Vierde beweging · Verschil onthechten

Hoofdstuk 9 — Groepen zijn ook getallen

Dummy-codering, t-toets, ANOVA en ANCOVA

Grove schets, v2 — kritiek-ronde 1 verwerkt (11-7). Dit hoofdstuk lost de bindende H8-slotteaser in (“de slijper… een naam. Een soort. Een groep. En toch kan ook dát het model in”) en de twee F = t²-planten (H7 §5 results-bullet “voor één voorspeller is F gewoon t²”; H8 §4 “wat de t voor één b was, is de F voor het hele model”). Kern-boog (besloten, INHOUDSOPGAVE + noord-ster): merk-kolom (namen) → dummy 0/1 → cov-motor op de dummy: b₁ = verschil in groepsgemiddelden, b₀ = gemiddelde van de nul-groep → toets op het groepsverschil = toets op b → ANOVA = regressie, F = t² → results-sectie in drie dialecten → ANCOVA-idee: gladheid erbij, covariaat peuzelt de error op, groepsverschil wordt scherp. Scheidslijn 11-7 gerespecteerd: géén klassieke ANOVA-bronnentabel als rekenrecept, wél de lézing ervan (tussen/binnen = fit/residu). Meereken-principe: de dummy-regressie is nog volledig H4-handwerk (rechthoekjes op een 0/1-kolom); de ANCOVA is machinewerk dat de lezer per case naleest.

Getallen-gestel (werk-getallen 11-7 — waarheidsscript regenereert; keuzes §1: getallen zijn dienaren): merk golfje/sterretje 6/6; glans-gemiddelden 40/60 (b₀ = 40, b₁ = 20); rechthoekjes-som op de dummy 60, vierkantjes-som 3, b = 60/3 = 20; SD’s 15.5/23.7; 5200 = 1200 + 4000, Se = 20 (exact), SE_b = 11.55, t = 1.732 (= √3 exact, dus F = t² decimaal-schoon), F = 3.00, p = .114 (gladde t-model; exacte permutatie over de 924 6/6-splits: 144/924 = .156 tweezijdig ≈ 1 op 6 — tekst zegt dat eerlijk, H6-rijm; jas één = klassieke gelijke-varianties-t, R-default Welch geeft df 8.6 / p = .119 — guard k), R² = .23, 95%-BI [−5.7, +45.7]; ANCOVA glans ~ merk + gladheid: exact b’s 4.64/14.95/7.58, afgeronde hulplijn 5 + 15·D + 7.5·gladheid (resten sommeren exact op 0, SS 287.5 tegen exact 287.1), SS_res 4000 → 287, Se 20 → 5.65, SE_b 11.55 → 3.29, t = 4.54, p = .001, BI [7.5, 22.4], R² = .94, F(2, 9) = 77; ontleding 20 = 15 + 5 (gladheid-gemiddelden 4⅔ vs 5⅓; ⅔ × 7.5 = 5, exact met de hulplijn; conditionele lezing bewaakt — wát de meegelifte 5 is blijft de open pijlen-vraag van H8); Leen-residu −16.3 → −7.7 (blijft de meest negatieve — níét “de grootste”: Anna’s +7.78 is absoluut de grootste, en met de hulplijn is het +7.5/−7.5 drieweg-gelijkspel Anna/Joop/Leen), Kees-residu −4.7 (gewone wiebel, rehabilitatie H8 blijft staan); karaat erbij: b = −6.9, t = −1.2 (karaat blijft niks toevoegen — consistent met H8).

Bewuste ontwerp-keuze (Bens call, zie open punten): de kále groepsvergelijking is níét significant (p = .114). Dat is het ANCOVA-drama: het verschil verdrinkt in ruis die wij al kúnnen benoemen (gladheid, H8), en de covariaat maakt het zichtbaar (p = .001). Past bij schatten-primair (het BI vertelt hetzelfde eerlijker) en geeft de error-peuzel echte inzet. Alternatief gestel (slijper-kwaliteit 6/6, 35/65, F = 10.8, p = .008) is doorgerekend maar verworpen: dáár sloopt de covariaat het groepsverschil (b 30 → −7.8, mediator-verwarring) i.p.v. het te verscherpen.

Wilde-dosering (brief: H9 zuinig): één pijn-landing — de C.3.3-passage in §3, feit-gedragen, zonder naam; de-nul-als-norm als ademtocht (§3, piano); residu-bewaart-de-personen als halve zin (§5). Tegenwicht verplicht en aanwezig: §4 viert dat alles in één model valt. Epigram-budget max één gemunte zin per sectie.

Bronnen: H9-inhouds-brief · keuzes.md §1/§2/§7 · INHOUDSOPGAVE H9-blok · H8_schets.qmd (teaser §9, Kees-canon §2/§4, twee vragen §4, Leen-tegen-les §5, n = 12-device §2) · Wilde-bevindingen H9 · AANTEKENING_oscar_wilde.

1. De wig

GROF — verhaal-stem, stem-pas volgt. Scène nieuw verzonnen 11-7 (Bens call): de meeuw en de gans — de meeuw is in het dieren-model de reduceerder en dus de natuurlijke drager van het dummy-gebaar (van bovenaf is iedereen “gans”). Thema: een groep-naam zegt bijna niets en tóch iets; het individu verdwijnt erin. Raakt het open kompas-punt “wanneer geeft een dier zichzelf een naam” — dit hoofdstuk over namen-die-getallen-worden is daar mogelijk dé plek voor (open punten). Wilde-regel verhaal-stem: verlies, geen ironie. GEEN statistiek.

Die ochtend, hoog boven het bos, trok een wig door de lucht.

De meeuw zag hem het eerst. Ganzen — je hoorde ze eerder dan je ze zag, en toen ze over waren hoorde je ze nog. De wig wisselde langzaam van vorm zonder ooit iets anders te worden.

Tegen de avond kwam er één naar beneden. Hij landde op het meer, dronk, en bleef toen heel stil liggen, zoals iemand stil ligt die van ver komt en nog verder moet.

De meeuw zwom een eindje mee. “Waar gaan jullie heen?” vroeg ze.

“Zuiden,” zei de gans. Hij zei het zoals je een naam zegt van iemand die je nooit hebt ontmoet.

“En hoe heet jij?”

De gans dacht daar lang over na. “Gans,” zei hij toen.

“Dat heten jullie allemaal.”

“Van bovenaf wel,” zei de gans. “Namen zijn voor van dichtbij. Wij vliegen hoog.”

Die avond bleef hij. De meeuw zag dingen die je alleen van dichtbij ziet: dat er in zijn linkervleugel één veer grijzer was dan de rest, dat hij zijn kop schuin hield als hij dronk, dat hij in zijn slaap zachtjes met zijn snavel klapperde alsof hij ergens anders al aan het praten was.

De volgende ochtend kwam er weer een wig over, en de gans stond op het water, rende, en steeg.

De meeuw keek hem na. Ze hield haar ogen op hem, op de grijze veer, op de schuine kop — en toen boog de wig een kwartslag om, en waren het ganzen.

Ze keek tot de wig een streep was, en toen een gedachte.

“Eén van hen,” zei ze zachtjes.

Het was het enige wat nog waar was. En het was bijna niets.

Docent-aansluiting: Bijna niets — maar niet niets. Onthoud dat “bijna”, want daar gaat dit hoofdstuk over. In het vorige hoofdstuk bleef er iemand ongemeten rond lopen: de slijper. Ergens, ooit, heeft iemand onze twaalf geslepen, en wíé — dat is geen getal. Het is een naam. Een soort. Een groep. Zoals “gans” geen getal is, en “Zuiden” niet, en “cliënt uit de ochtendgroep” niet, en “kreeg het nieuwe medicijn” niet. De helft van alle onderzoeksvragen die je ooit zult tegenkomen gaat over zulke niet-getallen: verschilt groep A van groep B? En twee hoofdstukken lang hebben wij een motor gebouwd die alleen getallen lust — rechthoekjes, vierkantjes, lijnen.

Dit hoofdstuk laat zien dat die motor ook namen eet. Niet door een nieuwe machine te bouwen — we bouwen in dit boek nooit meer een nieuwe machine — maar door van een naam een getal te maken. Dat kost één klein gebaar, en dat gebaar heeft een prijs en een cadeau. De prijs is precies wat de meeuw voelde toen de wig omboog. Het cadeau is dat de t-toets, de variantieanalyse en de regressie — drie technieken met drie namen, die in drie verschillende cursussen worden onderwezen alsof het drie werelddelen zijn — één en dezelfde motor blijken te zijn. De onze.

2. Twee tekens

Eerst het nieuws, want er ís nieuws. De bever heeft iets gevonden.

Hij had de grote doffe weer eens opgepakt — je weet inmiddels: dat doet hij soms — en hem ditmaal niet alleen gewreven maar ook omgedraaid. En daar, aan de onderkant, waar een diamant zijn vlakken naar de grond keert en niemand ooit kijkt, zat een kras die geen kras was. Te recht voor toeval, te klein voor opzichtig. Een teken. Wie er twaalf diamanten op nahoudt draait ze daarna állemaal om, en zo weten we sinds kort iets nieuws over onze twaalf: onder elke steen staat een teken, en er zijn er maar twee soorten. Een golfje. Of een sterretje. GROF — ontdek-scène: sluit direct aan op de slot-scène van H8 (bever pakt de grote doffe op). Wat de tekens zíjn: meester-tekens van twee slijpers — wie ze waren weet niemand, het bos is oud; we kennen ze alleen nog aan hun werk. Daarmee blijft de H8-keuze intact (“de twaalf zijn gevónden — hun slijper onbekend”) én blijft de pijlen-vraag van H8 §6 open: een teken vertelt je wíé sleep, niet wat oorzaak is. Geer-dekking: het merk van de gestolen Geer komt uit het bever-duim-device van H8 §2 — hij had ze alle twaalf onder zijn duim, óók de onderkanten; beslispunt, zie open punten.

Twee slijpers dus. “Iemand”, zeiden we in het vorige hoofdstuk — heeft iemand deze twaalf geslepen — en zelfs dat ene woord was al te veel aangenomen: het waren er twee. De een zette een golfje onder zijn werk, de ander een sterretje. Meer weten we niet van ze — geen naam, geen gezicht, geen werkplaats. Alleen dit: wie déze steen sleep, sleep óók díé. Het teken deelt de twaalf in tweeën.

**Tabel 9.1.** *De twaalf, met de vierde kolom.* Werk-getallen 11-7 — waarheidsscript regenereert. Zes golfjes, zes sterretjes. De kolom raakt de oude stats niet: karaat, glans, gladheid, r = .578, p = .049 en de MRA van H8 blijven exact staan.
naam	karaat	glans	gladheid	merk
Anna	0.4	20	1	golfje
Bram	0.5	30	2	sterretje
Cees	0.5	30	3	golfje
Dora	0.7	30	4	golfje
Else	1.0	50	6	golfje
Faas	1.0	70	6	sterretje
Geer	1.1	80	8	sterretje
Hans	1.2	60	7	golfje
Ida	1.3	70	7	sterretje
Joop	1.3	80	7	sterretje
Kees	1.5	30	2	sterretje
Leen	1.5	50	7	golfje

Kijk even rond in die kolom, zoals dit boek je heeft geleerd. De sterretjes-stapel oogt glanzender: Geer, Joop, Ida, Faas. Maar Kees is óók een sterretje — de haastigste dag van de sterretjes-slijper, zijn gladheid van twee staat er nog altijd bij. En bij de golfjes staat Hans gewoon op zestig te glimmen. Het teken is geen vonnis; binnen elke stapel wiebelt van alles. GROF — Kees-consistentie geborgd: zijn H8-verklaring (gladheid 2, “haastig, grof, en klaar”) blijft de verklaring; het merk voegt alleen toe wíé die haastige was. De “iemand → twee”-zin hierboven corrigeert het enkelvoud van H8’s slotteaser expliciet (kritiek-ronde 1). NB de H8-slotformulering “elf zorgvuldig, één haastig” schuurt op twéé punten met de kolom: het enkelvoud “iemand” (nu hier gecorrigeerd, maar H8-slotzin zelf mogelijk neutraler maken: “wíé — of wíé allemaal”) én de één-haastige-attributie (Anna, gladheid 1, is een gólfje — beide slijpers hadden mindere dagen) — cascade-checkpunt, zie open punten.

En nu de vraag van dit hoofdstuk. “Merk” is geen getal. Het is geen karaat waar je meer of minder van kunt hebben, geen gladheid met een schaal van nul tot tien. Golfje is niet mínder dan sterretje, of meer; het is alleen ánders. Zo’n variabele heet categorisch: haar waarden zijn hokjes, geen hoeveelheden, en er bestaat geen volgorde tussen de hokjes. Term-blokje: categorische variabele / categorical (nominal) variable; waarden = categorieën/niveaus; tegenover kwantitatief. Ben_OS-lering “variabele ≠ categorie” hier verankeren: merk is de variabele, golfje en sterretje zijn haar niveaus. En onze hele motor — rechthoekjes, vierkantjes, de lijn — draait op afwijkingen van een gemiddelde. Wat is het gemiddelde van zes golfjes en zes sterretjes?

Niets, zou je zeggen. En dan is dit hoofdstuk hier klaar.

Maar er is een achterdeur, en hij is zo simpel dat hij bijna vals aanvoelt.

3. Van naam naar getal

Het gebaar is dit: we spreken af dat golfje 0 heet en sterretje 1.

Dat is alles. Geen berekening, geen meting — een afspraak, van hetzelfde soort als “glans meten we van nul tot honderd”. Er staat nu een kolom met twaalf getallen: zes nullen en zes enen. Zo’n kolom heet een dummyvariabele: een variabele die maar één ding onthoudt, namelijk of je ergens bij hoort (1) of niet (0). Term-blokje: dummyvariabele / dummy (indicator) variable; codering 0/1; “dummy” = plaatsvervanger, het getal staat in voor de naam.

Twee dingen over dat gebaar, voor we gaan rekenen.

Ten eerste: wie de 0 krijgt, kiezen wíj. Ik had net zo goed sterretje op nul kunnen zetten; dan was alles wat volgt hetzelfde geweest met een minteken erdoorheen. De groep op nul heet de referentiecategorie — het ijkpunt, de groep waar de ander straks tegen wordt afgezet. En merk op wat er dan stilletjes gebeurt: de nul hoeft zich nergens toe te verhouden. De nul ís gewoon. Het is de één die straks gemeten wordt als afwijking — als verschil ten opzichte van. Wees je bij elke dummy die je ooit maakt of leest even bewust van wie er op nul is gezet, en door wie. Term-blokje: referentiecategorie / reference category, baseline; contrast-richting = treatment − baseline (Ben_OS-lering contrast-richting + dummy-codering): benoem altijd wélke groep 1 is en wélke 0, anders is het teken van b onleesbaar. GROF — Wilde-ademtocht (piano, ongenoemd): de-nul-als-norm, twee zinnen, geen uitroepteken. Dosering bewaakt: dit is de bijstem, de hoofdlanding komt hieronder.

Ten tweede: weet wat je zojuist hebt weggegooid. Alles. Alles behalve het lidmaatschap. De grijze veer, de schuine kop, het klapperen in de slaap — de dummy kent van elke gans nog precies één feit: of hij bij de wig hoorde. Wat je in een categorie stopt, was iemand; wat eruit komt, is een lidmaatschap.

Er zat eens een dichter in de gevangenis. Twee jaar, met dwangarbeid, omdat de wet voor wat hij was een categorie had. Toen hij vrijkwam schreef hij een lang gedicht over die jaren, en hij zette er zijn naam niet onder — zijn naam was onbruikbaar geworden, die had de rechtszaak opgegeten. Het gedicht verscheen onder het enige adres dat de gevangenis hem had gelaten: blok C, derde galerij, derde cel. Zo staat het op de eerste druk, waar de naam van de dichter had moeten staan: C.3.3. Een mens, gecodeerd — en de code was genoeg, want het boek werd gelezen, herdrukt, gekend. Dat is het hele dubbele van dit hoofdstuk in één drukregel: de code wist iemand uit, én de code werkte. GROF — Wilde-hoofdlanding (de éne pijn-passage van H9), feit-gedragen, zonder naam conform bewaker-regel; De Profundis-register: verlies via feit en cadans, geen medelijden, geen moraal erachteraan. “Geen citaten, geen namen” gerespecteerd — C.3.3 is een celnummer, geen naam. Feiten verifiëren bij redactie-pas (Ballad of Reading Gaol, 1898, eerste druk gesigneerd C.3.3; blok C, derde galerij, cel 3; twee jaar tuchthuis met dwangarbeid). Epigraph-conventie (C.3.3 als motto) is een open kompas-punt — níét unilateraal beslist; passage staat daarom in de lopende tekst. Bens call, zie open punten.

Onze codering is onschuldiger — een diamant heeft geen binnenkant die er onder lijdt, voor zover wij weten. Maar het gebaar is hetzelfde gebaar, en je moet het maken terwijl je weet wat het is. Wij zetten de golfjes op 0 en de sterretjes op 1, en vanaf hier is het merk een kolom als alle andere.

En nu het cadeau. Want kijk wat er gebeurt als je deze kolom — zes nullen, zes enen — gewoon in de motor van hoofdstuk 4 stopt. Niks nieuws: afwijking maal afwijking, rechthoekje per diamantje, som delen door de vierkantjes-som. Het gemiddelde van de dummy-kolom is 0.5 (zes enen op twaalf stenen), het gemiddelde van glans is 50, en dan:

**Tabel 9.2.** *Dezelfde motor, wéér andere voeding: rechthoekjes op een kolom van nullen en enen.* Werk-getallen — waarheidsscript regenereert. Som rechthoekjes = 60; vierkantjes-som van D = 12 × 0.25 = 3. Merk op: Else én Leen staan op nul (glans 50 = gemiddelde) — Else-echo, één bijzin waard, niet meer (haar boog is in H8 verbruikt).
naam	\(D_i\)	\(D_i - \overline{D}\)	\(\text{glans}_i - \overline{\text{glans}}\)	rechthoekje
Anna	0	−0.5	−30	+15
Bram	1	+0.5	−20	−10
Cees	0	−0.5	−20	+10
Dora	0	−0.5	−20	+10
Else	0	−0.5	0	0
Faas	1	+0.5	+20	+10
Geer	1	+0.5	+30	+15
Hans	0	−0.5	+10	−5
Ida	1	+0.5	+20	+10
Joop	1	+0.5	+30	+15
Kees	1	+0.5	−20	−10
Leen	0	−0.5	0	0

Som van de rechthoekjes: 60. Vierkantjes-som van de dummy: twaalf keer een kwartje, 3. En dus, precies zoals in hoofdstuk 4:

\[ \begin{aligned} b_1 &= \frac{60}{3} \\ &= 20 \end{aligned} \]

Twintig. Onthoud dat getal even, en reken nu iets heel anders uit: het gemiddelde van de zes golfjes-stenen en het gemiddelde van de zes sterretjes-stenen. De golfjes: 20, 30, 30, 50, 60, 50 — samen 240, gemiddeld 40. De sterretjes: 30, 70, 80, 70, 80, 30 — samen 360, gemiddeld 60. Het verschil tussen die twee gemiddelden: 60 − 40 = 20.

Hetzelfde getal. Dat is geen toeval en geen gelukje van onze twaalf — het is altijd zo, bij elke dummy, in elke dataset, zolang de dummy in zijn eentje in het model staat. De helling van een dummy ís het verschil tussen de twee groepsgemiddelden. (Wat er gebeurt zodra er een twééde kolom naast komt te staan, bewaar ik voor straks — onthoud alleen dat deze belofte het kale model geldt.) En het intercept? Formule erbij:

\[\widehat{\text{glans}}_i = b_0 + b_1 \times D_i \tag{9.1}\]

Vul \(D_i = 0\) in: de voorspelling voor een golfje is kaal \(b_0\). Het model kan voor de nul-groep maar één ding voorspellen, en het beste ene ding is — hoofdstuk 1 — hun gemiddelde. Dus \(b_0 = 40\): het gemiddelde van de referentiegroep. Vul \(D_i = 1\) in: \(40 + 20 = 60\), het gemiddelde van de sterretjes. De hele “regressielijn” is hier een lijn door twee punten: de twee stapels, elk opgehangen aan hun eigen gemiddelde, en de helling is het spróngetje van de ene stapel naar de andere. GROF — taal-regel verdelingen toegepast: de twaalf diamantjes liggen verdeeld over de glans-lijn, nu in twee stapels (golfjes en sterretjes); benoem het geval bij elke verdeling.

Een groep is dus gewoon in de regressiemotor te stoppen, en er komt niets exotisch uit — er komt het meest vertrouwde getal van dit hele boek uit: een verschil tussen twee gemiddelden. Een categorie is een gemiddelde met een naam. GROF — epigram-kandidaat, énige gemunte zin van deze sectie (budget); plaatsing/dosering Bens call.

GROF — figuur h9_twee_stapels nog te tekenen bij de figuren-ronde

Figuur v1 — het visuele hart van §3: de glans-lijn horizontaal, daarop twee punten-stapels (golfjes bij hun stapel, sterretjes bij de hunne; hand-stijl, wobble), en de “regressielijn” die niets anders kan dan door de twee groepsgemiddelden gaan — het sprongetje van 40 naar 60 gemarkeerd als b₁ = 20. Kees en Faas gelabeld (binnen-stapel-wiebel zichtbaar). Decompositie-kleuren pas in §5-figuur; hier neutraal. Kleurenblind-caveat: groepen óók onderscheiden met vorm/label, niet alleen kleur.

GROF — kader “Even terug”: waarom mag dit? In hoofdstuk 4 was X een hoeveelheid (karaat); nu is X een lidmaatschap. De motor vraagt alleen om getallen met een gemiddelde en afwijkingen — en 0 en 1 zíjn getallen. Wat de motor niet weet: dat er tussen 0 en 1 niets bestaat (er is geen halve sterretjes-steen). Daarom is de lijn hier geen glijbaan maar een sprong: alleen haar twee eindpunten betekenen iets. Drie regels, redactie-pas.

4. Drie jassen, één motor

Nu de bijvraag, met de handen op de rug — je kent de volgorde sinds hoofdstuk 6: eerst schatten, dan pas vragen of het echt is. De schatting stáát: sterretjes glanzen gemiddeld 20 punten hoger. Maar twaalf stenen is twaalf stenen. Kan dit sprongetje ruis zijn — een wereld waarin de twee slijpers even goed waren en het verschil van 20 er per ongeluk staat?

De toets op dat groepsverschil is de toets die je al kent, want het groepsverschil ís een b. De computer geeft bij \(b_1 = 20\) een standaardfout van 11.55 GROF — hier één werk-zin over waar die SE vandaan komt (zelfde muur-van-bordjes-logica als H6: schud/pseudo-kistjes en kijk hoe b wiebelt; formule-werk → werkboek); getallen bij waarheidsscript., en dus:

\[ \begin{aligned} t &= \frac{20}{11.55} \\ &= 1.73 \end{aligned} \]

Met de afspraak van α = .05 en tien envelopjes vrijheid: \(p\) = .114. Niet significant. En wie het liever voelt dan gelooft, schudt — dat is sinds hoofdstuk 6 je geboorterecht: hussel de merkjes over de twaalf glanzen en ruwweg één op de zes niks-werelden maakt een sprongetje van twintig of meer, welke kant ook op. Dat de schud-uitkomst (ongeveer .16) en de gladde .114 niet precies samenvallen is geen fout van een van beide — het is hoofdstuk 6 in het klein: bij twaalf stenen is de gladde kromme een benadering van het schudden, en allebei zeggen ze hetzelfde: dit gebeurt te vaak in werelden-zonder-verschil om er iets op te bouwen. En schatten-primair zegt het nog eerlijker: het 95%-BI rond die 20 loopt van −5.7 tot +45.7. Van “de golfjes glanzen ietsje hoger” tot “de sterretjes glanzen een half universum hoger” — we weten het gewoon niet. GROF — envelopjes/df: n = 12 min twee geschatte gemiddelden (elk een anker) = 10; rijmt op H4’s n − 2. Permutatie-getal gerepareerd (kritiek-ronde 1): exact over alle 924 6/6-splits is P(|verschil| ≥ 20) = 144/924 = .156 = 1 op 6.4 (eenzijdig .078) — de oude zin “ruim één op de negen” verkocht de t-p als schud-p; nu horen .16 bij het schudden en .114 bij het gladde t-model, expliciet als H6-rijm (benadering bij kleine n). Guard (j) herformuleerd, zie open punten; cascade naar §6-kaartjes-trede en OEFENBANK-regel 7 doorgevoerd. Waarom de vergelijking hier hangt: komt in §5 — dit is de plant voor de error-peuzel, landingsplek verplicht.

Zo. En nu het punt waarvoor dit hoofdstuk zijn titel draagt. Wat wij net deden heet in elk statistiekboek anders, en ik laat je alle drie de jassen zien — aan dezelfde kapstok.

Jas één: de t-toets. Wie twee groepen vergelijkt leert klassiek een techniek die “onafhankelijke t-toets” heet: neem het verschil tussen de twee gemiddelden, deel het door de standaardfout van dat verschil, klaar. De klassieke smaak neemt daarbij aan dat beide stapels even breed wiebelen — één gedeeld lineaaltje voor twee groepen, en dat is precies wat ons model óók aanneemt. Doe dat met onze getallen en er komt uit: t = 1.73, p = .114. Exact onze getallen — want het ís onze berekening. Het verschil delen door zijn wiebel: dat deden wij net, alleen noemden wij het verschil \(b_1\). GROF — Student-vs-Welch geborgd (kritiek-ronde 1): jas één = de klassieke gelijke-varianties-t-toets (Student). Bij onze 6/6 valt Welch qua t toevallig samen (gelijke n → zelfde SE = 11.547) maar df ≈ 8.6 en p = .119 ≠ .114 — en R’s t.test() default ís Welch. De ene zin “even breed wiebelen” hierboven is genoeg voor het boek; de rest (homogeniteits-aanname, terwijl onze SD’s 15.5/23.7 hem fors oprekken!) → oefenboek-notitie: JASP default Student klopt, R vergt var.equal = TRUE. Guard (k) in waarheidsscript; OEFENBANK-regel 8 aangepast.

Jas twee: de variantieanalyse. Wie méér dan twee groepen vergelijkt leert een techniek die ANOVA heet — en die werkt net zo goed bij twee groepen als bij vijf, dus laat hem gerust op onze twee stapels los. ANOVA praat niet over hellingen maar over vierkantjes — over oppervlaktes, zoals hoofdstuk 4. Tel alle glans-vierkantjes rond het kale gemiddelde: 5200, ons oude totaal. Tel de vierkantjes van de fit — voor een dummy-model is iedereens fit zijn groepsgemiddelde, dus zes keer \((40-50)^2\) plus zes keer \((60-50)^2\): 1200. Tel de vierkantjes bínnen de stapels — ieders afwijking van zijn eigen groepsgemiddelde: 4000. En kijk:

\[5200 = 1200 + 4000\]

DATA = FIT + RESIDU, voor de zoveelste keer, en de ANOVA-woorden ervoor zijn “tussen-groepen” en “binnen-groepen”: tussen = fit, binnen = residu. Zelfde vierkantjes, andere etiketten. De toets die erbij hoort vergelijkt de twee oppervlaktes per envelopje vrijheid:

\[ \begin{aligned} F &= \frac{1200 / 1}{4000 / 10} \\ &= \frac{1200}{400} \\ &= 3.00 \end{aligned} \]

Term-blokje: variantieanalyse / analysis of variance (ANOVA); tussen-groepen = between, binnen-groepen = within; F-ratio. Scheidslijn 11-7: de lezer leest deze boekhouding, het hand-ritueel met bronnentabellen en kritieke waarden woont in het werkboek.

En nu kijken. F = 3.00. En onze t was 1.73 — voluit 1.732. En \(1.732^2 = 3.00\).

\[F = t^2\]

GROF — nareken-borg (kritiek-ronde 1): de sudoku-lezer tikt 1.73² in en krijgt 2.99 — dáárom hier één keer t voluit als 1.732 (1.732² = 3.0003 → 3.00). Onafgerond is t hier exact √3, dus F = t² is exact, niet bijna — guard (d) borgt decimaal-exact.

Dit is geen trucje van onze twaalf; dit is een belofte die wordt ingelost. In hoofdstuk 7 zag je bij een results-regel al eens \(F\)(1, 10) naast een \(t\) staan en beloofde ik: voor één voorspeller is \(F\) gewoon \(t^2\), waarom er twee jassen bestaan zie je later. Later is nu. Herinner je de twee vragen van hoofdstuk 8: de vraag aan het model als geheel (dat is de \(F\)) en de vraag naar één unieke bijdrage (dat is de \(t\)). Bij één voorspeller is het hele model die ene bijdrage — de twee vragen vallen samen, en dus vallen hun antwoorden samen: \(F = t^2\), tot in de decimalen. Pas als er meer voorspellers hangen, gaan de vragen uit elkaar lopen — dat zág je in hoofdstuk 8 al gebeuren, met \(F\)(2, 9) = 20.3 voor het geheel en een kale \(t\) = 0.10 voor karaat alleen. GROF — belofte-boekhouding: dit lost de H7 §5-plant (“waarom twee jassen — binnenkort”) en de H8 §4-brugzin in. Check bij redactie-pas dat de H7-schets (nieuw slot “Hoe beslis je?”) die plant ook écht in deze woorden bevat — cascade, zie open punten.

Drie jassen, één motor: de t-toets is een regressie met één dummy, de ANOVA is dezelfde regressie in vierkantjes-taal, en de regressie is wat jij sinds hoofdstuk 4 met de hand kunt. Er valt dus ook drie keer hetzelfde te lézen. Zo staat één en dezelfde vergelijking — de onze — in drie soorten artikelen:

In t-toets-taal: “Sterretjes-stenen (M = 60.0, SD = 23.7) glansden gemiddeld hoger dan golfjes-stenen (M = 40.0, SD = 15.5), maar dit verschil was niet significant, t(10) = 1.73, p = .114.”

In ANOVA-taal: “Een variantieanalyse toonde geen significant effect van merk op glans, F(1, 10) = 3.00, p = .114.”

In regressie-taal: “Merk (sterretje = 1, golfje = 0) was geen significante voorspeller van glans, b = 20.0, SE = 11.5, t(10) = 1.73, p = .114, R² = .23.”

Drie dialecten, één mededeling. Wie het ene leest kan voortaan de andere twee schrijven: dezelfde \(t\) (of zijn kwadraat), dezelfde \(p\), dezelfde twintig punten sprongetje. Let bij het regressie-dialect op de bijzin tussen haakjes — sterretje = 1 — want zonder die bijzin weet niemand welke kant de 20 op wijst. En noteer wat er in geen van drieën ontbréékt: het object. Merk doet iets op glans — een groepsverschil is altijd een verschil ín iets, en alle drie de dialecten zeggen het erbij. Doe dat zelf ook, altijd. GROF — noord-ster-oogst deel één: results-lezen. De drie alinea’s zijn verzonnen (waarheidsscript regenereert de getallen); APA-vorm conform keuzes §7 — kritiek-ronde 1: álle statistische symbolen cursief (t, p, F, b, SE, R², niet alleen M/SD); juist deze alinea’s zijn het model voor de noord-ster-lezer, dus hier telt het dubbel. Bij waarheidsscript-template dezelfde cursivering afdwingen. Ontcijfer- en herschrijf-opgaven (dialect ↔︎ dialect vertalen; GGZ-kleur-variant met fictieve ROM-data) → OEFENBANK, hier niet voorkauwen. Register serieus.

Hoe groot dan?

Nog één keer terug naar die drie dialecten, want er staat iets in dat we nog geen naam hebben gegeven. Alle drie melden ze de toets — \(t\), \(F\), \(p\) — maar kijk wat ze dáárnaast rapporteren: het eerste de twee gemiddelden met hun lineaaltjes, het derde een \(b\) van 20 en een \(R^2\) van .23. Dat zijn, hoofdstuk 4, effectgroottes: antwoorden op hoe groot is het? — de vraag die de \(p\) niet beantwoordt en niet kán beantwoorden. Voor een groepsverschil bestaan er twee die je in elk artikel kunt tegenkomen, en je hebt ze allebei bijna al uitgerekend.

Het sprongetje in lineaaltjes: Cohen’s \(d\). Twintig glanspunten — is dat veel? Je hoort het ongemak, want het is het ongemak van hoofdstuk 4: het antwoord hangt aan de meetlat. Had de glansmeter tot duizend geteld, dan stond hier tweehonderd, en er was aan de stenen niets veranderd. Ruw is ruk, en de reflex is sindsdien altijd dezelfde: deel door een lineaaltje. Alleen — wélk lineaaltje? De twee stapels hebben er elk één, 15.5 bij de golfjes en 23.7 bij de sterretjes. Maar jas één nam net al aan dat beide stapels in wezen even breed wiebelen, en bij die aanname hoort één gedeeld lineaaltje: neem de vierkantjes bínnen de stapels — de 4000 van daarnet — deel door de tien envelopjes, en trek de wortel. Twintig glanspunten. (Dat is precies het residu-lineaaltje \(S_e\) van dit model, en dat kán ook niet anders: wat binnen de stapels wiebelt, ís wat het model niet weet.) En dan:

\[d = \frac{60 - 40}{20} = \frac{20}{20} = 1.00\]

Het sprongetje tussen de slijpers is precies één lineaaltje groot. Dit getal heet Cohen’s \(d\), en zie vooral wat het níét is: geen nieuw idee. In hoofdstuk 1 legden we het lineaaltje langs één diamant, in hoofdstuk 3 kreeg de muur van bordjes een korter exemplaar, en hier leggen we hetzelfde lineaaltje langs een gróépsverschil. Eén meetlat, derde klus. En omdat er geen glanspunten meer in zitten — glanspunten gedeeld door glanspunten — kun je deze \(d\) naast de \(d\) van elk ander onderzoek leggen, wat de meetlat daar ook was. Dáár zijn effectgroottes voor.

Twee kleine lettertjes, allebei eerlijk. Eén: er lopen meer smaken \(d\) rond — sommige onderzoekers delen niet door het gedeelde lineaaltje maar door dat van één groep, en deel bij ons door dat van de golfjes en er staat opeens 1.29. Een \(d\) zonder vermelding van zijn meetlat is dus een half getal; zeg er altijd bij waardoor je deelde. Wij: het gedeelde lineaaltje. Twee: in de handboeken staan vuistregels — 0.2 klein, 0.5 middelmatig, 0.8 groot — die Cohen zelf alleen als noodgreep bedoelde, voor wie écht niets beters heeft. Per die lat is onze 1.00 groot. En kijk dan nog eens naar de \(p\): .114. Een gróót effect, en niet significant — dat mag naast elkaar bestaan, en bij twaalf stenen bestaat het voortdurend. De \(d\) zegt hoe groot het sprongetje in dít kistje is; de \(p\) zegt hoe makkelijk zo’n sprongetje ook in een niks-wereld ontstaat; en het brede BI van daarnet zei al dat onze schatting net zo hard meewiebelt als de \(b\) die hij is. Twee vragen, twee antwoorden — een artikel dat er maar één geeft, vertelt je het halve verhaal.

De tuin in ANOVA-taal: η². En jas twee heeft zijn eigen effectgrootte, die je al hebt uitgerekend zonder het te merken. Deel de tussen-vierkantjes door alle vierkantjes:

\[\eta^2 = \frac{SS_{\text{tussen}}}{SS_{\text{totaal}}} = \frac{1200}{5200} = .23\]

Dit heet eta-kwadraat (η², eta squared): het deel van de glans-tuin dat op het conto van het merk komt. Kijk nu nog één keer naar het regressie-dialect hierboven, naar het staartje van die zin: \(R^2\) = .23. Hetzelfde getal — en niet bijna hetzelfde, of afgerond hetzelfde: η² ís \(R^2\). Tussen-vierkantjes gedeeld door totaal is \(SS_{\text{regressie}}\) gedeeld door \(SS_{\text{totaal}}\), het tuin-recept van hoofdstuk 4, letter voor letter. Er bestaan twee namen omdat er twee tradities bestaan: de variantieanalyse-boeken zeggen η², de regressie-boeken \(R^2\), en wie niet weet dat het één motor is, denkt zijn leven lang dat het twee getallen zijn. Jij weet het wel: drie jassen, één motor — en dus ook één effectgrootte, met op elke jas een andere naam genaaid.

Effectgroottes toegevoegd 22-7 (Bens besluit “de standaard effect sizes horen erin”, keuzes §1): \(d\) en η² als tweede toepassing van bestaand gereedschap (lineaaltjes-draad H1→H3, tuin/decompositie H4), géén nieuwe machinerie; scheidslijn 11-7 gerespecteerd (geen bronnentabel, geen vuistregel-ritueel). Alle getallen berekend, niet gegokt: _effectgroottes_getallen.md — d = 1.00 exact (gepoolde SD = √(4000/10) = 20 = \(S_e\) van het kale model; kruis-check d = t·√(1/3) = √3·√(1/3) = 1); η² = 1200/5200 = .2308 = \(R^2\), machine-identiek; Glass-alternatief (golfjes-SD) 1.29. Waarheidsscript H9-blok: guard (l) toevoegen (zie open punten). “Cohen zelf alleen als noodgreep” — Cohen 1988, formulering bij redactie-pas verifiëren (referentie-lering). Term-blokjes (effectgrootte / effect size; Cohen’s d; eta-kwadraat / eta squared, familie: η²ₚ bewust níét — dat is meervoorspeller-materie) → redactie-pas, zelfde stramien als de andere H9-term-blokjes.

En ja — de mededeling zelf is voorlopig: “we zien het niet”. Laat dat even staan zoals het staat. Een verschil van twintig punten dat we niet mogen geloven: dat schuurt, en het hoort te schuren. In de volgende sectie doen we er iets aan — niet door meer stenen te zoeken, maar door slimmer te kijken naar de stenen die we hebben.

5. De covariaat peuzelt de error op

Waaróm zien we het niet? Kijk naar de noemer van de \(F\): 4000 vierkantjes bínnen de stapels, en dus een residu-lineaaltje — hoofdstuk 4, \(S_e\); net nog de noemer van \(d\) — van \(\sqrt{4000/10} = 20\) glanspunten. Bínnen de golfjes loopt de glans van 20 tot 60; binnen de sterretjes van 30 tot 80. Tegen zóveel binnen-stapel-gewiebel is een sprongetje van 20 tússen de stapels gewoon niet te zien. De toets is niet streng — de foto is bewogen.

Maar nu komt het. Wij wéten waar dat gewiebel vandaan komt. Dat was het hele vorige hoofdstuk: glans volgt het slijpsel, acht punten per gladheidspunt, \(r\) = .91. Kees wiebelt niet zomaar onder in de sterretjes-stapel — hij staat op gladheid twee. Anna ligt niet zomaar onder in de golfjes — gladheid één. Het “residu” van ons dummy-model is helemaal geen mysterie; het is grotendeels een kolom die wij al hébben.

Dus zet die kolom erbij. Eén plusteken, hoofdstuk 8:

\[\widehat{\text{glans}}_i = b_0 + b_1 \times D_i + b_2 \times \text{gladheid}_i \tag{9.2}\]

De computer schat — dat is sinds hoofdstuk 8 zijn werk — en zegt: \(b_0 = 4.64\), \(b_1 = 14.95\), \(b_2 = 7.58\). Voor het narekenen mag je van mij de afgeronde hulplijn gebruiken, die scheelt niets wezenlijks:

\[\widehat{\text{glans}}_i \approx 5 + 15 \times D_i + 7.5 \times \text{gladheid}_i\]

En narekenen gaan we, per diamantje, want dat blijft óns werk:

**Tabel 9.3.** *De computer schat, wij rekenen na: voorspellingen en resten via de afgeronde hulplijn 5 + 15·D + 7.5·gladheid.* Resten sommeren exact op nul en hun vierkantjes-som is 287.5; het exacte model geeft 287.1 — waarheidsscript borgt beide, mét model-herkomst (zelfde constructie als de 944-vs-943-borg in H8).
naam	\(D_i\)	gladheid	glans	voorspeld	rest
Anna	0	1	20	12.5	+7.5
Bram	1	2	30	35.0	−5.0
Cees	0	3	30	27.5	+2.5
Dora	0	4	30	35.0	−5.0
Else	0	6	50	50.0	0.0
Faas	1	6	70	65.0	+5.0
Geer	1	8	80	80.0	0.0
Hans	0	7	60	57.5	+2.5
Ida	1	7	70	72.5	−2.5
Joop	1	7	80	72.5	+7.5
Kees	1	2	30	35.0	−5.0
Leen	0	7	50	57.5	−7.5

Kijk eerst naar de rest-kolom als geheel. In het kale dummy-model was de vierkantjes-som binnen de stapels 4000. Nu: 287 — jouw hulplijn zegt 287.5, en de computer, die met de onafgeronde lijn rekent, zegt 287; hetzelfde kleine verschil als de 944 tegen 943 van hoofdstuk 8, en het betekent hetzelfde: jij rekende goed. Het residu-lineaaltje kromp van 20 naar \(\sqrt{287/9} = 5.6\). De covariaat heeft de error opgepeuzeld — bijna letterlijk: al het binnen-stapel-gewiebel dat eigenlijk slijpsel-gewiebel was, is uit het residu weggegeten en heet nu fit. En zonder die ruis verschijnt het sprongetje haarscherp:

\[ \begin{aligned} t &= \frac{14.95}{3.29} \\ &= 4.54, \quad p = .001 \end{aligned} \]

Het 95%-BI rond het merk-verschil: van 7.5 tot 22.4 glanspunten. Vergelijk dat met [−5.7, +45.7] van daarnet. Zelfde twaalf stenen, zelfde vraag — maar een model dat het slijpsel kent, hoeft het slijpsel niet meer als ruis te behandelen, en schat het groepsverschil ineens zó zuiver dat de twijfel verdampt. Het verschil tussen de slijpers was er al die tijd; het verdronk alleen in gewiebel waar wij al een naam voor hadden. GROF — dit is de kern-pointe van de sectie (INHOUDSOPGAVE: “covariaat peuzelt de error op”). Eén gemunte zin max; kandidaat staat twee alinea’s verderop (“houden constant”), dus hier soberder houden bij redactie-pas.

Dan de tweede verandering, de subtielere: het sprongetje zelf is gekrompen, van 20 naar 15. Daar is de bijzin uit paragraaf 3: de belofte “helling = groepsverschil” gold de dummy in zijn eentje, en de dummy staat niet meer in zijn eentje. Waar zijn die vijf punten heen? Naar de covariaat. De sterretjes-stapel is namelijk ietsje gladder dan de golfjes-stapel — gemiddeld 5⅓ tegen 4⅔, tweederde gladheidspunt verschil. En tweederde punt maal 7.5 glans per punt is: precies 5. Vijf van de kale twintig punten liftten dus mee op de gladheid. Het model rekent ze eruit — holding constant, hoofdstuk 8, maar nu toegepast op een groepsvergelijking: 15 is het verschil tussen een sterretje en een golfje van gelíjke gladheid. En wat die vijf meegelifte punten dan wáren — steekproef-toeval, of juist het handschrift van de sterretjes-slijper zelf, want gladheid ís tenslotte slijperswerk — dat vertelt het model niet. Dat is dezelfde pijlen-vraag die hoofdstuk 8 openliet, en hij blijft open: een covariaat verlegt de boekhouding, hij beslecht geen oorzaak.

\[20 = \underbrace{15}_{\text{merk, bij gelijke gladheid}} + \underbrace{7.5 \times \tfrac{2}{3}}_{\text{meegelifte gladheid}}\]

GROF — deze ontleding is met de afgeronde hulplijn exact (15 + 5 = 20); met de exacte b’s ook (14.9485 + 7.5773 × ⅔ = 20.0000) — dat is de omitted-variable-identiteit, onbenoemd laten; guard in waarheidsscript. Didactisch is dit de brug terug naar H8: wegrekenen werkt óók als een van de twee een groep is. Kritiek-ronde 1: de oude causale zin (“vijf was geen slijper-verschil maar slijpsel-verschil”) is vervangen door de conditionele lezing + open pijlen-vraag — gladheid ís slijperswerk, dus de covariaat kan hier deel van het echte effect wegrekenen (dezelfde mediator-kwestie waarop het 35/65-gestel is verworpen, in mildere vorm — nu hardop i.p.v. weggemoffeld). Bij stem-pas bewaken dat de lezer nérgens leert “ANCOVA geeft het échte effect”; 15 is het verschil-bij-gelijke-gladheid, niet de waarheid.

En dit alles heeft, uiteraard, een deftige naam. Dummy plus continue voorspeller in één model heet in de handboeken covariantieanalyse, ANCOVA, en er bestaan cursussen waarin het als een eigen techniek wordt onderwezen, met een eigen hoofdstuk en een eigen ritueel. Jij weet nu beter: het is meervoudige regressie met een dummy erin. Niets meer. Dezelfde twee vragen als in hoofdstuk 8 — het geheel: \(F\)(2, 9) = 77, \(R^2\) = .94, ons gulzigste model tot nu toe; de unieke bijdrage van het merk: \(b\) = 14.9, \(t\) = 4.54. Term-blokje: covariaat / covariate; covariantieanalyse / ANCOVA; “controleren voor” als synoniem-cluster — verwijs terug naar het partiële-correlatie-blokje van H8. Zo leest het in een artikel:

“Gecontroleerd voor gladheid glansden sterretjes-stenen significant hoger dan golfjes-stenen, b = 14.9, SE = 3.3, t(9) = 4.54, p = .001; het volledige model verklaarde 94% van de variantie in glans, F(2, 9) = 77.0, p < .001.”

GROF — noord-ster-oogst deel twee: de ANCOVA-results-alinea. Verzonnen, waarheidsscript regenereert. Stukje-voor-stukje-ontleding → OEFENBANK (niet voorkauwen); GGZ-cadeau-variant (twee behandelgroepen, voormeting als covariaat — de klassieke toepassing) idem.

Nog twee kleine rondgangen langs de stenen zelf, want personen raken in zulke secties zoek — en het residu is nu juist de kolom waar ze wonen. Kees: voorspeld 35, echt 30, rest −5. Gewone wiebel; zijn rehabilitatie uit hoofdstuk 8 staat — een model dat zijn gladheid kent heeft aan Kees niets vreemds meer, wél of geen sterretje. En Leen. In hoofdstuk 8 was zij de grootste rest van het nieuwe model: −16, en ik zei toen — soms is een rest een kolom die we niet hebben, maar dat is geen belofte. Kijk nu: Leen is een golfje, en het merk verklaart een deel van haar dofheid weg; haar rest kromp van −16 naar −7.5. Gekrompen — én nog steeds de dofste van het kistje: niemand ligt zó ver ónder zijn voorspelling als Leen. De vierde kolom loste haar niet op, zoals de derde Kees wél oploste. Zo blijft de les van hoofdstuk 8 heel: niet elke rest verbergt een kolom, en een eerlijk model houdt een rest-kolom over — er zijn nog altijd twee C’s die niemand ooit gemeten heeft. GROF — Leen-beat: raakt de H8 §5-tegen-les; formulering zó dat H8’s “geen belofte” niet met terugwerkende kracht een belofte wordt (deels ingelost, niet opgelost). Kritiek-ronde 1: “de grootste” was ónwaar op twee narekenbare niveaus — met de hulplijn is het drieweg-gelijkspel in absolute grootte (Anna +7.5, Joop +7.5, Leen −7.5, pal boven deze alinea in tabel 9.3) en met het exacte model is Anna (+7.78) de grootste absolute rest, Leen (−7.68) de op één na. Wat wél waar is en de tegen-les even goed draagt: Leen is de meest negatíéve rest — de dofste tegenover het model. Guard (h) meegecorrigeerd + anti-terugval-guard (Anna = grootste absolute rest). Cascade-check H8 open punt. Wilde-echo (halve zin, budget): het residu is waar de personen wonen.

GROF — figuur h9_error_peuzel nog te tekenen bij de figuren-ronde

Figuur v1 — tweeluik, decompositie-kleuren Ben_OS (totaal blauw / fit groen / residu bordeaux, óók dragen met positie en label — kleurenblind-caveat). Links de balk van het kale dummy-model: 5200 = 1200 (groen) + 4000 (bordeaux) — het bordeaux domineert, “de foto is bewogen”. Rechts de balk mét covariaat: 5200 = 4913 + 287 — het bordeaux is een streepje geworden; de covariaat heeft het opgepeuzeld. Eronder klein: de twee residu-lineaaltjes, 20 tegen 5.6.

GROF — figuur h9_evenwijdig nog te tekenen bij de figuren-ronde

Figuur v1 — gladheid (x) tegen glans (y), golfjes en sterretjes als verschillende merktekens, en de twee model-lijnen erdoor: één per groep, evenwijdig (zelfde helling 7.5, verticale afstand 15 — het merk-verschil als constante tussenruimte). Dit plaatje ís Formule 8.2, en het draagt stilzwijgend de aanname die de sluiting als vraag opent (H10-plant). Hand-stijl.

Eén ding moet je in dat laatste plaatje nog even hardop zien. Formule 8.2 tekent twee lijnen — voor elke groep één — maar geeft ze dezelfde helling: 7.5 glans per gladheidspunt, voor golfjes én sterretjes. De tussenruimte is overal 15. Twee evenwijdige lijnen: dat is geen ontdekking van het model, het is een afspraak díé het model is. Wij hebben hem er stilletjes in gestopt. Onthoud dat.

6. Werk

Het rekenen mét software hoort bij het oefenboek: het boek toont, het oefenboek traint. De dummy zelf heb je hier met de hand gedaan — tabel 9.2 ís hoofdstuk 4-handwerk — en dat is geen noodoplossing maar het punt: een groepsvergelijking is de laatste regressie in dit boek die je nog volledig zelf kunt.

GROF — stub, vorm volgt het boek-brede Werk-besluit (R-besluit 7-7: leesboek software-vrij; lot JASP-tab open, keuzes §1).

Sier-regel R (om te lézen, niet te draaien — max één): lm(glans ~ merk + gladheid, data = diamantjes) — een groep is in de machinekamer letterlijk niets meer dan één woord vóór een plusteken; R maakt de dummy stilletjes zelf. NB: het R-besluit staat de sier-regel toe “per simulatie-hoofdstuk” en H9 is er geen — zelfde expliciete beslispunt als H8 §8, zie open punten.
Speeltje-idee (04_speeltjes/): de ruis-peuzelaar — de twee stapels van figuur h9_twee_stapels met een schuif “gladheid meenemen”: schuif hem open en zie de punten naar hun evenwijdige-lijnen-positie trekken, het bordeaux-vlak krimpen (4000 → 287) en het BI rond het sprongetje versmallen tot het van de nul loskomt. Houtje-touwtje-look.
Keukentafel-trede (blijft, is verhaal): tabel 9.2 zelf natellen — twee of drie rechthoekjes, de som, en dan 60/3; plus de twee groepsgemiddelden uit tabel 9.1 halen en checken dat b₁ = het verschil. Kaartjes-variant: schrijf de twaalf glanzen op kaartjes, schud de merkjes duizend keer — nou ja, twintig keer — en tel hoe vaak het sprongetje twintig of meer is, welke kant ook op (je landt rond één op de zes; exact 144/924 = .156 — de gladde t-p van .114 is dáár de benadering van, hoofdstuk 6 in het klein; kritiek-ronde 1: níét meer als “de p = .114 voelbaar” verkopen).
Oefenboek (via OEFENBANK.md, zie open punten): dialect-vertalingen (t-toets ↔︎ ANOVA ↔︎ regressie); ANCOVA-alinea ontcijferen; alle twaalf ANCOVA-resten narekenen; de 20 = 15 + 5-ontleding zelf leggen; GGZ-variant met voormeting als covariaat; drie groepen / k − 1 dummies (bewust níét in het boek).

7. Sluiting

GROF — uitademing: Tel na wat je hebt. Aan het begin van dit hoofdstuk was “wie sleep deze steen?” een vraag waar onze motor niet bij kon — een naam, geen getal. Eén afspraak later (nul en één) bleek het verschil tussen twee slijpers gewoon een \(b\), de toets erop gewoon onze \(t\), de variantieanalyse gewoon onze vierkantjes-boekhouding, en \(F\) gewoon \(t^2\). Er is geen aparte statistiek voor groepen. Er is één motor, en groepen zijn ook getallen — mits je onthoudt wat het gebaar kost: alles behalve het lidmaatschap gaat naar de rest-kolom. En zelfs dát bleek de motor te kunnen dragen: toen we de rest-kolom serieus namen en er het slijpsel bij haalden, werd het slijper-verschil zichtbaar dat twaalf stenen lang onzichtbaar was geweest.

Maar die laatste truc rustte op een afspraak die ik hardop heb moeten aanwijzen: twee evenwijdige lijnen. Hetzelfde slijpsel-effect voor beide groepen, dezelfde 7.5 voor golfje en sterretje, alsof gladheid niet zou mogen uitmaken wíé je sleep. En als dat nou niet zo is? Als een gladheidspunt bij de ene slijper méér glans losmaakt dan bij de andere — als het verschil zelf verschilt? Dan zijn de lijnen niet evenwijdig, dan is de tussenruimte geen getal maar een verhaal, en dan heb je het volgende hoofdstuk nodig. GROF — H10-plant (moderatie, “Verschil in verschil”), payoff van de evenwijdig-observatie in §5; niet meer beloven dan H10 levert (interactie dummy × continu is daar de instap).

In het voorjaar kwamen de wiggen terug, de andere kant op.

De meeuw keek elke wig na. Je kon niet zien of hij erbij was.

Je kon ook niet zien dat hij er niet bij was.

Ze bleef kijken tot de laatste wig een streep was, en toen een gedachte. Toen dook ze op, en het meer lag weer vlak.

GROF — slot eindigt op de verhaal-stem-scène (regel: mag; slot niet ontdubbelen — geen docent-glos erachteraan). De dubbele ontkenning (“ook niet zien dat hij er niet bij was”) is de stille payoff van “bijna niets” uit §1: wat de categorie je niet kan afnemen. Geen uitleg toevoegen; als dit te raadselachtig blijkt is de fallback eindigen op “het meer lag weer vlak”. Bens call bij stem-pas.

Open punten (grof → redactie-pas)

Werk-getallen merk-kolom — verzonnen 11-7, waarheidsscript moet regenereren. Kolom: sterretje = {Bram, Faas, Geer, Ida, Joop, Kees}, golfje = {Anna, Cees, Dora, Else, Hans, Leen}; via zoek-script (scratchpad, brute-force over alle 5/7- en 6/6-splits) gevonden op harde eisen: bestaande stats onaangeroerd; groepsgemiddelden glans 40/60 (mooi, hand-narekenbaar); b via cov-motor-handwerk 60/3 = 20; 6/6 zodat \(\overline{D} = 0.5\) en de rechthoekjes halve-punten-vrij blijven; 5200 = 1200 + 4000 met Se exact 20; F = 3.00 = 1.73² (F = t²-landing decimaal-schoon); ANCOVA met gladheid: SS_res 4000 → 287, b_D = 14.95 ≈ 15, t = 4.54, p = .001, en de afgeronde hulplijn 5 + 15·D + 7.5·gladheid geeft resten die exact op 0 sommeren met SS 287.5. Actie: _waarheid_getallen.R uitbreiden met een H9-blok (de H7- en H8-blokken staan daar zelf ook nog open) + guards op de gelukkige toevalligheden: (a) groepsgemiddelden exact 40/60 en SD’s 15.49/23.66; (b) rechthoekjes-som 60 en vierkantjes-som D = 3; (c) SS-drieluik 5200 = 1200 + 4000 mét de kanttekening dat binnen-groep-SS toevallig 1200 (golfjes) + 2800 (sterretjes) is — SS_between = SS_within-golfjes = 1200 is een toeval dat een lezer kan verwarren: beslispunt of de tekst het expliciet ontmijnt; (d) F = t² decimaal-exact; (e) hulplijn-resten som 0 en SS 287.5 vs exact 287.1, beide geborgd mét model-herkomst (zelfde stramien als 944-vs-943 in H8); (f) de ontleding 20 = 14.9485 + 7.5773 × ⅔ exact (omitted-variable-identiteit als guard, in de tekst onbenoemd); (g) BI’s [−5.7, 45.7] en [7.5, 22.4];
1. Leen-rest −7.68 (exact model) = meest negatíéve rest én Anna +7.78 = grootste absolute rest — anti-terugval-guard: de tekst mag Leen nooit meer “de grootste” noemen (kritiek-ronde 1: met de hulplijn is het bovendien drieweg-gelijkspel |7.5| Anna/Joop/Leen); Kees-rest −4.7; (i) karaat toegevoegd aan het volle model blijft niks (b = −6.9, t = −1.2) — consistentie met H8’s t = 0.10; (j) exacte permutatie over alle 924 6/6-splits: P(|verschil| ≥ 20) = 144/924 = .1558 tweezijdig (1 op 6.4; eenzijdig 72/924 = .078) — de tekst zegt nu “ruwweg één op de zes, welke kant ook op” en benoemt schud-p (.16) vs gladde t-p (.114) expliciet als H6-benaderings-rijm (gedraaid 11-7, h9_kritiek_check.R; oude zin “ruim één op de negen” verkocht de t-p als schud-p); (k) Student-vs-Welch: t.test(var.equal = TRUE) reproduceert exact t = 1.7321 / p = .1139; R-default Welch geeft zelfde t (gelijke n) maar df = 8.62, p = .119 — jas één = klassieke gelijke-varianties-smaak, in de tekst gedragen door één zin (“beide stapels even breed wiebelen”); oefenboek-notitie: JASP default Student klopt, R vergt var.equal = TRUE (cascade OEFENBANK-regel 8).
Effectgroottes \(d\) en η² toegevoegd (22-7, Bens besluit — keuzes §1, uitgevoerd): subsectie “Hoe groot dan?” aan het slot van §4, ná de drie dialecten (die leveren het materiaal: M/SD’s, b, R²). Alle getallen uit _effectgroottes_getallen.md (reproductie van de H9-werkgetallen klopte volledig): d = (60−40)/20 = 1.00 exact — noemer = gepoolde SD = √(4000/10) = 20 = \(S_e\) van het kale dummy-model (zelfde formule, geen toeval); η² = 1200/5200 = .2308 = R², machine-identiek. Didactisch cadeau van het bestaande gestel: groot effect (d = 1.00) naast p = .114 — hoe-groot ≠ hoe-zeker, rijmt op schatten-primair en de ns-dramaturgie hieronder. §5-opening kreeg een hechting (“net nog de noemer van d”) zodat √(4000/10) daar terugverwijzing is, geen tweede afleiding. Borg-actie: guard (l) bij het H9-blok van het waarheidsscript — gepoolde SD exact 20 (= Se), d exact 1.00 (én via t·√(1/3)), η² ≡ R² (all.equal), Glass-alternatief 1.29. Redactie-pas: Cohen-1988-formulering (“noodgreep”) verifiëren; term-blokjes bouwen; d/η² zijn bewust berekeningen zonder formule-nummer (8.1/8.2 blijven de enige getagde modellen — geen renummering nodig).
De kále vergelijking is bewust niet significant (p = .114) — ontwerp-keuze, Bens call. Waarom zo: (1) het geeft de error-peuzel echte inzet — de ANCOVA onthúlt iets i.p.v. iets moois nóg mooier te maken; (2) schatten-primair: het brede BI [−5.7, 45.7] vertelt het verhaal eerlijker dan “niet significant”; (3) de lezer ziet één keer een ns-resultaat in results-notatie (noord-ster: ook dát moet je kunnen lezen). Alternatief gestel is doorgerekend en gedocumenteerd: slijper-kwaliteit-split (haastig/zorgvuldig 6/6, gemiddelden 35/65, b = 30, F = 10.8, p = .008, 5200 = 2700 + 2500) — mooiere kale toets, maar de covariaat gladheid sloopt daar het groepsverschil (b 30 → −7.8, ns) omdat kwaliteit-groep en gladheid hetzelfde meten: mediator-verwarring die de brief expliciet wil vermijden, en de beloofde error-peuzel-pointe sneuvelt. Wil Ben tóch een significante hoofdvergelijking, dan moet het gestel opnieuw gezocht (getallen zijn dienaren — maar dít is de echte kostenpost).
Merk/slijper-verhaal — Bens call (brief: slijper vs herkomst). Gekozen: slijper via meester-tekens (golfje/sterretje) onder de steen; slijpers blijven naamloos (“het bos is oud”) zodat (1) de H8-keuze “hun slijper onbekend” niet wordt overschreven, (2) de pijlen-vraag van H8 §6 open blijft, (3) het naam-wordt-code-thema (Wilde) draagt. Fysieke lezing van het 15-punten-verschil: de twee slijpers sneden verschillende stijlen (veel kleine vlakken vs weinig grote — echt-wereld-anker: briljant- vs roosslijpsel geeft écht glansverschil bij gelijke polijst; verifiëren bij redactie-pas) — in de schets bewust nog niet uitgeschreven; beslispunt hoeveel fysica de tekst nodig heeft. Alternatief blijft herkomst (twee rivierarmen; raakt dan de twee ongemeten C’s) — minder naadloos op de teaser.
Geer-dekking (n = 12): het merk van de gestolen Geer komt uit het bever-duim-device van H8 §2 (hij had alle twaalf onder zijn duim, óók de onderkant met het kerfje). Bens call of dit één expliciete zin in §2 krijgt of impliciet blijft; H8-open-punt over het duim-device is leidend — cascade-check.
Wilde-dosering H9 (zuinig, conform brief): hoofdlanding = de C.3.3-passage in §3 (feit-gedragen, geen naam, geen moraal; tegenwicht in dezelfde alinea: “de code werkte”); ademtocht = de nul-als-norm in §3 (twee zinnen, piano); halve-zin-echo = “het residu is waar de personen wonen” (§5). Verder niets. Feiten verifiëren: Ballad of Reading Gaol 1898, eerste druk onder C.3.3; blok C, derde galerij, cel 3, Reading; twee jaar tuchthuis met dwangarbeid. Epigraph-conventie (C.3.3 als hoofdstuk-motto) is een open kompas-punt — hier niet beslist, passage staat in lopende tekst. Bij stem-pas bewaken dat er geen tweede pijn-moment insluipt.
Openings- en slotscène (de wig / de gans) — nieuw verzonnen 11-7, Bens call. Meeuw als drager klopt met het dieren-model (de reduceerder voelt het dummy-gebaar het scherpst). De scène raakt het open kompas-punt “wanneer geeft een dier zichzelf een naam” — dit hoofdstuk is daar mogelijk dé plek voor; nu bewust klein gehouden (“namen zijn voor van dichtbij”). Registreren in CAST_EN_SIGNATUUR of eenmalig laten? De slot-scène (dubbele ontkenning) heeft een fallback, zie werk-notitie aldaar.
H8-cascade-checks (zelfde sessie als akkoord; verbreed in kritiek-ronde 1): (1) slotzin H8 §9 “heeft iemand deze twaalf geslepen — elf zorgvuldig, één haastig” schuurt op twéé punten met H9: het enkelvoud “iemand” (H9 onthult twee slijpers — §2 heeft nu een expliciete correctie-zin; overweeg de H8-slotzin zelf neutraler: “wíé — of wíé allemaal”) én de één-haastige-attributie (Anna, gladheid 1, is een gólfje en Bram/Kees gladheid 2 zijn sterretjes — beide slijpers hadden mindere dagen) — afzwakken in H8 óf de H9 §2-correctie het werk laten doen; (2) H8 §5 Leen-tegen-les: H9 lost Leen déels in (−16.3 → −7.68, blijft de meest negatíéve rest, níét de grootste — Anna +7.78 is absoluut groter) — check dat H8’s “dat is geen belofte” houdbaar geformuleerd blijft; (3) de teaser-check uit H8-open-punten kan dicht: H9 levert wat de teaser beloofde (namen → getallen, de slijper het model in).
H7-cascade-check: de F = t²-payoff in §4 leunt op de H7 §5-plant (“F(1, 10) = 5.01 — voor één voorspeller is F gewoon t²; waarom twee jassen zie je binnenkort”). H7 is nog te schrijven (nieuw slot “Hoe beslis je?”, keuzes §1 optie B) — borg dat die plant er in déze woorden ook echt komt, anders §4 herformuleren.
Galton-sectie (H8 §7) → H9-slot: landingsplek gereserveerd, niet ingebouwd. Het verscherpte beslispunt leeft in H8-open-punten (Wilde-budget per beweging vs per hoofdstuk). Verhuist hij, dan is de natuurlijke plek hier vóór §7 (de naam regressie naast het naam-wordt-getal-thema is inhoudelijk een rijm), en moet de Wilde-boekhouding van H9 opnieuw (C.3.3 + mezzoforte-Galton = te veel; dan één van beide terugschalen). Bens call.
Twee vs drie groepen: twee gehouden (brief: bij twijfel twee). k − 1 dummies en de F als model-vraag bij k groepen → werkboek; hooguit t.z.t. een verderwil-kader (max één per hoofdstuk, nu niet gebruikt — bewust: het intuïtie-werk had de ruimte nodig). Bij uitbreiding: cascade INHOUDSOPGAVE.
Sier-regel R in §6 — beslispunt, Bens call FORCEREN vóór stem-pas (zelfde kwestie als H8 §8; kritiek-ronde 1: niet laten hangen — zoals hij nu staat valt de schets buiten de eigen regel): het R-besluit (7-7) staat de leesregel toe “per simulatie-hoofdstuk” en H9 is er geen. Twee opties, één keuze: (a) keuzes §1 uitbreiden naar demystificatie-momenten, mét datum en why — dan dekt één besluit H8 én H9; (b) de lm-regel naar het oefenboek. Tot de call valt: de regel staat hier onder voorbehoud.
Scheidslijn-borging (11-7): geen ANOVA-bronnentabel als rekenrecept, geen kritieke waarden, geen 8-stappen — de tussen/binnen-boekhouding staat er als lézing van DATA = FIT + RESIDU. Check bij redactie-pas dat §4 die grens nergens overschrijdt (de F-breuk staat er als betekenis-uitleg, niet als recept).
Results-alinea’s (§4 drie dialecten + §5 ANCOVA) — verzonnen, waarheidsscript regenereert. Format-precedent H7 §5 (stukje-voor-stukje, cadeau niet voorkauwen). GGZ-kleur-variant (twee behandelgroepen, voormeting als covariaat) → OEFENBANK.
OEFENBANK.md — regels toevoegen (cascade): (1) drie dialecten vertalen: uit een gegeven t-toets-zin de ANOVA- en regressie-zin schrijven (en terug); (2) tabel 9.2 volledig natellen en b₀/b₁ leggen; (3) alle twaalf ANCOVA-resten narekenen met de hulplijn + DATA = FIT + RESIDU checken (287.5); (4) de 20 = 15 + 5-ontleding zelf reconstrueren uit de groeps-gladheden; (5) ANCOVA-results-alinea ontcijferen (GGZ-variant: ROM-voormeting als covariaat); (6) drie groepen / k − 1 dummies doorgerekend; (7) permutatie-opgave: merkjes schudden, sprongetjes tellen — landt rond .16 (exact 144/924 = .156), níét op .114; de opgave benoemt het verschil met de gladde t-p expliciet als H6-rijm (benadering bij n = 12); (8) JASP/R-pad t-toets vs ANOVA vs regressie op dezelfde data — drie menu’s, één uitkomst, mét smaak-waarschuwing: JASP default (Student) klopt, R’s t.test() default (Welch) geeft p = .119 — var.equal = TRUE nodig, anders lijkt de identiteits-pointe te falen.
Figuren (hand-stijl, kleurenblind-caveat overal: positie/label/helderheid dragen mee): h9_twee_stapels (twee punten-stapels + lijn door de groepsgemiddelden, sprongetje b₁ = 20; Kees/Faas gelabeld); h9_error_peuzel (SS-balken vóór/na covariaat, blauw/groen/bordeaux, 4000 → 287, lineaaltjes 20 → 5.6); h9_evenwijdig (gladheid × glans, twee evenwijdige lijnen, tussenruimte 15 — draagt de H10-plant).
Formule-nummering: 8.1 (dummy-model) en 8.2 (ANCOVA-model) — geen a/b-varianten nodig (geen delings-vs-factor-vorm); stramien keuzes §7 bij redactie-pas.
Bib-borging: wig/gans-scène; “een categorie is een gemiddelde met een naam”; drie-jassen-één-motor; “de foto is bewogen”; error-peuzel; C.3.3-passage; evenwijdige-lijnen-afspraak → molen- ronde. Bib-eerst-check: deze schets is uit de briefing geschreven, nog niet tegen transcript-units gelegd — bij stem-pas Bib queryen op dummy / ANOVA / t-toets / ANCOVA / covariaat (opstartritueel §9; in deze werk-sessie niet uitgevoerd, bewust genoteerd i.p.v. stilgezwegen).
INHOUDSOPGAVE-cascade: H9-blok van ⬜ naar “grove schets v1” (nog op oude nummering “H8” in het blok — hernummer-pas is een uitvoerings-TODO in keuzes §1, dit bestand heet alvast H9 conform besluit 11-7); beweging-3-opmaatpagina bestaat nog steeds niet — regie, hoort vóór H8.
Kritiek-ronde 1 verwerkt (11-7, twee reviews: didactiek/genestheid + framing/wiskunde; reken-reparaties geverifieerd in scratchpad/h9_kritiek_check.R). Doorgevoerd, hoog → laag: permutatie-zin eerlijk (144/924 = .156 ≈ 1 op 6, tweezijdig; .114 expliciet bij het gladde t-model, H6-rijm — cascade §6 + OEFENBANK 7 + guard j); Leen = meest negatieve rest i.p.v. “de grootste” (Anna +7.78 absoluut de grootste; guard h + anti-terugval); 287-vs-287.5-tekstbrug in §5 (944-vs-943-stramien); causale over-claim §5 → conditionele lezing + open pijlen-vraag (“covariaat verlegt de boekhouding, beslecht geen oorzaak”); Student-vs-Welch geborgd (één zin in jas één, guard k, OEFENBANK 8); §3-vuistregel geclausuleerd (“dummy in zijn eentje”) + §5-echo; F = t² nareken-schoon (t voluit 1.732); APA-cursivering álle symbolen in de results-citaten; H8-cascade verbreed (enkelvoud “iemand” + haast-attributie, correctie-zin in §2); ANOVA-bij-twee- groepen-brugzinnetje; sier-regel-beslispunt aangescherpt (forceren vóór stem-pas). Door de reviews expliciet houdbaar bevonden (niet gewijzigd): de wig/C.3.3-verdubbeling (verlies-getoonzet vs code-werkt-getoonzet — kitsch-bewaker mag definitief oordelen), de volgorde prijs-vóór-cadeau in §3, de ns-dramaturgie als geheel.
Bekende spanningen die blijven staan (redactie-pas): (a) het toeval SS_between = SS_within-golfjes = 1200 kan een narekenende lezer laten denken dat dat hóórt — onbenoemd gelaten, ontmijn-zin is een redactie-beslispunt (guard c flankeert); (b) §4 toont een ns-resultaat zonder de power-taal van H7 erbij te pakken (Type 2 / “de foto is bewogen” is impliciet power) — bewust: H7 heeft die woorden al, hier zou het duplicatie zijn; expliciete terugverwijzing is een redactie-optie. Waarheidsscript moet nog regenereren/borgen: volledige lijst hierboven onder het eerste punt (a t/m k).