motor (Bens punt 2). Doorgevoerd als dragende lijn: §2 diagnose “optellen kent geen muur” (1.269 als gevolg van optellen, niet van doorlopen); §4 “Van plus naar keer” (keer respecteert de nul uit zichzelf; logit = adapter tussen optel-machine en keer-wereld); §5 alle drie de kolommen als drie talen (plus / keer / geen vast tarief); §6 nul-schampen = één-schampen; §8 oogst “negen hoofdstukken optellen, vandaag voor het eerst vermenigvuldigd” + terugbetaling van de H1-plant (formule 1.1b, “statistici denken graag in vermenigvuldigingen”).
Openings-scène (Bens punt 3): regel zichtbaar zonder uitleg (“Er kwam iets terug, of er kwam niets terug”), antecedent van “hij zag ze heel goed” verankerd, en één niet-slaafse keuze in beide richtingen (glimmende overgeslagen ~ Hans; doffe opgepakt ~ Dora) zodat de scène geen ijzeren wet suggereert.
Wiskunde-dosering (Bens punt 4): hoofdtekst bevat precies twee feiten, beide getoond met getallen, niet afgeleid — (a) \(e^x\) wordt nooit negatief (rijtje 11.9 / 1 / 0.09 / 0.000045, §4);
1. \(\ln(2\times3) = \ln 2 + \ln 3\) (0.69 + 1.10 = 1.79, §4). Eén verderwil-kader (§4): logistische functie voluit, waarom \(e\) (b/4-payoff), waarom geen polynoom. Toets gehaald: wie het kader overslaat mist geen schakel — de hoofdtekst gebruikt alleen 11.5 (odds/(1+odds)) en de vuistregel, beide in de hoofdtekst zelf gezet.
De rekening in één toetsfamilie (Bens punt 5): zie het werk-blok bij §7. Wald-getallen van v1 (p = .1876 / .0638) blijven geborgd voor het oefenboek maar staan niet meer in de lezer-tekst.

B. Bewust NIET gedaan in v2

Polynoom-als-tussenstap: nergens in de hoofdtekst; Bens volledige ladder (polynoom → exp → logistisch) → oefenboek-schil (regel staat in §9). In het boek alleen de verderwil-bijzin “waarom geen polynoom”.
Heteroscedasticiteit-door-constructie (v1 §2, tweede argument): uit de hoofdtekst — de 1.269 overtuigt al, en de wiskunde-dosering staat geen tweede klap toe. → OEFENBANK (§9). NB: daarmee blijft de H8-aankondiging van de foutaannames hier onbetaald; die schuld verhuist naar het oefenboek — bij de redactie-pas checken of H8 dat aankan.
Figuren niet herbouwd: de vier bestaande (h12_lijn_stukloopt, h12_afgeknepen, h12_s_bocht, h12_drie_vormen, uit _bouw_h10.R) kloppen met de tekst en zijn ingewired op 95%. Het twee-panelen-tweeluik uit v1 (fig 11.2) is vervallen — h12_drie_vormen doet dat werk beter (drie gedaanten i.p.v. twee). Wél een figuur-wens genoteerd: in h12_drie_vormen zou het middenpaneel (odds, exponentieel) een ×2.26-pijltje per tien glanspunten kunnen krijgen, rijmend op Bens bordwerk (odds-kolommetje met ×-pijltjes). Kleine ingreep in _bouw_h10.R; niet gedaan zonder Bens akkoord over de kolom gepakt zelf.
Speeltje niet gebouwd; LR-toets buiten de tekst; maximum likelihood blijft “een broertje dat zoekt door te proberen”; pseudo-R², ROC/AUC, classificatietabellen blijven eruit (classificatie 9/12 geborgd voor het oefenboek).
Waarheidsscript nog niet uitgebreid — zie C.

C. De binaire uitkomst + waarheidsscript (uit v1, geactualiseerd)

De kolom gepakt is VOORGESTELD, niet gevonden (verantwoording van de keuze en de vier verworpen alternatieven: zie v1 in git / 99_archief). Eigenschappen die de tekst draagt: monotoon-met-ruis, twee kruisingen (geen volledige scheiding), Kees níét gepakt (payoff groot-maar-dof), Geer wél (consistent met H4-diefstal), Else en Leen zelfde glans andere uitkomst (legt het 50%-punt op 49.6 en Else op .51). Ben moet de twaalf waarden goedkeuren voor ze het waarheidsscript in gaan.
_waarheid_getallen.R uitbreiden met een H12-blok. Guards (v2, alle exact nagerekend in scratchpad/h11_herschrijf_check.R):
1. lm(gepakt ~ glans): b0 = −0.26923, b1 = 0.015385; pred glans 0 = −0.269, glans 50 = 0.500, glans 100 = 1.269; snijdt Y = 0 bij glans 17.5 en Y = 1 bij glans 82.5;
2. glm(gepakt ~ glans, binomial): b0 = −4.03772, b1 = 0.081425, SE = 0.042727, z = 1.9057, p = .0567;
3. OR per punt 1.0848, per tien 2.2575; Wald-BI b1 = [−0.00232, 0.16517] → OR per tien [0.977, 5.216];
4. omslagpunt 49.588; kans bij glans 50 = .5084;
5. de ladder-tabel van §5 regel voor regel (odds op 3 decimalen: 0.090 / 0.203 / 0.458 / 1.034 / 2.334 / 5.270 / 11.897) — mét kruimel-guard: opeenvolgende getoonde odds gedeeld geven 2.26 op twee decimalen (exact 2.2556–2.2580), en de getoonde log-odds-stappen zijn 0.81/0.82 bij exacte stap 0.8142;
6. vuistregel b1/4 = 0.02036; sprong .51 → .70 tussen glans 50 en 60 = 19.2 procentpunt;
7. coda glm(gepakt ~ glans + karaat): b_glans = 0.07750, b_karaat = 0.39697 (SE = 2.3804, z = 0.1668, p = .8676); OR-BI karaat [0.0140, 158.0];
8. de rekening, v2 in één familie: continu r = .5777, t(10) = 2.2384, p = .0491 (bestaand H4/H6-getal, mag niet verschuiven); knip > 50: r = .4066, t(10) = 1.4073, p = .1897; knip ≥ 50: r = .6325, t(10) = 2.5820, p = .0273. Referentie (oefenboek): Wald-route .1876 / .0638; LR-toets glans-model p = .0180; classificatie 9/12;
9. anti-overclaim-guard: één van de twee knippen verhóógt de correlatie — de tekst mag nooit “dichotomiseren verlaagt de samenhang” als wet claimen (formulering nu: “maakt je antwoord willekeurig”);
10. Else-boog-guard: H8 bevat de beat “Else staat niet op het gemiddelde” (H8 r271, gecheckt 20-7), maar die staat daar als [voorstel] — guard blijft tot Bens akkoord op de Else-boog;
11. H1-plant-guard (nieuw v2): §8 leunt op de H1 §3-zin bij formule 1.1b (“statistici denken graag in vermenigvuldigingen… wordt handiger”) — als die bij de stem-pas van H1 sneuvelt, moet de terugbetaling in §8 mee veranderen;
12. het 2×2 (nieuw 22-7, “Vier hokjes”): tabel merk × gepakt = 4/2/2/4; odds 2 en 0.5; OR exact 4; RR exact 2; glm(gepakt ~ D, binomial): b0 = ln 0.5 = −0.6931, b1 = ln 4 = 1.3863, exp(b1) = 4 exact; Wald-BI OR [0.363, 44.11]; Fisher-exact p = .5671 (in de lezer-tekst afgerond op .57);
13. drie stappen (nieuw 22-7, “En de interactie?”): kansen .038/.082, .408/.608, .922/.964; verschillen .044/.201/.042; odds-factor overal exact 2.2575 (→ 2.26); grootste kans-sprong rond het omslagpunt 49.59;
14. scheidings-guard (nieuw 22-7): glm(gepakt ~ glans * D) heeft quasi-volledige scheiding (binnen de sterretjes scheidt glans perfect: gepakt 70/80/70/80 tegen niet 30/30); D-term drijft naar −49.5 met SE ≈ 20000, glans:D op 0.997 met SE = 334 — de lezer-tekst mag uit dit model nóóit getallen tonen.
Alle getallen geverifieerd maar nog niet geborgd — tot het waarheidsscript het H12-blok heeft geldt elk getal als voorlopig correct.

D. Beslispunten voor Ben

De derde net-aan (p = .057) — zie werk-blok §6; drie uitwegen, geen schrijverskeuze.
De kraai-nacht en H4/H6: speelt vóór de diefstal (huidige keuze, kistje intact) of ís dit de diefstal? Raakt CAST-kandidaat “gestolen Geer”.
Titel: En hij buigt (werktitel). Alternatieven: Ja of nee, De knik, Van plus naar keer (nieuw in v2 — dekt de dragende lijn, maar verklapt hem ook; §7c zegt: verklap de stof, niet de vondst — en plus-naar-keer ís hier de vondst, dus waarschijnlijk niet).
Kicker: staat op Derde beweging · Verschil onthechten conform H8–H10, maar H12 onthecht geen verschil — het buigt het model. Eigen slot-markering? Raakt de navigatie-drieslag, geen losse edit.
Epigram-budget: “de kans woont niet in de steen…” (§3) vs “als de wereld je een getal geeft, hak het niet doormidden” (§7). De tweede is de didactische regel en zou ik houden.
Het deurtje naar deel 2 in §8 (tellen/volgorde/wachttijd bij naam): noemen is geen beloven, maar de lezer telt mee. Mijn advies: houden — het is de plek waar de lezer ziet dat hij een systeem heeft geleerd, geen einde.

E-bis. Effectgrootte-familie (22-7, uitgevoerd)

§5 voegt de OR met één zin bij de effectgrootte-familie (H4 geeft de naam, H9 brengt \(d\) en η²) — keuzes §1, besluit 22-7. Geen getallen veranderd; de zin leunt op de al bestaande tarief-brug naar hoofdstuk 4.

E-ter. Vier hokjes + En de interactie? (22-7, uitgevoerd)

Bens bestelling: “een twee bij twee voorbeeld voor OR en odds en p, dus dichotome x, en natuurlijk continue x, en doen we interactie erbij? ja toch?” Uitgevoerd als twee subsecties aan het slot van §5 (bewust géén nieuwe hoofdsecties — §6–§8 en de guards verwijzen op nummer; en bewust níét vooraan: een 2×2 heeft geen lijn die kan vastlopen, dus vooraan zou hij de pees van het hoofdstuk doorsnijden).
Vier hokjes: merk (H9) × gepakt → Tabel 12.3; OR = 4 naast RR = 2 (de voorlees-fout “vier keer zoveel kans”), dummy-helling = ln 4 (twee handschriften, één mededeling), BI [0.36, 44.1] als kraak-je-eigen-voorbeeld. Nieuwe formules ongenummerd (11.7 woont al in §8).
En de interactie?: de bocht is al interactie (drie stappen, Tabel 12.4 + Figuur 12.5, _bouw_h11.R blok 5); wat een echte product-kolom toevoegt (schaar in keer-taal) + de leesfout-waarschuwing (interactiecoëfficiënt ≠ kans-effect; Ai & Norton-claim bij redactie-pas verifiëren); gefit interactiemodel expliciet afgewezen — volledige scheiding op n = 12, geen modelgetallen in de tekst.
Getallenblad: _h11_2x2_en_interactie_getallen.md (alles in R herberekend; reproduceerde de bestelling volledig, met één etiket-precisering: de −49.5/SE 20000 hoort bij de D-term van het scheidings-model, niet bij glans:D zelf — conclusie gelijk).
Cascade 22-7 gedaan: INHOUDSOPGAVE H12-blok, keuzes §1-bullet, guards l–n hierboven, OEFENBANK-regels in §9-werkblok. Waarheidsscript-H12-blok blijft open (zie C).

E. Cascade (doorvoer-regel CLAUDE.md) — nog te doen

INHOUDSOPGAVE H12-blok: status naar “schets v2, bib-eerst verwerkt”.
keuzes.md: H12-paragraaf (binaire uitkomst + multiplicatieve dragende lijn + toetsfamilie-besluit §7 + de p = .057-kwestie), mét datum en why.
OEFENBANK.md: regels uit §9 toevoegen (incl. de twee nieuwe: polynoom-ladder, heteroscedasticiteit-door-constructie).
Atelier-sidebar + landing: tiende hoofdstuk.
Jeanne/Michelle-preflight: §4 is de afhaak-plek. v2 heeft de tabel-route van §5 als korte weg ingebouwd (kans eerst, Bens bijles-route); Michelle-toets blijft zinnig op de vraag of §4 stap twee (de adapter) kort genoeg is.