Tweede beweging · Verschillen koppelen

Hoofdstuk 3 — Het rechthoekje

Covariantie, correlatie en enkelvoudige regressie

Grove schets. Dit hoofdstuk opent boek-beweging 2 met de terugkeer-scène (de dieren zien het patroon: groot glanst meestal — uit de schatkistje-splitsing 5-7; de vondst staat in H1 §2, de kraai-diefstal sluit dít hoofdstuk als cliffhanger naar H5). Kern: armen-scène → product → rechthoek → covariantie → hetzelfde rechthoekje in lineaaltjes (r) → de helling (b). Het woord regressie valt hier voor het eerst. Y = glans (besluit 5-7, was prijs).

Bronnen: Bens armen-uitleg (chat 4-7-2026, verbatim-kern hieronder verwerkt), Bib uitleg-correlatie-gevoel-kwadranten-aapjes-min-min-is-plus, uitleg-covariantie-product-van-twee-afwijkingen, kiem drie-schrijfwijzen (MVDA-opfris). Getallen worden berekend, niet overgetikt — zie LEESMIJ_GENERATIEVE_GETALLEN.md.

Herbouw 21-8-2026. Veertien secties → twaalf; b vóór r; “de motor” en “de brillen” weg; DATA = FIT + RESIDU één keer (§8); de dertiende steen loopt als draad van §1 naar §10. Bouwtekening: 00_kompas/OPBOUW_H4_DEFINITIEF_2026-08-17.md.

Omzetting 30-9-2026 (Ben). “Ik zou eigenlijk liever covariantie, correlatie, regressie zien, in die volgorde, juist omdat s en r meer bij elkaar horen vind ik … ik merk dat ik in al mijn lessen dat toch blijf doen.” §5 is nu r (hetzelfde rechthoekje, in lineaaltjes), §6 de helling; “ruw is ruk” staat weer bij de covariantie; formules 3.2 en 3.3 zijn van nummer gewisseld. Het besluit b eerst van 17-8 is daarmee ingetrokken — zie keuzes.md, besluit van 30-9-2026. De bouwtekening van 17-8 beschrijft §5/§6 dus in de oude volgorde.

1. De terugkeer

GROF — terugkeer-scène; de vondst zelf staat nu in H1 §2 (schatkistje-splitsing 5-7). Kern-dialoog uit het oorspronkelijke verhaal, herpunt op samenhang. Stem-pas volgt.

De volgende ochtend lagen de diamantjes nog op het mos.

De kraai pakte er één met zijn snavel en hield ’m tegen het licht. “Deze is groot. En glanst behoorlijk.”

“Maar deze is kleiner en glanst meer,” zei de bever, wijzend.

“En deze is groot, maar… saai,” zei de meeuw.

De olifant keek een tijdje over alle twaalf heen, zoals alleen olifanten kijken — zonder haast, zonder iets aan te raken.

“De grote glanzen meestal meer,” zei hij toen. “Meestal.”

En daar lag, midden in dat meestal, die ene grote doffe.

 

Meestal. Dat woord gaat dit hoofdstuk dragen. Niet altijd — meestal. De grote glanzen meestal meer; groot gaat meestal samen met glanzend. Dat is een nieuwe soort waarneming: niet over één diamantje, ook niet over het gemiddelde diamantje, maar over hoe hun verschillen met elkaar meedoen.

En nu een spelletje. Stel dat de dam er vannacht nog één vangt — een dertiende. De bever legt hem op de weegschaal: 1.8 karaat. De glansmeter ligt ergens onder het mos en niemand heeft zin om te zoeken. Wat gok je?

Hoofdstuk 1 heeft daar een antwoord op, en het is niet slecht: gok het gemiddelde, 50, en je zit er gemiddeld 21.74 naast. Meer kon je toen niet — je wist niets van déze steen, dus je gokte wat je van álle stenen wist.

Maar nu weet je wél iets. Je weet zijn karaat. En je hebt de olifant net horen zeggen dat de grote meestal meer glanzen. 1.8 is aan de grote kant — dus je gok gaat omhoog. Boven de 50. Iedereen aan het water voelt dat.

Hoevéél boven de 50, dat voelt niemand. Dat moet je uitrekenen. En om het uit te rekenen moet je eerst precies weten wat de olifant zag: hoe sterk lopen groot en glanzend eigenlijk samen op, in dít kistje? Dat is dit hoofdstuk. De steen ligt zolang op het mos. Aan het eind kom ik terug om hem zijn getal te geven — en dan zeg ik er eerlijk bij wat zo’n getal waard is.

De dertiende steen — de draad van dit hoofdstuk (bouwtekening §0, Bens akkoord 21-8: deze alinea’s blijven zoals ze staan, inclusief de belofte in de slotzin). Na zijn introductie hier komt hij zes keer terug, telkens in één of twee zinnen: §2 (zijn plek op de ene as), §4 (de richting), §6 (ruw, vanaf Else), §7 (zijn getal), §9 (hoe ver ernaast), §10 (de ontnuchtering). §3, §5, §8, §11 en §12 noemen hem niet — hij is een draad, geen voertuig.

(Telling gecorrigeerd 21-8 door h4stem, uitgerekend en niet geteld: boek/_tools/tel_steen.py draait lezerstekst_scan over de schets zodat werknotities niet meetellen. Hier stond “zes keer” met een opsomming van vijf, en erachter “§2 … noemt hem niet” terwijl §2 hem wel noemt. Het gétal klopte dus; de opsomming miste §2 en sprak zichzelf een regel later tegen. Hérteld 30-9 na de omzetting van §5/§6: de wandeling vanaf Else verhuisde mee met de helling naar §6, en de nieuwe §5 noemt hem niet — zes blijft zes. Let op: tel_steen.py wees tot 30-9 nog naar H4_schets.qmd, het adres van vóór de wissel van 29-8, en telde dus stilletjes de grabbelton; sinds 30-9 wijst hij naar H3.) Hij krijgt geen naam (Bens besluit 21-8), ook niet in §7: de twaalf heten Anna tot en met Leen, en zolang hij niet gemeten is heet hij “de dertiende”.

“Stel dat … vannacht”, niet “morgen ligt er”: de sluiting zegt “Elf diamantjes. Morgen misschien tien.” Een steen die morgen écht aankomt botst met een kistje dat morgen krimpt; een hypothetische steen niet.

Hans staat al op 1.8 (tabel 3.1, en in H1 tabel 1.1) en glanst 60. Een lezer die dat onthield denkt hier misschien “60?”. Dat is geen lek maar de opmaat: §7 zegt precies dat.

2. De wolk en haar midden

Tabel 3.1. De diamantjes uit het kistje, met hun karaat (de gewichtsmaat voor edelstenen, 1 ct = 0,2 g) en glans (glansmeter, schaal 0–100).
id naam karaat glans (0–100)
1 Anna 1.0 20
2 Bram 1.1 30
3 Cees 1.1 30
4 Dora 1.3 30
5 Else 1.6 50
6 Faas 1.6 70
7 Geer 1.7 80
8 Hans 1.8 60
9 Ida 1.9 70
10 Joop 1.9 80
11 Kees 2.1 30
12 Leen 2.1 50

De twaalf staan hiernaast in tabel 3.1, met hun karaat en hun glans — die heb je dit hoofdstuk steeds nodig, en zo hoef je er niet voor terug naar hoofdstuk 1.

Terug naar de puntenwolk waarmee hoofdstuk 1 sloot: karaat op de ene as, glans op de andere, twaalf punten. Statistici noemen het kruispunt van de twee gestreepte lijnen — de gemiddelde karaat, de gemiddelde glans — de centroïde: het zwaartepunt van de wolk. En op dat kruispunt woont — bij ons, bij toeval, niet bij wet — iemand. Else. Tot op de komma de gemiddelde diamant; dat wisten we sinds hoofdstuk 1, inclusief de eerlijke voetnoot: de centroïde is meestal een leeg adres, en onze wolk heeft toevallig een bewoner. Figuur 3.1 tekent de wolk opnieuw, met haar midden omcirkeld.

Dezelfde puntenwolk als aan het eind van hoofdstuk 1, karaat tegen glans, alle namen erbij. Om Else, op het kruispunt van de twee gestreepte gemiddelde-lijnen, staat een rode ring met in rood het woord centroïde. Rechts daarvan, op karaat 1.8, loopt een rode stippellijn over de hele hoogte, zonder eindpunt, dwars door Hans heen; onderaan staat een vraagteken: de dertiende steen, zijn glans nog onbekend. Bij karaat 1.1 en glans 30 liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip.

Figuur 3.1. De wolk uit hoofdstuk 1, nu met het zwaartepunt omcirkeld; de twee gestreepte lijnen verdelen de twaalf in vier vakken, en op karaat 1.8 wacht de dertiende steen op zijn glans.

Herbouwd 2-10-2026 (spoor fig_a) als h3_wolk_steen.png uit 02_figuren/_bouw_h3_wolk.R: namen heel (Kees en Leen staan nu onder hun punt), vierkante ruitjes, en de steen als vraagteken met een stippellijn zonder eindpunt — figuur 3.14 in §7 maakt die lijn af. Het oude h4_centroide.png blijft op schijf staan (de wachters hangen eraan) maar hangt nergens meer; het staat sinds 2-10 (middag) als wees op 02_figuren/_wacht/brug_aanvaard.tsv, met reden, en de registerregels staan in 02_figuren/_nieuw_fig_a.md. De twee gestreepte lijnen delen de wolk in vier vakken — benoemd in het onderschrift; het woord “kwadrant” valt nergens, en dat was een belofte uit een oud briefje, geen tekst.

Else gaat ons in dit hoofdstuk nog iets leren, en het is niet niks: wie precíés gemiddeld is, doet aan geen enkele berekening mee. Ze zegt niks. Ze telt alleen mee — in de twaalf. GROF: dit dieper uitspelen bij redactie-pas; Wilde-lijn: het gemiddelde zijn maakt je niet het middelpunt, het maakt je onzichtbaar. En de n-pointe: ze verandert geen enkele schatting, wél de zekerheid — “ze zegt niks, maar ze telt”. De uitwerking (geen vierkantje, geen rechthoekje, geen residu) staat nu bij elkaar in §8 — daar is het alle drie tegelijk waar en hoeft het niet drie keer.

En ergens rechts van dat kruispunt, op karaat 1.8, ligt de steen van daarnet: zijn plek op de ene as weten we, zijn hoogte op de andere niet. In figuur 3.1 hierboven staat hij daarom als vraagteken onderaan, met een stippellijn omhoog die nergens eindigt.

Vanaf dat kruispunt gaan we kijken. Niet naar de wolk in één keer — naar één diamantje tegelijk.

3. Hoog of laag? — de armen

Dit is de dragende scène van het hoofdstuk. Bens bord-scène, hier in docenten-stem. In de klas doet hij dit letterlijk met zijn armen — dat beeld moet de tekst in; zie open punt “armen-tekening”.

Woordelijk gelaten bij de herbouw van 21-8 (bouwtekening §4: “§3 en §4 worden niet uitgedund”, Bens besluit). Wat er wél bij hoort: V1, een serie van vier, tussen de alinea’s — telkens dezelfde wolk, alles vaag behalve één diamant, één as tegelijk: (1) Anna, verticale gemiddelde-lijn, pijl onder de x-as: laag; (2) horizontale lijn erbij, pijl langs de y-as: ook laag; (3) Joop rechtsboven, beide pijlen andersom; (4) Kees, pijlen spreken elkaar tegen. Gebouwd 2-10-2026 (spoor fig_a) als vier volle figuren onder elkaar. Sinds 3-10-2026 (spoor reeksen_h3) één strook: figuur 3.2, h3_armen_strook.png uit _bouw_h3_reeksen.R, vier kleine handschetsen naast elkaar (Bens besluit van 3-10, keuzes.md: “1, 2, 3 plaatjes mogen ook echt wel klein zijn en van die basale handschetsen”). De strook staat waar de uitleg begint; de tekst loopt er daarna plaatje voor plaatje doorheen. Geen namen in de schetsen: de steen heet in 1–3 “een willekeurig diamantje” en in 4 “die ene grote doffe”, de woorden van de olifant uit §1 — Kees valt pas in §4. De armen liggen op de assen, buiten de wolk, met hoog en laag ernaast; dat zijn de enige woorden in de strook. De steen is inkt, niet bordeaux (in de rechthoek-strook betekent bordeaux “telt tegen”; beeldverteller 3-10). De oude vier PNG’s zijn weg (git bewaart ze).

Open, voor Ben: het spartelen lekt. Beide testlezers (Michelle, beeldverteller, 3-10) zagen het antwoord op “Wat hadden deze twee diamantjes gemeen?” al vóór de vraag. Twee bronnen: de strook staat er nu boven, met laag laag · hoog hoog · hoog laag erin; en de tekst zelf zegt het twee keer eerder (“Twee armen, dezelfde kant op”, “Weer twee armen dezelfde kant op”). Dat laatste is Bens woordelijke scène (§3 wordt niet uitgedund, besluit 21-8), dus daar is niet aan gekomen. Geen strookplek houdt het antwoord verborgen: plaatje 2 en 3 tonen het samen al.

Pak een willekeurig diamantje uit de wolk. Eerste vraag: zit hij hoog of laag op karaat? Alleen links-rechts kijken dus — en de hoogte even volledig negeren. Dat is lastiger dan het klinkt: je ogen willen de hele positie zien, maar ik vraag maar één as tegelijk.

Zeg dat het antwoord laag is. In de klas laat ik dan mijn rechterarm hangen — laag, en een beetje bungelen, overdreven graag. Figuur 3.2 is een strook van vier kleine schetsen, en plaatje 1 doet hetzelfde met een pijl: van het gemiddelde naar de steen, onderlangs.

Figuur 3.2. De armen, één as tegelijk. Elke pijl loopt van het gemiddelde naar de steen: hoog op karaat is naar rechts, hoog op glans naar boven. Plaatje 1: alleen de karaat-arm. Plaatje 2: dezelfde steen, nu ook met de gemiddelde glans als streeplijn, en de glans-arm erbij. Plaatje 3: een steen rechtsboven. Plaatje 4: die ene grote doffe.

Tweede vraag, zelfde diamantje: en op glans — hoog of laag? Ook laag. Daar gaat mijn linkerarm: ook omlaag, ook bungelen. Twee armen, dezelfde kant op — in plaatje 2 is dat een tweede pijl, langs de linkerkant.

Nu een diamantje rechtsboven in de wolk. Hoog op karaat — arm omhoog. Hoog op glans — andere arm ook omhoog. Weer twee armen dezelfde kant op, alleen nu allebei de lucht in (plaatje 3).

Wat hadden deze twee diamantjes gemeen?

In de klas laat ik jullie hier even spartelen. Bij jou kan ik alleen de bladzijde stilhouden. GROF — hier een leespauze/witruimte; Ben laat ze in de klas bewust even spartelen.

Niet hun positie — de één zat linksonder, de ander rechtsboven. Wat ze gemeen hadden: beide armen wezen dezelfde kant op. Laag-laag en hoog-hoog zijn, voor deze vraag, hetzelfde soort diamantje: eentje die op beide assen dezelfde richting koos.

En dan zijn er diamantjes waar de armen elkaar tegenspreken: hoog op karaat, laag op glans. Eén arm omhoog, één omlaag — plaatje 4, en je herkent hem: die ene grote doffe van de olifant. Zijn pijlen spreken elkaar tegen: deze steen doet niet mee met het meestal van de olifant. Kees. Maar nog niet bij naam — die komt in sectie 4 terug. De zin over de pijlen stond tot 3-10 in het bijschrift van de losse vierde armen-figuur; nu het bijschrift bij de strook staat, vóór de spartelvraag, zou hij daar het antwoord geven.

Laatste vraag van de scène: welk diamantje beweegt op béíde variabelen het extreemst? Niet wie op één as het verst zit — wie op allebei tegelijk ver van het midden zit. Om “ver op X” en “ver op Y” in één getal te vangen heb je een product nodig. Vermenigvuldigen. En als je twee afstanden vermenigvuldigt, krijg je —

daar is-ie weer: een oppervlakte.

En nu alle houdingen tegelijk, in figuur 3.3 — je hebt er net vier meegemaakt.

Figuur 3.3. Negen armen-houdingen, één per combinatie van laag, gemiddeld en hoog: de ene arm (k) doet karaat, de andere (g) doet glans, en het teken eronder zegt wat die houding bijdraagt — armen samen, armen tegen, of één arm plat.

Figuur v1 (R-steiger, 02_figuren/_bouw_h4_poppetjes.R, 6-7; heette tot 20-8 _poppetjes_wolk_proef.R) — alle negen armen-houdingen in één wolk: 3×3 (laag/midden/hoog op karaat × idem op glans), bijdrage-teken eronder in decompositie-kleuren (+ groen, − bordeaux, 0 grijs). k = karaat-arm, g = glans-arm (gemarkeerd op het laag-laag-poppetje). Eindversie tekent Ben zelf — ILLUSTRATIES.md poses 1–4.

Verhuisd uit §4 op 21-8 (bouwtekening §3, §5): hij hoort bij de armen, niet bij de rechthoek, en §3 was de enige sectie zonder beeld — precies de sectie die beide testlezers het sterkst vonden. De +/−/0-glyphs mogen blijven staan; §4 legt ze twee alinea’s later uit.

4. De rechthoek

In hoofdstuk 1 maakten we van elke gokfout een vierkantje: de afwijking keer zichzelf. Nu hebben we per diamantje twéé gokfouten — eentje op karaat, eentje op glans. Vermenigvuldig die met elkaar en je krijgt geen vierkant maar een rechthoek: breedte = de karaat-afwijking, hoogte = de glans-afwijking.

\[(X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y})\]

Term-blokje: kruisproduct / cross product. Even-terug-blokje: een vierkant is een rechthoek waarvan de zijden toevallig gelijk zijn — de covariantie van een variabele met zichzélf is de variantie. Dat is de brug terug naar H1 en vooruit naar alles.

V2, serie van drie, hoort tussen deze alinea’s (bouwtekening §3): (1) Anna en de centroïde, haar twee gokfouten als losse streepjes; (2) diezelfde streepjes spannen de groene rechthoek; (3) Kees spant bordeaux, Faas heeft breedte nul. Gebouwd 2-10-2026 (spoor fig_a) als drie volle figuren onder elkaar. Sinds 3-10-2026 (spoor reeksen_h3) één strook: figuur 3.4, h3_rechthoek_strook.png uit _bouw_h3_reeksen.R (Bens besluit van 3-10 over series van plaatjes, keuzes.md). Vier plaatjes, niet drie: in de eerste versie stonden Kees en Faas samen in plaatje 3, en testlezer Michelle las Faas’ streepje, dat op de hoek van Kees’ vlak begint, als “een sprietje aan de rechthoek”. In de schetsen staat geen getal en geen naam, alleen per vlak zijn teken (+ groen, − bordeaux, 0 grijs, zoals in figuur 3.3), uitgerekend uit de data; de getallen staan in tabel 3.2, direct hierna (tot de testlezers stonden ze ook in het bijschrift, en dat werd een lap cursief die Michelle oversloeg). Een minteken naast Anna’s twee streepjes is in de proef weggehaald: Anna ligt vlak bij beide assen, en daar las een los streepje als een maatstreep op de as.

Kijk eerst naar Anna, in figuur 3.4, een strook van vier kleine schetsen. In plaatje 1 zijn haar twee gokfouten de blauwe streepjes uit hoofdstuk 1, alleen staat er nu ook één opzij.

Figuur 3.4. Eén rechthoekje wordt geboren. Plaatje 1: Anna’s twee gokfouten, elk vanaf zijn gestreepte gemiddelde-lijn: een breedte en een hoogte. Plaatje 2: samen spannen ze een vlak, en dat telt mee: plus. Plaatje 3: Kees spant een vlak dat tegen telt: min. Plaatje 4: Faas wijkt alleen op glans af; zijn breedte is nul, dus hij spant geen vlak: 0.

Vermenigvuldig die twee, en er ontstaat een vlak (plaatje 2). Min keer min is plus, dus Anna telt mee.

Die rechthoek kan drie dingen zijn:

  • Positief — beide armen dezelfde kant op (laag-laag of hoog-hoog: min × min = plus, plus × plus = plus).
  • Negatief — armen tegengesteld (hoog-laag of laag-hoog: plus × min = min).
  • Niets — en dit is de belangrijkste van de drie. Wie op één van de twee assen precies gemiddeld is, heeft een rechthoek met een zijde van nul. Geen oppervlakte. Co betekent samen — wie maar op één variabele afwijkt, varieert niet samen. Die doet niet mee.

De laatste twee staan in plaatje 3 en 4. Kees — die ene grote doffe uit plaatje 4 van figuur 3.2 — spant tegen: plus keer min is min. En Faas spant niets. Breedte nul, geen oppervlakte: hij doet niet mee. “Kees — die ene grote doffe …” is nieuw op 3-10 (spoor reeksen_h3): de werknotitie in §3 belooft dat Kees “in sectie 4 terugkomt”, maar §4 noemde hem zonder te zeggen dat het dezelfde steen was. Nu de stroken hem twee keer op dezelfde plek rechtsonder laten zien, viel dat de beeldverteller op.

Bij twaalf diamantjes kunnen we gewoon even tellen wie wat bijdraagt, in tabel 3.2:

Tabel 3.2. De twaalf kruisproducten (“rechthoekjes”).
naam karaat-afwijking glans-afwijking rechthoek bijdrage
Anna −0.6 −30 +18 positief
Bram −0.5 −20 +10 positief
Cees −0.5 −20 +10 positief
Dora −0.3 −20 +6 positief
Else 0 0 0 niets — zit óp het kruispunt
Faas 0 +20 0 niets — wijkt alleen op glans af
Geer +0.1 +30 +3 positief
Hans +0.2 +10 +2 positief
Ida +0.3 +20 +6 positief
Joop +0.3 +30 +9 positief
Kees +0.5 −20 −10 negatief — dáár is hij weer
Leen +0.5 0 0 niets — wijkt alleen op karaat af
Dezelfde puntenwolk met namen, karaat tegen glans, met de twee gestreepte gemiddelde-lijnen. Van elke stip is een rechthoekje gespannen naar het kruispunt. Linksonder en rechtsboven zijn ze groen, mee; waar ze over elkaar liggen, wordt het groen donkerder. Rechtsonder ligt één bordeaux rechthoekje, tegen: dat van Kees. Else, Faas en Leen liggen op een gestreepte lijn en spannen niets. Onder de figuur staan de drie sommen. Bij karaat 1.1 en glans 30 liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip. Hun twee rechthoekjes vallen precies samen.

Figuur 3.5. Elke diamant spant zijn rechthoek naar het kruispunt: groen telt mee, bordeaux telt tegen — en wie op een gestreepte lijn ligt, heeft niets om te spannen.

Figuur v1 — het visuele hart van het hoofdstuk: elke diamant spant zijn rechthoek naar de centroïde; groen wint zichtbaar van bordeaux, en de drie zonder oppervlakte doen niet mee. Sinds 2-10 bouwt de rechthoek-reeks ernaartoe (sinds 3-10 de strook van figuur 3.4): wie één rechthoek heeft zien ontstaan, leest deze als “en nu allemaal tegelijk”.

Wie wint? Figuur 3.5 laat het zien. De positieven halen samen 64, Kees haalt 10 terug, drie diamantjes doen niet mee. Som: +54. De wolk leunt dus duidelijk één kant op: groter gaat samen met glanzender. Kees protesteert, maar hij verliest.

En dan doen we wat we altijd doen met een som: delen door het aantal écht vrije gokfouten. Het gemiddelde rechthoekje:

\[S_{XY} = \frac{\sum (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y})}{n-1}\tag{3.1}\]

\[\begin{aligned} S_{XY} &= \frac{\sum (X_i - \overline{X})(Y_i - \overline{Y})}{n-1} \\[0.4em] &= \frac{54}{11} \\[0.4em] &= 4.91 \end{aligned}\]

Dit getal heet de covariantie. Gemiddeld samen-bewegen — voor de samenhang wat het gemiddelde vierkantje voor de spreiding was. Voor de steen op het mos betekent dat plusteken: de wolk leunt omhoog, dus jouw gok ook. Maar hoevéél — daar zegt 4.91 karaat-glanzen niets over. Niemand denkt in karaat-glanzen.

5. Hetzelfde rechthoekje, in lineaaltjes

Is 4.91 veel?

Je kunt er niets van zeggen, en dat is geen gebrek aan ervaring. Had de glansmeter tot duizend geteld in plaats van tot honderd, dan stond hier 49.1 — tien keer zo’n rechthoekje, zonder dat er íéts aan de wolk veranderde. Geen punt verschoven. Alleen de streepjes op de meetlat. Figuur 3.6 zet de twee onder elkaar. Bib, kreet-ruw-is-ruk-covariantie (Ben, transcript): “De covariantie is de samenhangsmaat, maar ze is ruw. En ruw is ruk.” Tot 30-9-2026 stond dit argument bij de helling (32 → 321); Bens omzetting van die dag zet het terug bij het rechthoekje, waar zijn eigen kreet het ook zet.

Twee panelen boven elkaar met dezelfde twaalf stenen, karaat tegen glans, zonder namen, met de gestreepte gemiddelde-lijnen. In elk paneel is het rechthoekje van Anna, de stip linksonder, groen ingekleurd tot het kruispunt. Op het oog zijn de twee tekeningen gelijk; alleen de getallen langs de glans-as verschillen, boven tot honderd, onder tot duizend, en met die getallen het gemiddelde rechthoekje dat in elk paneel genoemd staat. In beide panelen liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip.

Figuur 3.6. Twee keer exact dezelfde wolk. Boven de glansmeter tot honderd, gemiddeld rechthoekje 4.91; onder dezelfde stenen op een meter tot duizend, rechthoekje 49.1. Geen punt verschoven — alleen de streepjes op de meetlat.

Zo’n getal is dus ruw: het hangt aan de toevallige schaal waarop iemand ooit besloot te meten. En ruw is ruk. De uitweg kennen we uit hoofdstuk 1 — meet allebei in hun eigen lineaaltje. Karaat spreidt met 0.39, glans met 21.74.

Figuur 3.7. De doos van lineaaltje bij lineaaltje, en daarin het gemiddelde rechthoekje: het vult er .58 van.

Die twee lineaaltjes spannen samen óók een rechthoek (figuur 3.7): 0.39 karaat breed, 21.74 glans hoog, oppervlakte 0.39 × 21.74 = 8.48. Dat is de rechthoek van één lineaaltje bij één lineaaltje, en daar kun je elk ander rechthoekje tegen afmeten. Hoe vaak past ons gemiddelde rechthoekje erin? 4.91 gedeeld door 8.48 is .58 keer.

Dat getal heet de correlatie.

\[r_{XY} = \frac{S_{XY}}{S_X \cdot S_Y}\tag{3.2}\]

\[\begin{aligned} r_{XY} &= \frac{S_{XY}}{S_X \cdot S_Y} \\[0.4em] &= \frac{4.91}{0.39 \times 21.74} \\[0.4em] &= .58 \end{aligned}\]

Hetzelfde rechthoekje als in sectie 4 — alleen niet meer gemeten in karaat-glanzen, maar in lineaaltjes. Karaat streept weg tegen karaat, glans tegen glans, en wat overblijft is een kaal getal zonder eenheid. Was de wolk de andere kant op gaan leunen — zwaar gaat samen met dof — dan stond hier een min.

En één ding mag je van mij aannemen, want bewijzen doen we het hier niet: het gemiddelde rechthoekje past nooit méér dan één keer in de rechthoek van de lineaaltjes. De correlatie zit dus altijd tussen −1 en +1. Bij −1 liggen alle punten precies op een dalende streep, bij 0 is de wolk rond, bij +1 liggen ze precies op een stijgende streep. Onze .58 zit daar ergens tussenin: een wolk die duidelijk leunt, en duidelijk wiebelt. Kijk maar naar de vijf wolkjes in figuur 3.8 — de vierde is de onze.

Vijf kleine vierkante wolkjes naast elkaar, elk van twaalf punten, zonder getallen langs de assen; boven elk wolkje staat zijn correlatie. Van links naar rechts: alle punten op een dalende streep, een losse dalende wolk, een ronde wolk zonder richting, dan onze eigen diamantjes, die schuin omhoog leunen en wiebelen, en helemaal rechts alle punten op een stijgende streep. In het vierde wolkje, de onze, liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip.

Figuur 3.8. Vijf wolkjes van twaalf punten, van r = −1 tot r = +1; het vierde wolkje zijn onze eigen diamantjes. Assen kaal, want er valt niets af te lezen.

GROF: guess-the-correlation-gevoel hier — wolkjes tonen, laten gokken. Bib-unit beschikbaar. V5 in de bouwtekening: de gok-de-r-galerij (−1 · −,5 · 0 · onze .58 · +1), assen kaal. Gebouwd 2-10-2026 (h3_gok_de_r.png, _bouw_h3_wolk.R): de vier verzonnen wolkjes krijgen hun r exact (y = r·z₁ + √(1−r²)·z₂ met z₁ ⊥ z₂), en het getal boven elk wolkje komt uit cor() van wat er getekend staat. Dat het rechthoekje nooit meer dan één keer past, is in het vak de ongelijkheid van Cauchy–Schwarz; bewust niet bewezen, wel gezegd — en sinds 30-9 mét toestemming om het aan te nemen, want beide testlezers lazen de kale bewering als “dit hoor je te weten”. “Streep” en niet “lijn”: Jeanne las “lijn” bijna als dé lijn die pas in §6 komt.

Let op wat er níét in dit getal zit: een richting. Karaat met glans is hetzelfde rechthoekje als glans met karaat — breedte keer hoogte is hoogte keer breedte. De covariantie kent geen volgorde, en de correlatie dus ook niet. Ze zeggen hoe sterk twee dingen samen bewegen, en laten open wie wie volgt. Houd dat vast, want in de volgende sectie gaan we een kant kiezen.

effectgrootte effect size ook: effectmaat

Nu dit getal er staat, kan ik je vertellen tot welke soort het hoort. Een getal dat zegt hoe gróót iets is — hoe sterk een samenhang, hoe fors een verschil — heet een effectgrootte, in artikelen meestal op zijn Engels: effect size. Onze .58 is er één. Meer is het niet, en dat is precies de kracht: hij beantwoordt de vraag hoe groot is het? en bemoeit zich nergens anders mee — niet met de vraag of het verband echt is. Wie ooit een artikel leest waarin een verband alleen wordt “aangetoond” zonder dat er staat hoe gróót het is, weet vanaf nu wat er ontbreekt.

Voor wie verder wil — r in z-vorm.

Je kunt het ook andersom doen: niet het rechthoekje achteraf in lineaaltjes uitdrukken, maar elke afwijking vóóraf in haar eigen lineaaltje meten — standaardiseren — en dan pas vermenigvuldigen. Dan is r het gemiddelde rechthoekje van die lineaaltjes-afstanden. Dat is de z-vorm, en daar komt later in het boek meer van.

Omgezet 30-9-2026 (Bens besluit; keuzes, besluit van die dag). Deze sectie stond tot 30-9 ná de helling, als Dezelfde helling, in lineaaltjes, en definieerde r met Bens zin “één lineaaltje karaat erbij, en je gok gaat ,58 lineaaltje omhoog” — dat kon, omdat de lezer b al had. Nu r vóór b komt, is die zin hier niet te dragen: hij belooft een helling die er nog niet is. Daarom is de oppervlakte-lezing (hoe vaak past het gemiddelde rechthoekje in de lineaaltjes-rechthoek) uit het verderwil-kader teruggehaald naar de lopende tekst en is zíj nu de definitie; Bens zin staat in §6, op de plek waar r als tarief wordt herkend en in b wordt omgerekend. Dat is nog steeds één definitie per plek — het meesterknecht-besluit van 21-8 (Bens zin = definitie, oppervlakte → kader) is daarmee ingetrokken, en het kader houdt wat Ben er op 5-7 in zette: de z-vorm. V4 (rechthoekje-in-rechthoek) hoort nu bij deze lopende tekst, niet bij het kader. r = cos θ blijft bewust buiten dit hoofdstuk.

Even-terug-blokje (kandidaat): en het vierkant? De covariantie van karaat met zichzélf gedeeld door lineaaltje-maal-lineaaltje van karaat is precies 1 — elke variabele correleert perfect met zichzelf. De hele familie is één formule.

Effectgrootte-familienaam geplant 22-7 (Bens besluit, keuzes §1): hier bij de eerste r, één zin bij R² in §9; de leden Cohen’s d en η² arriveren in H9 §4, de OR sluit aan in H12 §5. Getallenblad: _effectgroottes_getallen.md.

Het drieluik “één wolk, drie linialen” (bouwtekening §5) hoort nu hier en is met de omzetting van lading verwisseld: (a) assen in karaat en glans 0–100, rechthoekje 4.91; (b) glans 0–1000, rechthoekje 49.1 — geen punt verplaatst; (c) beide assen in lineaaltjes, Else op (0, 0), rechthoekje .58. Tot 30-9 droeg het de hellingen 32 / 321 / .58; of het beeld met rechthoekjes of met lijnen getekend wordt is een keuze voor de figurenronde. Gebouwd 2-10-2026 als tweeluik, niet als drieluik (toen figuur 3.11, nu 3.6 — nummer nagemeten 19-10; h3_ruw_tweeluik.png): panelen (a) en (b), met Anna’s rechthoek als ijkpunt in allebei. Paneel (c) — beide assen in lineaaltjes, Else op (0, 0) — is bewust weggelaten: dat is de z-vorm, en die woont sinds 30-9 in het verderwil-kader, met als regel één definitie per plek. V4 (figuur 3.7, h3_rechthoek_in_rechthoek.png, _bouw_h3_schema.R) tekent de definitie die de lopende tekst wél geeft: hoe vaak past het gemiddelde rechthoekje in de doos.

H3 zegt hier bewust níéts over “dichter bij het midden”, teruggang of Galton (meesterknecht-besluit 21-8): dat is de onthulling van H8 §7, en die mag H3 niet voor zijn.

6. De helling

De correlatie zegt hoe stérk. Maar voor de steen op het mos wilde je weten hoevéél — en niemand denkt in lineaaltjes, net zomin als in karaat-glanzen. Je wilt glans per karaat.

Daarvoor pak je het ruwe rechthoekje terug. Ruw is ruk, zei ik — maar voor sommige formules wel handig, en dit is er zo een. Boven de deelstreep staat karaat-keer-glans: de rechthoekjes. Deel dat door karaat-keer-karaat — de vierkantjes van karaat uit hoofdstuk 1, die samen 1.68 maken (daar kwam ook het lineaaltje van 0.39 vandaan: 1.68 gedeeld door elf, en de wortel) — en er blijft glans per karaat over. Dat is niet alleen een eenheden-truc: een rechthoek gedeeld door een vierkant met dezelfde breedte is hoogte-per-breedte, en hoogte per breedte is een helling. Bib, kreet-ruw-is-ruk-covariantie-maar-handig-voor-formules (Ben, transcript): “De covariantie is de ruwe samenhangsmaat. Ruw is ruk — maar voor sommige formules wel handig. De correlatie is de gestandaardiseerde maat.” De formule die hij daar bedoelt is precies deze, b₁ = Sₓᵧ / Sₓ². Volgorde van de aanloop omgedraaid op 30-9 na Michelle: sterk/hoeveel eerst, dán de ruk-callback — anders wijst “dit is zo’n formule” naar iets dat er nog niet staat. De 1.68 heeft nu een naam: beide testlezers moesten de karaat-kolom zelf kwadrateren om hem te vinden.

\[b_1 = \frac{S_{XY}}{S^2_X}\tag{3.3}\]

\[\begin{aligned} b_1 &= \frac{S_{XY}}{S^2_X} \\[0.4em] &= \frac{54/11}{1.68/11} \\[0.4em] &= \frac{54}{1.68} \\[0.4em] &= 32.14 \end{aligned}\]

De elf onder de deelstreep staat boven én onder, dus die valt weg: je kunt net zo goed de kruisproducten-som door de kwadratensom delen. Zelfde antwoord, geen afrondingsgruis onderweg.

En kijk wat er met de eenheden gebeurt: karaat-keer-glans gedeeld door karaat-kwadraat = glans per karaat. Dit getal zégt iets, in gewone woorden: elke karaat erbij gaat gemiddeld samen met 32 glanspunten erbij. Figuur 3.9 tekent die lijn door de wolk.

Dezelfde puntenwolk met namen, karaat tegen glans. Alleen de gestreepte lijn van de gemiddelde glans staat er nog, en van elke stip loopt een dun blauw streepje naar die lijn, de gokfouten uit hoofdstuk 1; Else en Leen liggen erop en hebben er geen. Daar doorheen klimt een groene rechte lijn van linksonder naar rechtsboven, en die kruist de gestreepte lijn precies bij Else. Bij karaat 1.1 en glans 30 liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip.

Figuur 3.9. Dezelfde wolk, nu met de lijn erdoor: vanaf de gemiddelde-lijn uit hoofdstuk 1 klimt hij 32 glanspunten per karaat.

dec_2_lijn uit _bouw_decompositie.R — stond als wees in het register, is hier ingezet (bouwtekening §5). Bewust zonder residuen: h4_lijn.png (de oude figuur 3.4, met Kees’ bordeauxrode streep) toont het residu vóór het woord valt en loopt dus vooruit op §8. Die is bij de herbouw van 21-8 uit het hoofdstuk gehaald; het bestand staat er nog.

En hier valt het woord: de lijn die zo door de wolk loopt dat de gokfouten zo klein mogelijk zijn, heet de regressielijn. Let wel: een gokfout is nu niet meer de afstand tot het gemiddelde, want je gokt niet meer met het gemiddelde — het is de afstand tot de lijn. “Zo klein mogelijk” is daarbij precies wat je uit hoofdstuk 1 verwacht: niet de gokfouten zelf (die sommeren toch naar nul, plus en min heffen elkaar op), maar hun vierkantjes — de lijn maakt de som van de gekwadrateerde gokfouten zo klein als hij kan. Statistici noemen dat de kleinste-kwadraten-lijn. Waarom het woord regressie — dat verhaal komt nog. Regressie-naar-de-mean + Wilde-lijn: latere pas of H5+. H8 §7 lost deze belofte in; die blijft dus staan.

kleinste kwadraten least squares (OLS)

En die lijn loopt door Else — door het kruispunt van de twee gemiddelden. Waaróm, dat zie je in sectie 7; dát het zo is, kun je nu al gebruiken. Want dan kun je vanaf haar naar de steen lópen: van karaat 1.6 naar 1.8 is 0.2 karaat verder, maal 32 is ruim 6 glans erbij. Je gok schuift van 50 naar een 56 of daaromtrent.

Dat is nog geen formule — het is een wandeling vanaf iemand die je toevallig kent. In sectie 7 maken we er iets van waar ook iemand wat aan heeft die Else nooit ontmoet heeft.

Even over dat woordje per

Lees de eenheid van b nog eens hardop: 32.14 glanspunten per karaat.

Daar staat iets wat je al je hele leven kunt. Kaas per kilo, kilometers per uur, euro’s per vierkante meter — allemaal verschillen per verschil. Niemand noemt ze zo, en iedereen rekent ermee. Dit is dus geen nieuw soort getal; het is een kiloprijs, met glans in plaats van euro’s — tabel 3.3:

Tabel 3.3. Drie tarieven op een rij — de kaas, de snelweg en onze regressielijn — met voor elk de belofte én de kleine lettertjes.
wat het zegt wat het niet zegt
€8,50 per kilo 1 kilo meer kost €8,50 meer niet elk stuk kaas kost €8,50 — dat hangt van het gewicht af
90 km per uur 1 uur langer is 90 km verder je bent niet elk uur 90 km verder — je stopt voor een stoplicht
32.14 glans per karaat 1 karaat zwaarder gaat samen met 32.14 glanspunten meer niet elke zwaardere steen is feller — dat is Kees

Die rechterkolom is belangrijker dan de linker, want 32.14 klinkt al gauw als een belofte aan elke afzonderlijke steen — ook aan de onze. Dat is het niet.

Kijk nog even naar de voorzetsels, want ze staan er alle drie in: verschil in glans per verschil in karaat, tussen de diamantjes onderling. In wijst de variabelen aan, tussen wijst de stenen aan, en per zegt hoe de twee met elkaar meebewegen. De eenheid is de docent.

Dezelfde helling, in lineaaltjes

Nu nog één keer terug naar de correlatie, want die wás al een tarief — je kon het alleen nog niet zien. Eén lineaaltje karaat erbij is 0.39 karaat; maal het tarief van 32.14 is dat 12.53 glans erbij. En 12.53 glans, gedeeld door een glans-lineaaltje van 21.74, is .58 glans-lineaaltje. Daar is onze r weer, en nu staat er een zin bij die je kunt onthouden: Tot 30-9 stond hier het onafgeronde product 12.56; beide testlezers rekenden 0.39 × 32.14 na, kregen 12.53 en boekten dat als eigen fout. Nu staat het product van wat er gedrukt staat; de exacte route (r_uit_lineaaltjes = cor()) én de gedrukte route worden allebei getoetst in _getallen_toets.R.

Eén lineaaltje karaat erbij, en je gok voor glans gaat .58 lineaaltje omhoog.

Let op het onderwerp van die zin, want het valt er makkelijk uit. Het is je gok die .58 lineaaltje omhoog gaat, niet de glans zelf. De echte glans wiebelt daar nog flink omheen — hoevéél precies staat in sectie 9.

En omdat het twee maten van hetzelfde zijn, laten ze zich in elkaar omrekenen:

\[b_1 = r \cdot \frac{S_Y}{S_X}\tag{3.4}\]

Lees hem in gewone woorden en hij is bijna saai: .58 lineaaltje glans per lineaaltje karaat, maal 21.74 glans per lineaaltje, gedeeld door 0.39 karaat per lineaaltje — en er staat weer 32.14 glans per karaat. (Reken je hem na met de afgeronde getallen hierboven, dan kom je op 32.3 — dat scheelt een afronding, geen fout; onafgerond rolt er precies onze 32.14 uit.)

Eén helling, twee maten. Niet twee apparaten: dezelfde lijn, andere maatstrepen op de assen.

Eén ding nog, voor als je een artikel openslaat: daar heet de helling-in-lineaaltjes vaak β, de gestandaardiseerde coëfficiënt — en bij één voorspeller is dat gewoon onze r.

En nu het ding dat de helling wél kan en het rechthoekje niet: een kant kiezen. Draai de vraag om — niet glans uit karaat, maar karaat uit glans — en deel het rechthoekje door de vierkantjes van glans in plaats van die van karaat: 54 gedeeld door 5200 in plaats van 54 gedeeld door 1.68. Er komt een andere helling uit: 0.0104 karaat per glanspunt.

En let op, want de kaas-tabel zet je hier op het verkeerde been: een kiloprijs draai je om door er één gedeeld door van te nemen, maar één gedeeld door 32.14 is 0.031, en dat is het níét. De lijn andersom is een ándere lijn — hij maakt andere gokfouten klein, de horizontale in plaats van de verticale — en dus een ander tarief. Maar de correlatie blijft precies .58, welke kant je ook op kijkt: in de rechthoek van de lineaaltjes maakt het niet uit welke zijde je de breedte noemt. Samenhang heeft geen richting. Een gok wél — zodra je zegt dít weet ik, dát wil ik weten, heb je een kant gekozen, en die keuze zit in jouw vraag, niet in de diamantjes. In figuur 3.10 staan de twee lijnen naast elkaar, allebei door Else.

Dezelfde puntenwolk met namen, karaat tegen glans, de twee gestreepte gemiddelde-lijnen en een rode ring om Else op hun kruispunt. Door die ring lopen twee rechte lijnen: een groene, vlak stijgend, glans uit karaat, en een grijze gestreepte, veel steiler, karaat uit glans. Bij Kees rechtsonder staan beide gokfouten in rood: recht omhoog naar de groene lijn, en gestreept naar links naar de grijze lijn. Bij karaat 1.1 en glans 30 liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip.

Figuur 3.10. Twee lijnen door dezelfde wolk en door hetzelfde kruispunt: glans uit karaat (groen, 32.14 glans per karaat) en karaat uit glans (grijs, 0.0104 karaat per glanspunt). Bij Kees zie je de twee soorten gokfout: verticaal naar de groene lijn, horizontaal naar de grijze. De correlatie is in beide richtingen .58.

Nieuw op 30-9-2026, bij de omzetting. De alinea over de richting is niet uit de Bib; het dichtstbijzijnde is Bens “kan ik het ook omdraaien? Dat kan — doen we niet vaak, maar statistisch prima” (uitleg-iv-dv-omdraaien-keuze-onderzoeker, transcript) en de omdraai-proef die de broertjes in oefening 3.2 al doen (“Wie voorspelt wie” — dat is C’s tekst, geen transcript). Het getal 0.0104 komt uit een tweede lm() in _getallen.R, niet uit een herschikte breuk. Wat de alinea níét zegt en de broertjes wél: dat de twee hellingen maal elkaar r² geven — dat loopt vooruit op §9 en is één pointe te veel op deze plek.

Bijgewerkt dezelfde dag na de testlezers. Jeanne viel precies in de kuil die tabel 3.3 graaft: een tarief draai je om met 1/32.14, dus zij kreeg 0.031 en boekte 0.0104 als haar eigen fout — “Logisch” was op die plek het verkeerde woord. Daarom staat 1/b nu hardop genoemd als het getal dat het níét is, met de reden (andere gokfouten, horizontaal), en staat 54/5200 naast 54/1.68 zodat het paar te zien is (Michelle). De alinea is in tweeën geknipt (Michelle: zeven zinnen zonder wit). Beide lezers vroegen om een beeld: twee lijnen door dezelfde wolk, allebei door Else, één r — gebouwd 2-10-2026 als figuur 3.10 (h3_twee_lijnen.png, _bouw_h3_wolk.R); de grijze lijn komt uit een echte tweede lm().

Verplaatst uit het oude §6 naar hier: Bens r-zin, de omrekening (3.4), één helling, twee maten en de β-zin. Alles woordelijk, alleen de aanloop is nieuw (“want die wás al een tarief”). De titel Dezelfde helling, in lineaaltjes leeft door als de kop van deze subsectie.

7. De hele lijn — en waar hij begint

Eén getal is nog geen lijn. 32.14 is een richting — maar er zijn oneindig veel lijnen met die richting, allemaal netjes evenwijdig, de wolk in en uit. Welke is de onze? Figuur 3.11 is een strook van twee kleine schetsen, en plaatje 1 tekent er vijf.

Figuur 3.11. Van richting naar lijn. Plaatje 1: vijf lijnen met dezelfde helling; het vraagteken is de vraag uit de tekst: welke is de onze? Plaatje 2: de twee gestreepte gemiddelde-lijnen komen erbij, en waar ze kruisen staat een ring, met Else erin. Van de vijf lijnen blijft de lijn door die ring over; de andere vier staan er nog als schim.

Het antwoord gebruikten we in sectie 6 al: de regressielijn gaat áltijd door de centroïde — door het kruispunt van de twee gemiddelden. Bij ons: dwars door Else heen. Alweer Else. En alweer merkt ze er niets van (plaatje 2).

En nu de belofte erbij: waaróm gaat hij daar altijd doorheen? Kijk wat er zou gebeuren als het níét zo was. Neem een lijn waarvan de gokfouten niet in evenwicht zijn — tel ze op en er blijft iets over. Zeg dat de twaalf er gemiddeld vijf glanspunten bóven liggen. Schuif die hele lijn dan vijf punten omhoog. De helling verandert niet, elke gok wordt vijf hoger, en elke gokfout dus vijf kleiner. Wat doet dat met de som van de vierkantjes? Die zakt — met twaalf keer vijf in het kwadraat, 300. Voor niks, alleen door te schuiven. Figuur 3.12 legt de twee naast elkaar: links zo’n lijn die te laag ligt, rechts de onze.

Twee panelen naast elkaar, dezelfde twaalf stenen zonder namen, karaat tegen glans; in allebei een rode ring om de stip op het kruispunt, en van elke stip een rood streepje recht naar de lijn, de gokfout. Links een grijze lijn met de goede helling maar vijf glanspunten te laag: bijna alle streepjes wijzen omhoog. Rechts de groene lijn door de ring: streepjes omhoog én omlaag, in evenwicht. In beide panelen liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip.

Figuur 3.12. Links dezelfde helling, maar vijf glanspunten te laag: de gokfouten wijzen vooral omhoog en tellen op tot 60. Rechts de lijn door het kruispunt: de gokfouten tellen op tot nul, en de vierkantjes samen zijn 300 kleiner.

Figuur 3.12 nieuw op 3-10-2026 (spoor fig_a), na testlezer Michelle. Zij klapte hier dicht: “gemiddelde gokfout → schuiven → elke fout kleiner → som van kwadraten → 12 × 5² → 300, in één adem, zonder plaatje, en precies tussen plaatje 2 en plaatje 3 van de lijn-serie.” Het beeld is haar voorstel: twee bijna-gelijke plaatjes, alleen het verschil belicht. De vijf is het gekozen getal uit de tekst; de sommen worden in _bouw_h3_wolk.R uitgerekend, en dat script toetst wat deze alinea belooft (links samen n · 5, rechts nul, verschil in vierkantjes n · 5²). Hierna hernummerd: 3.18–3.26 werden 3.19–3.27. (Dat waren de nummers van toen; op 3-10 werden de drie reeksen stroken en kromp het hoofdstuk van 27 naar 21 figuren — spoor reeksen_h3. Wat Michelle “plaatje 2 en plaatje 3 van de lijn-serie” noemt, zijn nu plaatje 2 van de lijn-strook en de losse intercept-figuur verderop.)

Dus zolang er iets overblijft, kan het beter, en dan was het de kleinste-kwadraten-lijn niet. Bij de goede lijn is die winst op: daar tellen de gokfouten op tot nul. Net als de blauwe streepjes rond het gemiddelde in hoofdstuk 1 — sommige dingen verhuizen gewoon mee.

En daarmee staat de centroïde er al, alleen nog niet in die woorden. Als de gokfouten elkaar opheffen, is de gemiddelde gok precies de gemiddelde glans. En de gemiddelde gok is wat de lijn zegt bij de gemiddelde karaat. Zet die twee naast elkaar en er staat: bij karaat 1.6 zegt de lijn 50. Dat is het kruispunt. Dat is Else.

intercept intercept, constant notatie: \(b_0\)

Maar “de lijn met richting 32.14 door Else” is geen formule waar iemand anders wat mee kan. Daarvoor heeft een lijn een startpunt nodig: waar hij de verticale as raakt, bij karaat nul. En nu blijkt waarom onze helling in sectie 6 al een huisnummer droeg — \(b_1\): er komt een tweede b bij wonen, \(b_0\), het intercept. Dat startpunt vind je door vanaf de centroïde gewoon terug te lopen:

\[b_0 = \overline{Y} - b_1\overline{X}\tag{3.5}\]

\[\begin{aligned} b_0 &= \overline{Y} - b_1\overline{X} \\[0.4em] &= 50 - 32.14 \times 1.6 \\[0.4em] &= −1.43 \end{aligned}\]

Samen zijn ze de hele lijn:

\[\hat{Y} = b_0 + b_1 X\tag{3.6}\]

\[\begin{aligned} \hat{Y} &= b_0 + b_1 X \\[0.4em] &= −1.43 + 32.14 \times X \end{aligned}\]

Hoe je deze formule leest:

  • \(\hat{Y}\) — spreek uit “Y-dakje”. Het dakje betekent: dit is niet wat we zagen, maar wat de lijn gokt. De voorspelde glans.
  • \(b_0\) — waar de lijn begint (de glans-gok bij karaat nul): −1.43.
  • \(b_1\) — hoeveel de lijn stijgt per karaat: 32.14 glanspunten.

Lees als: begin bij −1.43, en tel er 32.14 bij op voor elke karaat.

Betekent dat intercept iets? Kijk er nog eens naar: het staat er echt. Een diamant van nul karaat zou volgens deze lijn −1.43 glanzen. Niet weinig glans — negatíéve glans, op een schaal die bij nul begint. Zoiets bestaat niet, en de lijn beweert het toch, met droge ogen.

Dat komt doordat nul karaat buiten onze diamantjes ligt. Onze kleinste is Anna met 1.0, en de lijn is getekend op wat er ligt, tussen 1.0 en 2.1. Bij karaat nul is hij ver van huis, en daar doet hij een uitspraak over een steen die er niet is. \(b_0\) is hier een adres waar niemand woont — niet eens een leegstaand huis, maar een huisnummer in een straat die ophoudt voordat je er bent. Om dat adres überhaupt te zíen, moet je het raam openschuiven tot karaat nul; dat doet figuur 3.13.

Puntenwolk, karaat op de horizontale as vanaf nul, glans op de verticale. De twaalf stenen staan vaag in een zandkleurige strook, de straat waar ze wonen; daar loopt de lijn vol, links ervan gestreept, omlaag tot een rode stip op de verticale as, net onder de zwarte streep van glans nul, de vloer. Een rood rondje op de lijn markeert Else, waar de lijn doorheen gaat. Linksboven dezelfde hoek uitvergroot: daar duikt de lijn zichtbaar onder de vloer. Bij karaat 1.1 en glans 30 liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip.

Figuur 3.13. Het raam opengeschoven tot karaat nul. De straat waar de stenen wonen loopt van 1.0 tot 2.1; daar is de lijn vol getekend, daarbuiten gestreept, tot de stip op −1.43 — onder de vloer van glans nul. Dat stukje is zo klein dat het linksboven nog eens uitvergroot staat.

Dat is vaker wel dan niet zo. Een intercept mág betekenis hebben, maar hij hoeft niet, en of hij het heeft hangt af van één vraag: ligt nul binnen je gegevens, en betekent nul daar iets? Bij lengte in centimeters of inkomen in euro’s: nee. Bij een verschilscore of een gecentreerde variabele: ja. In hoofdstuk 8 komt dat terug, en daar doen we er iets aan.

Kleine puntenwolk, karaat horizontaal, glans verticaal; de twaalf stenen vaag op de achtergrond, de lijn erdoor. Een gestippelde pijl gaat van onderaf omhoog bij karaat 1.8 tot de lijn en dan opzij naar de verticale as, waar 56 staat: de gok, een open groen rondje op de lijn. Vlak erboven een donkere stip, Hans, met zijn glans erbij, en een kort rood streepje van de gok naar Hans. Bij karaat 1.1 en glans 30 liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip.
Figuur 3.14. Voorspellen is aflezen: omhoog bij 1.8 tot de lijn, opzij naar 56. Hans hangt er vlak boven.

En nu kan de steen zijn getal krijgen. De dertiende, weet je nog, met zijn 1.8 karaat op het mos. In sectie 6 liep je vanaf Else naar hem toe; nu kan iedereen het, ook wie Else nooit heeft ontmoet — en wie liever met zijn vinger langs de lijn loopt dan met een formule, doet dat in figuur 3.14:

\[\hat{Y} = −1.43 + 32.14 \times 1.8 \approx 56\]

Zeg 56. Dat de formule op hetzelfde uitkomt als de wandeling vanaf Else is geen controle-omweg — het ís waar \(b_0\) voor bestaat: een lijn die je kunt doorgeven aan iemand die onze diamantjes niet kent.

En Hans — óók 1.8 karaat — glanst 60, vier punten erboven; zo dichtbij en zo ver zit je dus met zo’n gok.

V8 (zij, klein) hoort hier: pijl omhoog vanaf 1.8 tot de lijn, opzij naar 56, met Hans er vlak boven. Dit is het beeld dat het vraagteken van figuur 3.1 afmaakt. V7, serie van drie, hoort bij de alinea’s hierboven: (1) vijf evenwijdige lijnen met helling 32 — welke is de onze?; (2) één lijn, door Else; (3) het doek opgerekt tot karaat 0, de straat 1.0–2.1 gemarkeerd, de lijn gestreept door naar −1.43 onder de vloer. Allebei gebouwd 2-10-2026 (spoor fig_a): V7 als drie losse figuren (h3_lijn_1..3.png, met de schuif-figuur 3.12 ertussen), V8 als zij-figuur 3.14 (h3_aflezen.png, op een klein doek van 3.6 inch zodat de tekst op 20 px blijft in de .zij-kolom van 42%), uit _bouw_h3_wolk.R. Sinds 3-10-2026 (spoor reeksen_h3) zijn (1) en (2) één strook van twee kleine handschetsen: figuur 3.11, h3_lijn_strook.png uit _bouw_h3_reeksen.R, op twee derde van de kolom zodat een plaatje even groot is als in de stroken van drie. (3) bleef een losse figuur: figuur 3.13 (h3_lijn_3.png), om drie redenen: hij staat ruim honderd regels later, ná de formule voor \(b_0\) en de vraag “Betekent dat intercept iets?”, en in de strook zou hij dat antwoord geven vóór de vraag; zijn punt is een precisie die een schets niet draagt (de lijn komt −1.43 onder een vloer op een meter tot 100, en daar moest op volle grootte al een loep bij); en hij stelt een nieuwe vraag — niet welke lijn? maar waar begint hij?

Weg bij de herbouw van 21-8: de controle-route via Kees (“één lijn, twee routes”) — die bestond alleen omdat het oude §6 zonder \(b_0\) moest improviseren — en de vooruitwijzing “in sectie 12 maken we de rekening op”.

Nog één ding, over de ton. Onze twee b’s zijn uitgerekend op het kistje — twaalf diamantjes. In de ton (alle diamanten die de dam óóit zou kunnen vangen) loopt óók een lijn, en zoals altijd krijgen de populatie-tegenhangers Griekse letters: \(\beta_0\) en \(\beta_1\) (“beta”). Onze \(b_0\) en \(b_1\) zijn schattingen van die \(\beta_0\) en \(\beta_1\) — statistieken die parameters schatten, de Levi’s 501 uit hoofdstuk 1.

En let nu op, want dit is de verwarring die hoofdstuk 1 al aankondigde. Eerder in dit hoofdstuk heette de helling-in-lineaaltjes óók \(\beta\) — de gestandaardiseerde coëfficiënt, die je in artikelen tegenkomt. Hier staat dezelfde letter voor iets heel anders: de helling in de ton. Twee betekenissen, één letter, eeuwige verwarring. Bij ons is \(\beta\) voorlopig alleen dit — dezelfde b, maar dan van de hele ton.

8. DATA = FIT + RESIDU

In hoofdstuk 1 speelden we het grabbel-spel: blind een diamant trekken, gokken met het gemiddelde, en kijken hoe ver je ernaast zat. Nu spelen we het opnieuw — maar je mag éérst kijken. Niet naar de glans; wel naar de karaat. Je gok is niet langer voor iedereen 50; je gok is wat de líjn zegt bij die karaat. Eerst nog één keer het oude spel, in figuur 3.15: alleen de gemiddelde-lijn en de gokfout van elk diamantje.

Puntenwolk, karaat horizontaal, glans verticaal, elke stip met zijn naam. Een gestippelde liggende lijn geeft het gemiddelde van glans, 50. Van elke steen loopt een blauw streepje recht naar die lijn. Else en Leen liggen er precies op en hebben geen streepje. Ida en Joop staan boven elkaar op dezelfde karaat, zodat het streepje van Ida in dat van Joop valt. Bij karaat 1.1 en glans 30 liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip. Die twee delen ook één streepje.

Figuur 3.15. De gokfouten van hoofdstuk 1, nog één keer: alleen de gemiddelde-lijn en de totale gokfout van elk diamantje.

Daarmee valt elke glans uiteen in twee stukken: het stuk dat de lijn al wist, en het stuk dat de diamant zelf inbrengt.

\[Y_i = \hat{Y}_i + e_i \qquad \text{oftewel} \qquad \text{DATA} = \text{FIT} + \text{RESIDU} \tag{3.7}\]

FIT is de voorspelling — het punt óp de lijn. RESIDU is de gokfout — het stukje ernaast, \(e_i = Y_i - \hat{Y}_i\). Dit is geen nieuwe formule maar een nieuwe lezing: elk datapunt is een stukje model plus een stukje eigenwijsheid. Deze splitsing gaat de rest van het boek dragen. Figuur 3.16 knipt de gokfouten van figuur 3.15 open langs de lijn, eerst bij twee stenen.

Dezelfde wolk als in de figuur hiervoor, met namen, de gestippelde gemiddelde-lijn en nu ook de regressielijn schuin erdoor. Alleen Anna en Geer hebben streepjes, drie naast elkaar: blauw van het gemiddelde naar de stip, groen van het gemiddelde naar de lijn, rood van de lijn naar de stip. Bij Anna, onder de lijn, wijzen groen en rood allebei omlaag; bij Geer, erboven, is groen een stompje en rood bijna zo lang als blauw. Hun getallen staan in twee regels tekst erbij. Bij karaat 1.1 en glans 30 liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip.

Figuur 3.16. Het vervolg op figuur 3.15: dezelfde gokfouten, nu opengeknipt langs de regressielijn — voorgedaan bij Anna en Geer.

Voor Kees: de lijn zegt 66, hij glanst 30.

\[\underbrace{30}_{\text{DATA}} = \underbrace{66}_{\text{FIT}} + \underbrace{(−36)}_{\text{RESIDU}}\]

En voor alle twaalf:

Tabel 3.4. DATA = FIT + RESIDU voor alle twaalf diamantjes.
naam karaat glans (DATA) op de lijn (FIT) ernaast (RESIDU)
Anna 1.0 20 30.7 −10.7
Bram 1.1 30 33.9 −3.9
Cees 1.1 30 33.9 −3.9
Dora 1.3 30 40.4 −10.4
Else 1.6 50 50.0 0
Faas 1.6 70 50.0 +20.0
Geer 1.7 80 53.2 +26.8
Hans 1.8 60 56.4 +3.6
Ida 1.9 70 59.6 +10.4
Joop 1.9 80 59.6 +20.4
Kees 2.1 30 66.1 −36.1
Leen 2.1 50 66.1 −16.1

Precisie gelijkgetrokken 10-8 (Bens besluit): het hele hoofdstuk rekent met \(b_1\) = 32.14 en \(b_0\) = −1.43, gelijk aan H6 en H11. Formule 3.3 (tot 30-9-2026 was dat 3.2) laat daarvoor de elf tegen elkaar wegvallen, zodat er geen afrondingsgruis in zit. Eén zichtbare kruimel blijft in formule 3.5: wie 50 − 32.14 × 1.6 intoetst krijgt −1.42, exact is het −1.4286 → −1.43. Dat volgt de boekbrede conventie “exact gerekend, dán afgerond” (H10 guard m, H11 §3), maar dit hoofdstuk nodigt de lezer wél uit om na te rekenen. Ben: laten staan (conventie), of één half zinnetje erbij?

V9 h3_streepjes_knip hoort bij deze tabel (bouwtekening §5): alle twaalf streepjes, drie dunne naast elkaar, Kees geannoteerd — zijn residu springt over het gemiddelde heen — Geer erbij, Else kaal. Gebouwd 2-10-2026 als figuur 3.17 (h3_streepjes_knip.png, _bouw_h3_wolk.R), ná de streepjes-regel in kleur, want daar wordt hij gelezen. Drie paren delen een karaat (Else/Faas, Ida/Joop, Kees/Leen); het lagere lid krijgt zijn drietal links van het punt, het hogere rechts, en de afstand tussen de streepjes is kleiner dan in dec_3 (0.02 tegen 0.035 karaat) omdat twaalf drietallen anders niet passen. Waarom náást dec_3_splitsing en niet in plaats van: dec_3 doet het voor twee zodat je het ziet ontstáán, V9 doet het voor twaalf zodat de tabel een gezicht heeft.

Pak je rekenmachientje en reken er twee zelf na — Anna en Geer. Anna: −1.43 + 32.14 × 1.0 = 30.7, en 30.7 + (−10.7) = 20. Klopt haar rij? En die van Geer? Elke rij van deze tabel moet optellen: FIT + RESIDU = DATA, zonder uitzondering.

Drie oude bekenden staan er opeens anders bij. Else heeft nu ook geen residu — geen vierkantje in hoofdstuk 1, geen rechthoekje in sectie 4, en de lijn gaat dwars door haar heen; wie van niets verschilt, verschilt ook van geen enkele lijn. Faas hangt recht boven haar, dus de lijn gokt voor hem gewoon het gemiddelde en is zijn hele afwijking eigenwijsheid. En Leen had in hoofdstuk 1 geen vierkantje, maar de lijn verwácht meer van een grote diamant: nu heeft hij opeens een residu van −16 — gemiddeld zijn is niet genoeg meer zodra iemand je karaat kent.

En Kees. Onder het kale gemiddelde zat hij −20; onder de lijn −36. De lijn maakt de meeste gokfouten kleiner — vergelijk de RESIDU-kolom maar eens met de gokfouten uit hoofdstuk 1 — maar die van Kees, en van Leen zagen we net, juist gróter. Dat is geen foutje van de lijn; dat is informatie. Hoe beter het model, hoe scherper de uitzondering in beeld komt. Onthoud hem, nog steeds.

O ja: tel de RESIDU-kolom eens op. Nul (op afronding na). De residuen houden elkaar rond de lijn precies zo in evenwicht als ze dat in hoofdstuk 1 rond het gemiddelde deden. Sommige dingen verhuizen gewoon mee.

En nu de streepjes zelf. Elk blauw totaal-streepje (van het punt naar \(\overline{Y}\)) valt uiteen in een groen fit-streepje (van de lijn naar \(\overline{Y}\) — het stuk dat de lijn overbrugt) en een bordeaux residu-streepje (van het punt naar de lijn — het stuk dat overblijft):

\[\underbrace{(Y_i - \overline{Y})}_{\text{blauw: totaal}} = \underbrace{(\hat{Y}_i - \overline{Y})}_{\text{groen: fit}} + \underbrace{(Y_i - \hat{Y}_i)}_{\text{bordeaux: residu}}\]

Check het bij Kees: blauw −20 = groen +16 + bordeaux −36. Bij hem vechten de twee stukken — de lijn duwt hem omhoog (groot! dus vast glanzend!) en de werkelijkheid trekt hem hard terug. En reken Geer zelf na: blauw +30 = groen 3.2 + bordeaux 26.8. Bij Geer doet de lijn bijna niets; zijn glans is vrijwel helemaal van hemzelf. Figuur 3.17 doet het voor alle twaalf tegelijk; Kees en Geer staan erbij geschreven. 19-10-2026 (C): stond “zet alle twaalf drietallen naast elkaar”. Getekend zijn er tien: Else heeft er geen, en Bram en Cees delen één stip en dus één drietal (beeldverteller, 19-10). “Voor alle twaalf” is de titel van de figuur zelf.

Puntenwolk, karaat horizontaal, glans verticaal, met namen, de gestippelde gemiddelde-lijn en de regressielijn. Bij elke steen drie dunne streepjes vlak naast elkaar: blauw van het gemiddelde naar de stip, groen van het gemiddelde naar de lijn, bordeaux van de lijn naar de stip. Stenen die een karaat delen, hebben hun drietal links en rechts van de stip, zodat ze elkaar niet bedekken; Else, op beide lijnen, heeft niets. Leen, precies op het gemiddelde, heeft geen blauw streepje: alleen groen omhoog en bordeaux terug. Bovenin staat de som van Geer uitgeschreven, onderin die van Kees. Bij karaat 1.1 en glans 30 liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip. Die twee hebben samen één drietal.

Figuur 3.17. DATA = FIT + RESIDU voor alle twaalf: bij elke steen drie dunne streepjes naast elkaar — blauw het totaal, groen wat de lijn overbrugt, bordeaux wat overblijft. Groen en bordeaux zijn samen precies zo lang als blauw; bij Kees vechten de stukken, bij Geer doet de lijn bijna niets, en Else heeft er geen.

En die bordeaux stukjes, dat zijn ze: de vierkantjes die de lijn in sectie 6 zo klein mogelijk maakte.

De streepjes-regel hierboven is bewust ongenummerd (bouwtekening §6, keuzes §7j): het is formule 3.7 herschikt in kleur, geen nieuw begrip. Wél tonen, want sectie 9 kwadrateert precies deze regel.

9. De tuin in tweeën

En nu de beweging die je uit hoofdstuk 1 kent: kwadrateren en optellen.

Eerst één eerlijke waarschuwing: per diamant tellen de streepjes op, de vierkantjes niet — bij Kees is blauw² = 400, maar groen² + bordeaux² = 259 + 1303 (reken maar na met zijn rij uit tabel 3.4: 16.1² en 36.1²). Per individu klopt de vierkantjes-boekhouding dus níét. Maar tel je over alle twaalf tegelijk, dan klopt hij opeens wél, exact:

\[SS_{\text{totaal}} = SS_{\text{regressie}} + SS_{\text{residu}} \tag{3.8}\]

\[5200 = 1736 + 3464\]

\(SS_{\text{totaal}}\) ken je trouwens al: dat is gewoon \(SS_Y\) uit hoofdstuk 1, de 5200 — alle blauwe vierkantjes samen. Die tuin is nu in tweeën gedeeld (figuur 3.18): een groen deel dat óp de lijn ligt, en een bordeaux deel dat ernaast valt. Dat dit precies opgaat is geen afrondingsgeluk: de kleinste-kwadraten-lijn is exact zó gekozen dat fit en residu niets meer van elkaar weten — wat de lijn al zegt, zit niet nog eens in de fouten. GROF — de kruisterm-uitleg (waarom hij wegvalt) is een kandidaat “Voor wie verder wil”-kader — Bens call

V10 h3_ss_spel variant A hoort hier (bouwtekening §5): de tuin van 5200 met het groene 1736 en het bordeaux 3464 als vlakken, R² eronder. Dit is de figuur die testlezer Jeanne miste (“vierkantjes, vier keer gelezen, geen plaatje”). Variant B (de Venn) bewust niet: die debuteert in H8. Gebouwd 2-10-2026 als figuur 3.18 (h3_tuin.png, _bouw_h3_schema.R), variant A: de tuin als 52 hokjes van 10 bij 10 — dezelfde hokjes als figuur 1.4 — in tweeën gedeeld; de breedte van het groene deel volgt uit SS_regressie.

Figuur 3.18. De hele glans-tuin van 5200 — alle blauwe vierkantjes uit hoofdstuk 1 bij elkaar, 52 hokjes van tien bij tien — in tweeën: groen 1736 op de lijn, bordeaux 3464 ernaast. Een derde van de tuin staat in het gelid.

Wat de lijn kost — \(S_e\)

standaardschattingsfout standard error of the estimate notatie: \(S_e\) ook: residu-lineaaltje

In hoofdstuk 1 was de SD je lineaaltje: hoe ver zit een diamant er gemiddeld naast als je gokt met het gemiddelde — 21.74 glanspunten. Nu we met de lijn gokken, willen we hetzelfde lineaaltje opnieuw, maar dan rónd de lijn: hoe ver zit een diamant er gemiddeld naast als je zijn karaat kent?

Zelfde recept als altijd: neem de vierkantjes van de gokfouten (dat is \(SS_{\text{residu}}\), de bordeaux 3464), deel door het aantal écht vrije gokfouten, en trek de wortel. Alleen — hoeveel gokfouten zijn er nog vrij? In hoofdstuk 1 kostte het gemiddelde ons één envelopje: \(n-1\). De lijn is duurder: ze ligt pas vast met twee getallen, \(b_0\) en \(b_1\). Twee envelopjes open, dus \(n-2\) vrije gokfouten.

\[S_e = \sqrt{\frac{SS_{\text{residu}}}{n-2}}\tag{3.9}\]

\[\begin{aligned} S_e &= \sqrt{\frac{SS_{\text{residu}}}{n-2}} \\[0.4em] &= \sqrt{\frac{3464}{10}} \\[0.4em] &= 18.6 \end{aligned}\]

Dit is de standaardschattingsfout — maar laat de naam je niet foppen: het is gewoon een standaardafwijking, van de residuen. De SD was je meetlat rond het gemiddelde; \(S_e\) is exact diezelfde meetlat, verhuisd naar de lijn.

Weggehaald bij de wissel van 29-8-2026 (keuzes §7p): hier stond “dit is géén standaardfout van een bordje uit hoofdstuk 3”. Die waarschuwing hoorde bij de oude volgorde, toen de grabbelton hiervóór stond. Nu komt hij erná, dus de lezer heeft nog nooit een bordje gezien en waarschuwt de zin hem voor een verwarring die hij nog niet kán hebben — en noemt er een woord bij dat nergens uit komt. De waarschuwing zelf is niet weggegooid maar verhuisd naar H4 §4, waar de standaardfout wél valt en de verwarring dus écht kan ontstaan.

En kijk wat er gebeurd is: 21.74 is 18.6 geworden. De meetlat is korter — dát is wat kennis van de karaat je koopt. Veel korter ook weer niet, en ook dat is eerlijke informatie: karaat weet iets van glans, maar lang niet alles. Voor de steen op het mos betekent het dat je met je gok van 56 — de glans die de lijn hem in sectie 7 gaf — er typisch zo’n 18.6 naast zit, soms meer, soms minder.

Figuur 3.19 zet de twee meetlatten onder elkaar: de band rond het gemiddelde, en dezelfde band verhuisd naar de lijn.

Twee panelen onder elkaar met dezelfde twaalf stenen, karaat horizontaal, glans verticaal, zonder namen. Boven een blauwe liggende lijn op het gemiddelde van glans, met een lichtblauwe band van 21.74 erboven en eronder. Onder de groene regressielijn, schuin omhoog, met een lichtgroene band van 18.6 die schuin meeloopt. De onderste band is iets smaller dan de bovenste; in allebei vallen enkele stenen buiten de band. In beide panelen liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip.

Figuur 3.19. Dezelfde wolk twee keer. Boven: gokken met het gemiddelde, een band van ±21.74 eromheen. Onder: gokken met de lijn, een band van ±18.6 schuin mee. De band is smaller geworden — maar niet véél smaller, en dat is eerlijke informatie.

V11 hoort hier (bouwtekening §5): de meetlat verhuist — links een band ±21.74 rond het gemiddelde, rechts een band ±18.6 rond de lijn. Bijna even breed, en dát is de boodschap. Gebouwd 2-10-2026 als figuur 3.19 (h3_meetlat.png, _bouw_h3_wolk.R), onder elkaar in plaats van naast elkaar zodat de karaat-as één lijn is en de letters op maat blijven; als facetten, niet als patchwork, zodat de labelmeting het geheel kan meten.

Wat de lijn oplevert — \(R^2\)

Deel het groene stuk van de tuin door de hele tuin:

\[R^2 = \frac{SS_{\text{regressie}}}{SS_{\text{totaal}}}\tag{3.10}\]

\[\begin{aligned} R^2 &= \frac{SS_{\text{regressie}}}{SS_{\text{totaal}}} \\[0.4em] &= \frac{1736}{5200} \\[0.4em] &= .33 \end{aligned}\]

verklaarde variatie variance accounted for (VAF) notatie: \(R^2\) ook: verklaarde variantie, determinatiecoëfficiënt, \(r^2\)

Dit heet de verklaarde variatie, of variance accounted for — VAF: het aandeel van alle glans-variatie dat de lijn voor zijn rekening neemt. In hoofdstuk 1 beloofden we het al — verklaarde variatie is het stuk van de tuin waar strakke rijtjes bloemen staan. Hier staat het rijtje, en het ís de lijn. Een derde van de glans-tuin staat in het gelid; twee derde groeit wild, bordeaux, ernaast.

Verklaarde variatie kom je net zo vaak tegen als verklaarde variantie, en dat is net zo goed — deel het groene stuk én de hele tuin door dezelfde \(n - 1\), en hun verhouding blijft precies gelijk:

\[\frac{SS_{\text{regressie}}}{SS_{\text{totaal}}} = \frac{SS_{\text{regressie}} / (n - 1)}{SS_{\text{totaal}} / (n - 1)}\]

4-10-2026 (spoor besluiten_boek), besluit Ben (“Ja dan!”, en eerder: “Dan moet dat ook duidelijk worden dat het allebei prima is. Dus tussen haakjes prima.”): in de lopende tekst verklaarde variatie — het is een stuk van de tuin, en de tuin is de kwadratensom (besluit van 3-10, de tuin is overal de kwadratensom) — met bij de eerste keer (H1, bij de pleintjes) “ook wel verklaarde variantie — allebei goed, het is hetzelfde getal”, en hier de ene zin waarom. Hier stond verklaarde variantie (term-blokje en twee keer in de tekst). Afwijking van de Bib, met Bens besluit als grond: bib_query.sh "verklaarde variantie" geeft 96 items (via de inhoud), waaronder Bens eigen definitie definitie-r-kwadraat-proportie-verklaarde-variantie-ssm-door-sst; verklaarde variatie is AFWEZIG (0). Bens woord blijft dus zichtbaar, als synoniem en in het term-blokje. De zin met de deling door \(n - 1\) is C’s formulering.

Testlezer michelle (4-10), H1 en H3. Kwam er allebei doorheen. In eigen woorden, vóór ze terugkeek: “variantie was de tuin gedeeld door n − 1, één strook. Als je het groene stuk óók door n − 1 deelt … valt dat tegen elkaar weg.” Over de formule: “Een dubbele breuk is normaal dicht voor me; hier is de vorm zelf de boodschap.” Haar “zelfde woord, twee plaatjes” van 3-10 is weg. Daarop veranderd: het haakje in H1 droeg twee dingen (synoniem én vooruitwijzing, met een puntkomma) — nu is de vooruitwijzing een eigen zinnetje; en “Je komt hem tegen” hier noemt nu zijn onderwerp. Wat ze nog zag en wat open blijft, voor Ben: “het is hetzelfde getal” klopt voor het aandeel (.33), niet voor het stuk zelf — als oppervlakte is het groene stuk 1736, in variantie-eenheden 1736 / 11. De formule hier zegt het precies (“hun verhouding”), het haakje in H1 losser. Het haakje is Bens goedgekeurde zin, dus blijft hij staan; de vraag staat op de lijst.

En dan nog iets moois. Kwadrateer de correlatie eens — pak wel de onafgeronde, .578: \(.578^2 = .33\). Precies hetzelfde getal. Bij één voorspeller is \(R^2\) gewoon \(r^2\): de correlatie — de helling in lineaaltjes — gekwadrateerd, is het deel van de tuin. En ook \(R^2\) is een effectgrootte — dezelfde vraag als bij \(r\), hoe groot?, nu beantwoord in tuin-taal.

Kwadrateer je de afgeronde .58, dan rolt er .34 uit — dat honderdste is puur afronding, geen wiskunde. Stond in de lezerstekst; hoort bij de afrondingskeuze die in §8 aan Ben ligt.

10. De dertiende steen

Eén ding hebben we dit hele hoofdstuk gedaan zonder het hardop te zeggen: we hebben een réchte lijn door de wolk gelegd. Dat is geen neutrale handeling maar een veronderstelling. De lijn telt op — begin bij −1.43, tel er 32 bij per karaat, onderaan de wolk net zo goed als bovenaan. Telkens hetzelfde erbij; additief, heet zo’n methode, en het is een heerlijk woord. Figuur 3.20 laat het zien als een trap op de lijn: elke tree even hoog.

Puntenwolk, karaat horizontaal, glans verticaal, de twaalf stenen vaag op de achtergrond, de lijn in lichtgroen erdoor en linksboven haar formule. Op de lijn staat een trap van vier treden, vanaf de kleinste steen, Anna, elke tree een kwart karaat: een zwarte liggende streep en dan een rode staande streep omhoog naar de lijn, met erbij de stijging 8.0. Alle vier de staande strepen zijn even hoog, onderaan de wolk net zo goed als bovenaan. Bij karaat 1.1 en glans 30 liggen twee stenen precies op elkaar, Bram en Cees; daar staat ×2 bij de stip.

Figuur 3.20. Telkens hetzelfde erbij: elke kwart karaat verder is 8.0 glanspunten erbij, onderaan de wolk net zo goed als bovenaan. Een rechte lijn is een optelsom.

De aanname eronder draagt een properder naam: lineariteit. De wolk zelf mag krom zijn; onze lijn kan het niet. Daarom is de eerste controle altijd de domste en de beste: kíjk naar de wolk. Bij onze twaalf oogt recht heel redelijk. Hoe het eruitziet als het níét recht is, zie je in figuur 3.21 — met opzet zonder diamantjes. GROF — mini-voorbeeldje krom verband (leren oefenen? slaap en prestatie?) bij redactie-pas — Bens call. V12 hoort hier: een verzonnen krom verband met een rechte lijn erdoor, residuen onder–boven–onder; bewust zónder diamantjes, want de eigen wolk oogt recht. Gebouwd 2-10-2026 als figuur 3.27 (h3_krom.png, _bouw_h3_schema.R): oefenuren en kunnen, verzonnen, met de rechte lijn uit lm() en de gokfouten in bordeaux; het script telt na dat de fouten precies twee keer van teken wisselen. De trap van figuur 3.20 (h3_additief_trap.png) is nieuw ten opzichte van het tekenprogramma: Ben noemde op 2-10 juist additief als uitleg waar het plaatje te ver weg stond. Welk voorbehoud er bij “recht oogt redelijk” komt (de kromming op p = .011 uit BEVINDINGEN §1) is Bens keuze.

Figuur 3.21. Een rechte lijn op een gebogen verband — verzonnen, want onze eigen wolk oogt recht. De gokfouten liggen onder, boven, onder: de lijn liegt netjes en systematisch, zonder dat één getal je waarschuwt.

Er horen nog drie veronderstellingen bij dit soort lijnen, alle drie over de residuen: dat ze onafhankelijk van elkaar zijn, dat hun spreiding overal langs de lijn even groot is (gelijke spreiding — het deftige woord is homoscedasticiteit, leer het alvast hardop zeggen), en dat ze normaal verdeeld zijn. Voor nu alleen de namen: hoe je die drie aan de residuen afleest — welk plaatje je opvraagt, en waaraan je ziet dat het misgaat — doe je in het oefenboek, bij de enkelvoudige regressie. Onthoud hier het onderscheid: de lijn zélf eist alleen rechtheid; de rest gaat over hoe de fouten zich gedragen — en de fouten worden pas echt belangrijk als we méér van de lijn gaan vragen dan beschrijven.

De belofte is hier weggehaald (21-8, meesterknecht-besluit). Er stond “die drie werken we pas bij meervoudige regressie echt uit” — en H8 lost dat niet in; H12 r1542 constateert dat zelf. Een adres dat niet levert is erger dan geen adres.

Er staat nu wél een verwijzing (h4stem, 21-8), en het gat dat de notitie hierboven vreesde bestaat niet. Nagemeten in boek/oefenboeken/: 219 bestanden gescand met Python (niet met grep — de schil hier slaat gitignored werk stil over), 6 met treffers, en jasp_ggz_vs/20_blokken/blok_enkelvoudige_regressie.md r288–307 draagt precies het ontbrekende stuk: een uitklapblok “De assumpties — waar je naar kijkt, en wat je ermee doet”, met per aanname wáár je kijkt en wáár het misgaat. Alle drie staan erin, plus lineariteit en uitschieters.

De verwijzing noemt geen sectienummer en geen regel — alleen “het oefenboek, bij de enkelvoudige regressie”. Dat is het hele punt: een adres op naam kan niet verrotten zoals een regelnummer dat kan, en alles wat in dit huis verrotte, verrotte op een regelnummer.

Waarom hier nu twee woorden staan (h4stem, 21-8). De opdracht was additief te vervangen door lineariteit, omdat additiviteit in het vak iets anders is. Dat is half waar, en de andere helft had het hoofdstuk gekost:

  • Additief is Bens eigen woord, en hij zegt er zelf bij dat hij het leuk vindt. Bib, uitleg-lineaire-regressie-is-additief-telkens-hetzelfde-erbij (transcript): “Vind ik gewoon leuk om dat woord te zeggen trouwens, additief. Maar lineaire regressie, dus rechtlijnige regressie, dat is een additieve methode. Want je doet telkens hetzelfde erbij.” Vandaar ook “telkens hetzelfde erbij” hierboven — dat is zijn formulering, niet de onze.
  • H12 leunt erop. H12 r327–329 zegt “een rechte lijn is een optel-machine — hoofdstuk 3 zei het al, en ik vond het toen al een heerlijk woord: lineaire regressie is een additieve methode.” Schrap je het woord hier, dan liegt die zin. De bouwtekening zette het er om precies die reden neer (OPBOUW_H4_DEFINITIEF §9a, regel H12:287–290) — dat stond niet in de reparatie-opdracht.
  • Wat wél klopte: additief is niet de naam van de aanname. Bens eigen college-sheet (Bib, definitie-assumpties-regressie-vier, OZP2 College 8 slide 33–34) noemt de vier: onafhankelijkheid, lineariteit, homoscedasticiteit, normaliteit. Het oefenboek zegt “lineair verband”.

Dus doen ze nu allebei hun werk: additief voor wat de lijn dóét (Bens woord, en H12’s aanknopingspunt), lineariteit voor hoe de aanname heet (Bens sheet, en het woord waarmee het oefenboek traint).

Tijd voor de ontnuchtering.

Je hebt de steen zijn getal gegeven: 56, met typisch zo’n 18.6 ernaast, en een derde van de tuin verklaard.

4-10-2026 (spoor besluiten_boek), besluit Ben (“Ja dan!”): hier stond “met gemiddeld 18.6 ernaast”. \(S_e\) is geen gemiddelde afstand maar een standaardafwijking van de resten — de wortel uit de gemiddelde oppervlakte — en §9 zegt het zo ook al: “er typisch zo’n 18.6 naast zit”. Nu dezelfde woorden als daar. Zelfde onderscheid als in de TAALGIDS (31-5): de SD is de typische afstand, niet “de gemiddelde lengte van een streepje”. En wees eerlijk — dat ene ding, één steen een getal geven, doet een psycholoog bijna nooit. Wanneer moest jij voor het laatst één iemands glans voorspellen? In de psychologie willen we meestal het meestal begrijpen, niet één geval raden.

Maar kijk eens wat je onderweg hebt gebouwd, want dát doe je altijd: het rechthoekje in lineaaltjes, het tarief, en de splitsing in wat de lijn al wist en wat de steen zelf inbracht. Dat is het handgereedschap van de vierde beweging van dit boek. Daar kan de lijn iets wat de correlatie principieel niet kan: een tweede variabele vasthouden terwijl je naar de eerste kijkt. Wegrekenen. Corrigeren.

En nog één ding, voor de volledigheid. \(r\), \(b_1\) en de lijn zijn niet drie apparaten — het is één helling, twee maten. Wie zich dus afvraagt of dit meestal echt is, of alleen een toevalstreffer van déze twaalf, stelt één vraag, niet drie. Hoe je die vraag beantwoordt — daar komen we later op terug. Bewust vaag in de lezerstekst — maar de beslissing is inmiddels genomen (H5-schets, status-header, Bens besluit 5 juli): inferentie landt in H5 en wordt geleerd óp b en r, interval vóór toets.

11. Werk

Het rekenen mét software — R, JASP of SPSS — hoort bij de oefenboeken: het boek toont, het oefenboek traint. Covariantie, correlatie en de regressielijn doe je daar met je eigen data.

Toont, dus. Alles wat je in dit hoofdstuk met de hand hebt gedaan — de vierkantjes zo klein als ze konden, \(b_1\), \(b_0\), de streepjes bij Kees — vraag je in één zin:

lm(glans ~ karaat, data = diamantjes)

Glans, verklaard uit karaat. Die zin bespaart je het rekenwerk niet, hij bergt het op: alles van hierboven zit erin, en jij bent nu de enige die weet wát.

Software-vrij (7-7, keuzes §1). Kiem (cov/cor/lm + geom_smooth + de rechthoekjes-figuur; nu ook predict/resid, de DATA=FIT+RESIDU-tabel en de streepjes-knip-figuur): 03_oefenboek_kiemen/R_werk_uit_schetsen_2026-07-11.md.

Tool-neutraal gemaakt 12-8 (besluit Ben, keuzes §1). Hier stond “(cov, cor, lm)” — drie R-functienamen, drie woorden nadat de zin alle drie de gereedschappen had beloofd; een SPSS-lezer kreeg code voorgeschoteld die in zijn programma niet bestaat. De sier-regel-uitzondering van 7-7 dekte dit niet: die gold voor simulatiecode die het verhaal draagt (H4 grabbelen, H5 muur, H6 Type 1-telling), en H3 is geen simulatie-hoofdstuk. (Die hoofdstuk-grens is ’s avonds vervallen — zie het blok hieronder; wat overeind blijft, is dat een wegwijzer ook onder de nieuwe grens niet mag.) De namen zijn niet weg, ze staan hierboven in de kiem — waar ze horen. Die wegwijzer komt niet terug — ook niet onder de nieuwe grens hieronder; hij wees waar je iets doet in plaats van te tonen wat er staat.

Sier-regel R (om te lézen, niet te draaien — max één): STAAT ER NU, besloten 12-8 ’s avonds. lm(glans ~ karaat, data = diamantjes), op de plek en in de vorm die het voorstel hieronder noemde. Ben, 12-8: “ik volg jouw advies, mee eens.” De grens is die dag verruimd: code mag in de lezerstekst als hij er staat om te laten zien dat het allemaal zo ingewikkeld niet is, en niet als wegwijzer of instructie (keuzes §1, correctie 12-8). Terugdraaien = de drie toegevoegde alinea’s boven dit blok weghalen (van “Toont, dus.” t/m “…weet wát.”); de canonieke oefenboek-zin erboven staat er los van en blijft.

Wat er ten opzichte van het voorstel is veránderd, en waarom dat de hele reden is dat het mocht. Het voorstel schreef als bezwaar dat een regel die zegt “of, je typt dit” de reken-beat van H3 de lucht uit laat lopen. Dat bezwaar is juist, maar het zit in het woordje of, niet in de regel. Een regel die naast het handwerk ligt is een snelweg en ondermijnt het; een regel die het handwerk opbergt doet het omgekeerde. Vandaar de afhechting “bespaart je het rekenwerk niet, hij bergt het op … jij bent nu de enige die weet wát”: precies in H3 heeft de lezer als enige zelf gezien wat er onder die ene zin ligt. Daarmee is H3 niet de zwakste van de vijf maar de sterkste. Als deze zin ooit sneuvelt bij een stem-pas, sneuvelt het argument mee — herformuleer dan het opbergen, schrap niet alleen het werkwoord.

Het oorspronkelijke voorstel (12-8 ochtend), voor de geschiedenis:

  • Welke regel: lm(glans ~ karaat, data = diamantjes)
  • Welke plek: hier in §11, direct ná de canonieke oefenboek-zin hierboven — dezelfde plek en dezelfde vorm als H8 §8, H9 §6, H10 §7 en H12 §9 sinds 12-8 (lead-in, regel op een eigen witregel, één korte afhechting). Zo blijft het één afzonderlijk terug te draaien blokje.
  • Wat dit wél doet en de vier andere niet: dit is de debuutplek van het slangetje. y ~ x verscheen tot nu toe voor het eerst in H8; nu H3 hem heeft, leest H8’s “één plusteken erbij” als een toevoeging aan iets dat de lezer al gezien heeft, en lopen de vijf regels als een reeks waarin elk hoofdstuk precies één teken verandert: ~ karaat → + gladheid → merk + → merk * → glm.
  • Argument tégen (afgehandeld door de herschreven lead-in): H3 is het hoofdstuk waarin de lezer de lijn met de hand vindt, streepje voor streepje.

12. Sluiting

GROF — docent-slot: de olifant had het al gezien vóór wij gingen rekenen — groot gaat meestal samen met glanzend. Wij weten nu hoe sterk (.58), hoevéél (32 per karaat), hoe ver we er dan nog naast zitten (het residu-lineaaltje, 18.6) en welk deel van de tuin de lijn bijhoudt (een derde). Dan de slotscène:

De steen komt hier bewust niet terug (bouwtekening §0): zijn lus is in §10 gesloten, en de sluiting hoort aan de twaalf en de kraai.

Toen pakte de kraai er stiekem eentje mee, en vloog weg.

De anderen keken hem na. Niemand zei iets.

 

GROF — en de docent-uitademing daaroverheen: Elf diamantjes. Morgen misschien tien. Onze wolk was nooit de hele wereld — het was wat er toevallig in een beverdam bleef hangen. Zou het patroon er nog zijn met een andere twaalf? Met elf? Hoe zeker zijn we eigenlijk van dat meestal?

Dat is het volgende hoofdstuk. De grabbelton staat al klaar.

✅ Klopt weer sinds 10-8-2026. Dit werkbriefje stond hier drie weken: op 22-7 schoof het betrouwbaarheids-hoofdstuk tussen dit slot en de grabbelton, waardoor “het volgende hoofdstuk” naar de mol wees in plaats van naar de ton. De rotatie van 10-8 (keuzes §7n) zet Bestaat het echt? terug op positie 5 — de belofte hierboven is weer letterlijk waar, en de drie varianten die klaarlagen om hem te verzachten zijn niet meer nodig (VARIANTEN_H1_steen_en_H4_slot.md, B2).

Open punten (grof → redactie-pas)

  • Armen-tekening — ✅ v1 gebouwd (6-7, Bens idee: 3×3-wolk): negen poppetjes voor álle armen-combinaties in één puntenwolk, mét bijdrage-tekens (+/−/0) — staat sinds 21-8 in §3 (h4_armen_poppetjes.png, R-steiger). Blijft staan: Ben tekent de eindversie zelf (fineliner/ruitjes, ILLUSTRATIES.md poses 1–4). Het gek-uitzien is functioneel (geheugen-anker) — de tekening mag lachwekkend.
  • ✅ Rechthoekjes-figuur gebouwd — het visuele hart, staat in §4.
  • Schatkistje-scène invoegen → gesplitst 5-7: vondst naar H1 §2, terugkeer-dialoog in §1 hier, kraai-diefstal in §12 als cliffhanger naar H5.
  • ✅ Glans i.p.v. prijs — BESLOTEN (Ben, 5-7) en doorgevoerd in H1 + H3. Werkelijkheids-check: glans hangt in het echt vooral van het slijpsel af (4 C’s grotendeels onafhankelijk) → slijpsel = verborgen derde variabele, zaadje voor H8/confounding; Kees = slecht geslepen. Matige r is dus ook realistisch.
  • ✅ “Voor wie verder wil”-kader (besloten 5-7): de rechthoekjes in lineaaltjes-eenheden — geschreven op 21-8, staat sinds 30-9 in §5. De oppervlakte-lezing van r verhuisde op 21-8 uit de lopende tekst naar het kader (meesterknecht-besluit: Bens zin is de definitie) en is op 30-9 teruggehaald: nu r vóór b komt, is de oppervlakte-lezing de definitie en staat Bens zin in §6, waar r als tarief wordt herkend. Het kader houdt de z-vorm. V4 hoort nu bij de lopende tekst van §5 en is nog niet gebouwd. r = cos θ blijft bewust búíten dit hoofdstuk (te veel) — deel 2 of later verderwil-kader.
  • ✅ Waar precies DATA = FIT + RESIDU volledig uitpakken — opgelost (17-8, bouwtekening §7): één keer, compleet, in §8. H8’s werknotitie r529–537 (“staat in H3 alleen in werknotities, plek open”) is daarmee stale en INHOUDSOPGAVE r267 moet “H3 §6” → “H3 §8”.
  • ✅ Volgorde-vraag: eerst r of eerst b? — opgelost 17-8: b eerst (Bens besluit via de voorstellen A/B). De helling is tastbaar en heeft een eenheid; r is daarna “dezelfde helling, in lineaaltjes”, en dat is precies waarom “ruw is ruk” nu bij 32 staat en niet bij de covariantie — een ongestandaardiseerde helling is in het vak letterlijk de ruwe coëfficiënt. Teruggedraaid 30-9 (Ben): covariantie → correlatie → helling, “juist omdat s en r meer bij elkaar horen … ik merk dat ik in al mijn lessen dat toch blijf doen.” “Ruw is ruk” staat weer bij de covariantie (4.91 → 49.1), waar Bens eigen Bib-kreet het zet; de reden van 17-8 (ruwe coëfficiënt) blijft waar, maar weegt minder dan de symmetrie: s en r kennen geen richting, b wel, en dáár ligt de natuurlijke knip. Zie keuzes.md, besluit 30-9-2026.
  • “Wie er wint”-taal — behouden, dit is Bens klas-taal.
  • Hoofdstuknummer voorlopig H3 (conform structuur-tabel 4-7); definitieve nummering na H2/H4-schetsen.
  • Bib-borging: de armen-scène bestaat nog nérgens als Bib-unit (bron = deze chat, 4-7-2026) — bij volgende molen-ronde deze sessie als bron ingesten, dan is de scène ook transcript-geborgd.
  • ✅ Werk-sectie → tabs (besloten 6-7): JASP vooraan (correlatie/regressie = drie klikken), R ernaast. Zie keuzes.md §1.
  • ✅ Sier-regel in §11 (12-8, Bens besluit — keuzes §1). lm(glans ~ karaat, data = diamantjes) staat er, ná de canonieke oefenboek-zin. H3 is hiermee de debuutplek van het slangetje y ~ x en de openingsterm van de reeks van vijf (H3 → H8 → H9 → H10 → H12, elk hoofdstuk één teken anders). De lead-in is bewust géén “of, je typt dit” maar een opberg-zin. Terugdraai-instructie in het .werk-blok van §11. Bij de stem-pas: toon-check op de afhechtende zin.
  • ✅ Effectgrootte-familienaam (22-7, Bens besluit keuzes §1): term-blokje
    • passage in §6 (bij de eerste r) en één zin bij R² in §9. De familie-draad loopt door naar H9 §4 (Cohen’s d, η²) en H12 §5 (OR). Getallenblad: _effectgroottes_getallen.md. Bij de stem-pas: toon-check op de slotzin van de §6-passage (“weet vanaf nu wat er ontbreekt”).

Open ná de herbouw van 21-8

  • De drie residu-aannames worden genoemd en nergens uitgelegd. De belofte “die werken we bij meervoudige regressie uit” is weggehaald omdat H8 hem niet inlost — maar daarmee staat er nu een gat in het boek in plaats van een onwaar adres. Beide zijn slechter dan een hoofdstuk dat ze uitlegt. Bens keuze waar dat komt.
  • Zestien beelden uit de bouwtekening zijn nog niet gebouwd Gebouwd op 2-10-2026 (spoor fig_a, Bens vraag: “meteen een beeld erbij”): het hoofdstuk stond toen op zesentwintig figuren, op 3-10 even op zevenentwintig (de schuif-figuur, nu 3.12, kwam erbij na testlezer Michelle) en later die dag op eenentwintig: spoor reeksen_h3 maakte van de drie reeksen V1, V2 en V7 stroken van kleine handschetsen (_bouw_h3_reeksen.R, Bens besluit van 3-10 in keuzes.md); het intercept uit V7 bleef een losse figuur. Uit het tekenprogramma zijn V1, V2, V3 (als tweeluik), V4, V5, V7, V8, V9, V10 (variant A), V11 en V12 gebouwd; erbij gekomen zijn de twee lijnen door Else (§6, vraag van beide testlezers op 30-9) en de trap van additief (§10, Bens voorbeeld van 2-10). Niet gebouwd, met reden: V6 (“één motor, twee brillen”) — de motor is op 21-8 uit H3 verhuisd naar H9, dus de zin waar hij naast hoorde bestaat niet meer; en paneel (c) van het drieluik — de z-vorm woont in het verderwil-kader, één definitie per plek. Scripts: _bouw_h3_wolk.R en _bouw_h3_schema.R; registerregels in 02_figuren/_nieuw_fig_a.md.
  • Figuur 3.1 moet herbouwd Gedaan 2-10 als nieuwe figuur h3_wolk_steen.png (namen heel, vierkante ruitjes, de steen als vraagteken). Het oude h4_centroide.png hangt nergens meer en staat sinds 2-10 (middag) op de aanvaarde lijst van de brug tot iemand het archiveert — zelfde lot als h4_lijn.png. Die ochtend stond hier al dat hij erop stond, en dat was niet zo: de regel is pas ’s middags gezet, nadat de brug het meldde.
  • h4_lijn.png is uit het hoofdstuk gehaald (toonde Kees’ residu vóór het woord viel). Het bestand staat er nog; archiveren of laten hangen is een keuze voor de figuren-ronde.