Eerste beweging · Verschil onder de loep

Oefening 1.1 · Het gemiddelde en de standaardafwijking

Gemiddelde en standaardafwijking · mean & standard deviation

Data bij deze oefening — penguins.csv 342 pinguïns · diamantjes.csv de twaalf steentjes uit het boek · wat elke kolom betekent

prikkel

Geen pinguïn weegt precies het gemiddelde

gemiddelde · waarom niemand precies op het midden zit

Ergens op een kale rots bij Antarctica staat een weegschaal, en daaromheen scharrelen 342 pinguïns die daar niet om gevraagd hebben.1 Eén voor één worden ze opgetild, op de schaal gezet, en weer losgelaten. Elke keer schrijft iemand één getal op. Gewicht, in grammen. Meer niet: 342 dieren, 342 getallen.

Tel die 342 getallen op, deel door 342, en er komt iets keurigs uit: 4202 gram. Ziedaar, de gemiddelde pinguïn: 4,2 kilo. Alleen — ik heb de lijst nagekeken, en op die hele rots staat geen enkele pinguïn die 4202 gram weegt. Niet één. De gemiddelde pinguïn is er zelf niet bij.

Dat jeukt. Eén getal dat 342 dieren samenvat en van niemand is — wat vertelt zo’n getal dan eigenlijk? En, misschien wel spannender: wat laat het weg? Trek even mee; we gaan dat getal openmaken.

speel het

Reken het gemiddelde uit in R

gemiddelde · standaardafwijking · mediaan

OpmerkingEerst zoals in het boek — de twaalf diamantjes 
# de twaalf steentjes binnenhalen
d <- read.csv("diamantjes.csv")

# drie getallen over de glans
# mean() → 50
mean(d$glans)

# sd() → 21.74
sd(d$glans)

# median() → 50
median(d$glans)
library(dplyr)
d <- read.csv("diamantjes.csv")

# summarise zet de drie maten in één tabelletje
d |> summarise(gemiddelde = mean(glans),
               sd         = sd(glans),
               mediaan    = median(glans))

Twaalf steentjes, dezelfde drie getallen als in het boek. Het gemiddelde is 50 en de mediaan óók 50 — bij deze twaalf vallen ze samen.

Nu jij — met de pinguïns die je in Oefening 0.1 al hebt bekeken. De data ken je dus; de handeling is nieuw. Let op wat er met dat gemiddelde en die mediaan gebeurt als de hoop niet meer zo braaf is.

Haal de pinguïns binnen en laat drie getallen uitrekenen: het gemiddelde, de standaardafwijking en de mediaan van het gewicht.

OpmerkingIn R · trek eraan 
peng <- read.csv("penguins.csv")

# afgerond: 4202
# mean() → 4201.75
mean(peng$gewicht)

# afgerond: 802
# sd() → 801.95
sd(peng$gewicht)

# median() → 4050
median(peng$gewicht)
library(dplyr)
peng <- read.csv("penguins.csv")

peng |> summarise(gemiddelde = mean(gewicht),
                  sd         = sd(gewicht),
                  mediaan    = median(gewicht))

Drie getallen. Lees ze één voor één:

  • Gemiddelde (mean): M = 4202. Het balanspunt. Denk aan alle gewichten als knikkers op een lange lat: leg je vinger onder 4202 en de lat is in evenwicht. Het “midden” — maar dan het midden waar de zwaarte om draait.
  • Standaardafwijking (standard deviation): SD = 802. Het antwoord op de vraag die meteen ná het midden komt: en hoe ver liggen ze daar dan omheen? Zoiets als de gemiddelde afstand tot het midden: een pinguïn zit hier typisch een gram of 800 van het gemiddelde af — sommige veel dichterbij, sommige veel verder. (Voor de fijnproever: de formule kwadrateert die afstanden eerst en wortelt daarna terug, daarover later. De lees-intuïtie “typische afstand tot het gemiddelde” mag je gewoon houden.)
  • Mediaan (median) = 4050. De middelste pinguïn: zet alle 342 op een rij van licht naar zwaar en kijk wie er halverwege staat. Hé — die ligt een stuk lager dan het gemiddelde. Onthoud dat jeukje; het komt zo terug.

Maar er staat nóg een kolom in het bestand: soort. Drie soorten pinguïns lopen er op die rots — Adelie, Chinstrap en Gentoo. Reken het gemiddelde eens per soort uit, en gooi de gewichten ook in een plaatje.

OpmerkingIn R · per soort 
# Adelie, Chinstrap, Gentoo: tapply() → 3700.662  3733.088  5076.016
tapply(peng$gewicht, peng$soort, mean)

# alle 342 gewichten in één plaatje
hist(peng$gewicht)
peng |> group_by(soort) |>
  summarise(gemiddelde = mean(gewicht), n = n())

library(ggplot2)
ggplot(peng, aes(gewicht)) + geom_histogram(bins = 20)

Dit zijn twee handelingen die je vanaf nu blijft gebruiken. Samenvatten per groep — tapply, aggregate, group_by — staat uitgewerkt bij samenvatten, en per groep; de opbouw van een ggplot bij plotten.

En daar valt het ene getal uit elkaar. Adelie: M = 3701. Chinstrap: M = 3733. Gentoo: M = 5076. Twee soorten die vlak bij elkaar rond de 3,7 kilo zitten — en één soort die daar ruim een kilo boven hangt. Het plaatje zegt hetzelfde in vorm: geen net bergje met één top, maar een berg met een dikke schouder aan de rechterkant. Die schouder, dat zijn de Gentoo’s.

snap het

Wat 4202 gram wél en niet vertelt

M en SD samen · uitschieters · wat één getal verzwijgt

Terug naar 4202. Wat is dat getal nu nog waard?

Meer dan je misschien denkt — en minder. Eerst de winst. M zegt waar het midden ligt, en SD zegt hoe wijd de dieren daaromheen wonen. Die twee samen zijn al een halve verdeling: “gemiddeld 4202, typisch zo’n 800 eromheen” vertelt je dat een pinguïn van 3500 of van 4900 gram hier doodgewoon is (binnen één SD van het midden), en dat de zwaarste van de rots — 6300 gram — een flinke uitschieter is. Wie alleen het gemiddelde rapporteert, geeft je een plek zonder omtrek; de SD is de omtrek.

Dan het verlies. Dat ene gemiddelde, 4202, mengt drie soorten door elkaar. Twee soorten wonen rond de 3700, één rond de 5076 — en 4202 valt precies in het gat daartussen, waar bijna geen pinguïn woont. De gemiddelde pinguïn bestaat niet, en nu zie je waaróm niet: het is geen typisch dier, het is het balanspunt van een gemengd gezelschap.

En kijk wat dat mengen met de SD doet. Binnen één soort is de spreiding veel kleiner — Adelie 459, Chinstrap 384, Gentoo 504 — maar over alles heen was hij 802. Dat verschil is geen extra individuele variatie: het is het sóórtverschil dat zich als spreiding vermomt. Eén getal voor het midden verbergt drie middens; één getal voor de spreiding telt de afstand tussen groepen mee alsof het gewone wiebel is.

Nu het jeukje van de mediaan. 4050 tegenover 4202: het gemiddelde ligt hoger, omdat de zware Gentoo-schouder rechts het balanspunt naar zich toe trekt — de mediaan trekt zich van schouders en uitschieters niets aan, die telt alleen wie er halverwege de rij staat. Lopen gemiddelde en mediaan uit elkaar, dan is dat dus een seintje: deze verdeling hangt scheef, of bestaat uit stukken. Daarover gaat de opdracht over de vórm van verdelingen; en of zo’n verschil tussen groepen echt is of ook toeval had kunnen zijn, dat gaan we later schudden. Hier volstaat het seintje.

In gewone taal, één zin: deze 342 pinguïns wegen gemiddeld zo’n 4,2 kilo met een typische afwijking van ruim 800 gram — maar dat gemiddelde mengt drie soorten die elk om een eigen midden wonen.

En dat is meteen de leeshouding voor elk gemiddelde dat je vanaf nu tegenkomt — “de gemiddelde Nederlander”, “het gemiddelde inkomen”, “de gemiddelde patiënt”. Twee vragen erbij, altijd: hoe ver liggen ze eromheen? (vraag om de SD) en wie zitten er allemaal in dat gemiddelde? (vraag om de groepen). Een gemiddelde zonder die twee antwoorden is een adres zonder stad.

jouw beurt

Van buik naar snavel

dezelfde twee maten op een tweede variabele

Jouw beurt — van buik naar snavel. In penguins.csv zit ook de kolom snavellengte (in mm). Dezelfde twee maten, een andere variabele — en een hoop die net iets anders ligt dan die van het gewicht.

Maar eerst één kolom die níét compleet is. Tot nu toe had elke pinguïn een gewicht en een snavel. Bij stikstof ontbreekt bij een paar dieren de meting. Dat getal is geen hoeveelheid stikstof, maar een maat voor wát een pinguïn at, afgelezen uit zijn bloed (zie wat elke kolom betekent). Daar begint vraag a).

Zet eerst de analyse hieronder klaar, en beantwoord daarna de vragen. Tussen haakjes staat telkens wat er in een compleet antwoord hoort, zodat je jezelf kunt nakijken zonder ons antwoord te openen. Staat er meer antwoorden zijn goed, dan is de verwoording aan jou — bij de rest ligt het antwoord vast. De laatste vraag heet met opzet Z) en niet m): de aannames staan altijd achteraan, en de vreemde letter zegt “en ook, elke keer, deze”.

OpmerkingIn R · eerst de gaten, dan de snavels 
peng <- read.csv("penguins.csv")

## Een kolom met gaten ----

# het bestand telt zoveel rijen: nrow() → 342
nrow(peng)

# kaal: mean() → NA
mean(peng$stikstof)

# met na.rm = TRUE: mean() → 8.73
mean(peng$stikstof, na.rm = TRUE)

# !is.na() betekent "niet ontbrekend": sum() → 330
sum(!is.na(peng$stikstof))

Wat staat er aan? Een functie heeft knoppen die je niet ziet, omdat ze al een stand hebben. mean() staat standaard op na.rm = FALSE: mist er één meting, dan krijg je NA in plaats van een getal. Dat is geen fout van jou; zo staat hij afgesteld. Zet je na.rm = TRUE, dan rekent hij met wat er wél is, en vanaf dan is het aantal rijen van je bestand niet meer het aantal waarmee je rekende. Meer over NA staat bij ontbrekende waarden.

Voor later, zodat het je dan niet overvalt: niet elke functie weigert zo. lm(), dat je bij regressie tegenkomt, laat een pinguïn met een gat gewoon weg en rekent door met de rest, en aggregate() doet dat ook als je hem met een ~ schrijft. Die hoef je nu nog niet te kennen.

## De snavels ----

# mean() → 43.92
mean(peng$snavellengte)

# sd() → 5.46
sd(peng$snavellengte)

# median() → 44.45
median(peng$snavellengte)

# de hele hoop snavellengtes in één plaatje
hist(peng$snavellengte)

## Dezelfde maten per soort ----

# Adelie, Chinstrap, Gentoo: tapply() → 38.79139  48.83382  47.50488
tapply(peng$snavellengte, peng$soort, mean)

# Adelie, Chinstrap, Gentoo: tapply() → 2.663405  3.339256  3.081857
tapply(peng$snavellengte, peng$soort, sd)

# de gaten van stikstof per soort, TRUE telt als 1: tapply() → 10  1  1
tapply(is.na(peng$stikstof), peng$soort, sum)

## Binnen één standaardafwijking ----

# TRUE als de snavel tussen M − SD en M + SD ligt: afstand tot het midden hooguit één SD
binnen <- abs(peng$snavellengte - mean(peng$snavellengte)) <= sd(peng$snavellengte)

# TRUE telt als 1: sum() → 204
sum(binnen)
OpmerkingJouw beurt

a) Reken het gemiddelde van stikstof uit. Met hoeveel pinguïns reken je dan, en waarom zijn dat er geen 342? (twee getallen, en één zin)

b) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking van de snavellengte. (twee getallen op twee decimalen, met hun eenheid)

c) Zeg in één zin wat dat gemiddelde over de snavels zegt. (over snavels — een getal mag, mits de eenheid erbij staat)

d) En wat zegt die standaardafwijking? (één zin, met het woord afstand erin)

e) Tel hoeveel pinguïns een snavel hebben die binnen één standaardafwijking van het gemiddelde ligt, dus tussen 43.92 − 5.46 en 43.92 + 5.46 mm. Welk percentage van de 342 is dat? Bij een hoop in de vorm van een klok (één bergje, dik in het midden) ligt daar volgens een vuistregel zo’n 68%. Klopt die hier, en waarom wel of niet? (een aantal, een percentage, en één zin over de vorm van de hoop in je plaatje)

f) Zoek de mediaan op. Ligt die boven of onder het gemiddelde? (één getal, en welke kant op)

g) Bij het gewicht lag de mediaan 4050 en het gemiddelde 4201.75. Trek bij allebei de variabelen de mediaan van het gemiddelde af. (twee getallen, en één zin over wat het teken je vertelt)

h) Is die 5.46 mm nou veel? Deel bij allebei de variabelen de standaardafwijking door haar eigen gemiddelde — waarom mag je díé twee wél naast elkaar leggen en de kale 5.46 mm en 801.95 g niet? (twee percentages, en één zin)

i) Reken het gemiddelde per soort uit. (drie getallen, met hun n)

j) Bij het gewicht lagen Adelie en Chinstrap dicht bij elkaar en hing Gentoo er ruim een kilo boven. Welke twee liggen hier bij elkaar? (twee soortnamen, en één zin)

k) Reken de standaardafwijking per soort uit en leg die drie naast de 5.46 van alle 342 samen. (drie getallen, en één zin over waar het verschil vandaan komt)

l) Geef een inhoudelijke conclusie in niet meer dan vijf zinnen. (over pinguïns en soorten — een getal mag, mits de eenheid erbij staat; meer antwoorden zijn goed)

Z) Mag je alles hierboven geloven? Loop na:

  • ontbreken er metingen, en zouden die je gemiddelde en spreiding verschuiven?
  • meet elke rij hetzelfde ding — dezelfde snavel, dezelfde eenheid?
  • beschrijft dat ene gemiddelde één hoop, of drie hopen door elkaar?

En dan de vraag die er altijd achteraan hoort: gaat er iets mis, welke antwoorden hierboven doe je dan over en welke mogen blijven staan?

a) M = 8.73 ‰, uitgerekend op 330 van de 342 pinguïns. Bij twaalf dieren ontbreekt de stikstofmeting (te weinig bloed, geen bloedmonster, of een uitslag die nooit terugkwam van het lab), en die twaalf kunnen niet meedoen. Zet het aantal er dus altijd bij: “gemiddeld 8.73” zonder n verzwijgt dat er twaalf pinguïns ontbreken. Of je programma bij zo’n gat weigert of stilletjes doorrekent, lees je in het kader Wat staat er aan? hierboven.

b) M = 43.92 mm en SD = 5.46 mm.

c) Het balanspunt van alle 342 snavels ligt op bijna 44 millimeter. En net als bij het gewicht woont daar niemand: op één decimaal afgerond heeft geen enkele pinguïn een snavel van 43.9 mm.

d) Een snavel ligt hier typisch zo’n 5.5 mm van dat balanspunt af — de gemiddelde afstand tot het midden, ruwweg.

e) 204 van de 342 pinguïns, oftewel 59.6%: een flink eind onder de 68%. De vuistregel geldt voor een klok, en de snavels zijn geen klok. In je plaatje zie je twee bulten: de Adelies met korte snavels, rond de 39 mm, en de Chinstraps en Gentoo’s met lange, rond de 48 mm. Het gemiddelde van 43.92 valt in het dunne stuk daartussen. Juist rond dat midden staan dus minder pinguïns dan bij een klok, en dan valt er ook minder binnen één standaardafwijking. Het is de vórm die de 68% breekt: twee bulten met een dun midden. De klokvorm zelf kom je verderop in het boek tegen.

f) De mediaan is 44.45 mm en ligt dus boven het gemiddelde.

g) Gewicht: 4201.75 − 4050 = +151.75 gram. Snavel: 43.92 − 44.45 = −0.53 mm. Het teken klapt om, en dat is het nieuws. Bij het gewicht trok de zware Gentoo-schouder het balanspunt naar rechts, boven de middelste pinguïn uit; bij de snavels leunt de hoop juist een pietsje de andere kant op. Dezelfde 342 dieren, twee variabelen, twee vormen.

h) Snavel: 5.46 / 43.92 = 12.4%. Gewicht: 801.95 / 4201.75 = 19.1%. Millimeters en grammen kun je niet naast elkaar leggen — 5.46 tegen 801.95 zegt alleen dat een gram kleiner is dan een millimeter groot. Deel je elke spreiding door haar eigen midden, dan valt de eenheid boven én onder de streep weg en houd je een kaal getal over dat je wél mag vergelijken. En dan blijkt het gewicht relatief ruim anderhalf keer zo wijd te spreiden als de snavel.

i) Adelie M = 38.79 (n = 151), Chinstrap M = 48.83 (n = 68), Gentoo M = 47.50 (n = 123).

j) Chinstrap en Gentoo liggen hier vlak bij elkaar, 48.83 tegen 47.50; Adelie staat apart, ruim negen millimeter eronder. Bij het gewicht was de indeling precies andersom — daar hoorden Adelie en Chinstrap bij elkaar en stond Gentoo alleen. Welke soorten “bij elkaar horen” hangt dus af van wát je meet, en niet van de soorten.

k) Adelie 2.66, Chinstrap 3.34, Gentoo 3.08 — alle drie ruim onder de 5.46 van de hele rots. Datzelfde zag je bij het gewicht gebeuren: binnen een soort is de spreiding klein, en wat je er overheen extra meet is niet meer individueel verschil maar het verschil tussen de soorten, vermomd als spreiding.

l) Meer antwoorden zijn goed; welke vijf zinnen je kiest is aan jou. Getallen mogen er in — het gaat erom dat er bij elk getal staat wat het meet, want “43.92” is niets en “43.92 millimeter snavel” is een pinguïn. Bijvoorbeeld: de 342 pinguïns hebben een snavel van gemiddeld bijna 44 millimeter, met een typische afwijking van zo’n vijf en een halve millimeter. Dat ene gemiddelde beschrijft geen enkele pinguïn, want er lopen drie soorten door elkaar: de Adelies hebben duidelijk kortere snavels dan de Chinstraps en de Gentoo’s, die onderling nauwelijks verschillen. Binnen een soort ligt de spreiding op ongeveer drie millimeter — ruim onder de vijf en een half van de hele rots. Wie de soort kent, weet dus al een heel eind hoe lang de snavel is.

Z) Ja — en let op waaróm, want het antwoord is hier anders dan je later gaat krijgen. In dit blok is niets getoetst en niets geschat: je hebt deze 342 pinguïns alleen beschreven. Er ligt dus bijna nergens een verdelingsaanname onder je antwoorden. De enige is de 68% bij e), en die zag je al onderuitgaan: die regel hoort bij een klok, en de snavels zijn er geen. Wat daar viel, is de verwachting van 68%; je telling van 204 blijft gewoon staan.

Wat hier wél kan omvallen, is de data zelf.

  • Blijft staan, als het aantal erbij staat: a). Dat gemiddelde gaat over 330 pinguïns, niet over 342. Kijk dan ook wáár de gaten zitten: tel ze per soort (in het kader bovenaan staat hoe). Tien van de twaalf zitten bij de Adelies, terwijl die soort nog geen helft van de rots is (151 van de 342). Het gemiddelde van de 330 leunt dus iets minder op Adelies dan dat van alle 342 had gedaan. Hoeveel dat scheelt, weet je niet: die twaalf metingen heb je nu eenmaal niet.
  • Blijft staan: d) tot en met k). Het zijn beschrijvingen van precies deze 342 dieren, en ze blijven kloppen zolang de metingen kloppen. Kwam er wél een rij bij of viel er een af, dan schuiven ze allemaal mee — niet omdat een aanname breekt, maar omdat je iets anders beschrijft.
  • Blijft staan met een slag om de arm: b), en daarmee ook c) en l). Het getal 43.92 is gewoon goed. Maar de zin “de gemiddelde pinguïn heeft een snavel van 43.9 mm” is misleidend, en de derde vraag hierboven is precies waarom: dat gemiddelde mengt drie soorten. Het getal beantwoordt een andere vraag dan die je dacht te stellen.

En dat is de gewoonte die dit blok je wil meegeven: kijk vóór je een gemiddelde voorleest eerst of het over één hoop gaat. Later, zodra er wél getoetst wordt, komt daar een tweede rijtje bij — de antwoorden die je moet overdoen.

rapportage

Schrijf het op als een onderzoeker

rapporteren · M en SD in één zin · cursivering

OpmerkingRapportage

Rapporteren klinkt als iets met dikke handboeken en angstzweet, maar het is een boodschappenlijstje in zinsvorm: wat heb je onderzocht, waar lag het, hoe verspreid — klaar. Kijk maar:

De 342 pinguïns in de steekproef wogen gemiddeld ruim vier kilo (M = 4201.75 g, SD = 801.95).

Dat is ’m. De hele rapportage — en de zin staat op eigen benen: wie er gewogen werden, wat er gemeten werd, en tussen haakjes de twee getallen. Bijna te flauw voor woorden, en precies dát is het fijne: zó simpel mag het zijn. Twee kleine afspraken sluipen er alvast in: alléén de symbolen M en SD zijn cursief — de gewone woorden blijven rechtop — en decimalen krijgen een punt (43.9, geen komma).

Jouw beurt: schrijf zelf zo’n zelfstandige zin voor de snavellengte (M = 43.92, SD = 5.46). Hardop voorlezen mag. Het went snel, beloofd.

tentamen

Tentamenvragen

wat een SD meet · gemiddelde tegen mediaan · relatieve spreiding · rapporteren met n

Hierboven stonden de open vragen; hier staan dezelfde onderwerpen nog een keer, in de vorm waarin een tentamen ze stelt. Zes stuks, vier opties, en precies één is de beste — de andere drie kunnen best waar zijn en toch niet het beste antwoord. Rekenen hoeft alleen bij vraag 1, en daar liggen de opties ver genoeg uit elkaar om te schatten; een precies getal heb je niet nodig.

OpmerkingTentamenvragen

1. “Binnen één standaardafwijking van het gemiddelde” betekent: tussen M − SD en M + SD. Het gemiddelde gewicht is M = 4201.75 gram en de standaardafwijking SD = 801.95 gram. Waar liggen die twee grenzen?

  1. 2597.85 en 5805.66 gram
  2. 2700 en 6300 gram
  3. 3399.80 en 5003.70 gram
  4. 3800.78 en 4602.73 gram

2. Op de rots staat geen enkele pinguïn die precies 4202 gram weegt. Welke verklaring daarvoor is de beste?

  1. Een gemiddelde valt bijna nooit precies op een gemeten waarde, dus dat is overal zo.
  2. De gewichten liggen rechts-scheef, en dan ligt het gemiddelde naast de bult.
  3. Het gemiddelde is het balanspunt van drie soorten die om een eigen midden wonen, en 4202 valt in het gat daartussen.
  4. De zwaarste pinguïn van 6300 gram tilt het gemiddelde weg bij de andere dieren.

3. Bij het gewicht ligt het gemiddelde op 4201.75 gram en de mediaan op 4050 gram. Welke uitspraak over die twee is de beste?

  1. Het gemiddelde ligt hoger omdat de zware Gentoo’s het balanspunt naar zich toe trekken; de mediaan telt alleen wie er halverwege de rij staat.
  2. De mediaan is hier de betere maat, want bij een gemengde hoop mag je het gemiddelde niet gebruiken.
  3. Het gemiddelde is hier de betere maat, want dat gebruikt alle 342 dieren en de mediaan gooit informatie weg.
  4. Dat de twee 151.75 gram uit elkaar liggen, wijst erop dat er meetfouten in de gewichten zitten.

4. Het gewicht spreidt met SD = 801.95 gram, de snavellengte met SD = 5.46 mm. Je wil weten welke van de twee relatief wijder spreidt. Welke berekening hoort bij die vraag?

  1. 801.95 − 5.46, het verschil tussen de twee standaardafwijkingen.
  2. 801.95 / 5.46, de ene standaardafwijking gedeeld door de andere.
  3. De twee gewoon naast elkaar leggen; het gewicht spreidt duidelijk wijder.
  4. Elke standaardafwijking delen door haar eigen gemiddelde, en die twee kale getallen naast elkaar leggen.

5. Van de 342 pinguïns hebben er 204 (59.6%) een snavel binnen één standaardafwijking van het gemiddelde. Bij een hoop in de vorm van een klok ligt daar volgens een vuistregel zo’n 68%. Waarom haalt deze hoop dat niet?

  1. 342 pinguïns is te weinig; bij meer dieren komt die 68% wel.
  2. De hoop heeft twee bulten met een dun midden, dus juist rond het gemiddelde staan er minder dieren dan bij een klok.
  3. Het gemiddelde ligt met 43.92 mm onder de mediaan van 44.45 mm, en zo’n verschil duwt de telling altijd onder de 68%.
  4. De vuistregel hoort bij de mediaan en niet bij het gemiddelde.

6. Het gemiddelde van stikstof is 8.73 ‰, en bij twaalf van de 342 pinguïns ontbreekt die meting. Welke rapportage is de beste?

  1. M = 8.73 ‰ (n = 342) — zoveel pinguïns staan er in het bestand.
  2. Dit gemiddelde mag je niet rapporteren, want met ontbrekende metingen geeft R NA in plaats van een getal.
  3. M = 8.73 ‰ (n = 330) — met twaalf ontbrekende metingen rekende je over 330 dieren.
  4. Zet de twaalf gaten op nul, dan reken je over alle 342 en verzwijg je niets.

1 c · 2 c · 3 a · 4 d · 5 b · 6 c

Hieronder staat per vraag waaróm, en waarom de drie andere opties aantrekkelijk zijn. Heb je er een goed, dan kun je die overslaan.

1. c. Eén keer de SD eraf en één keer erbij: 3399.80 en 5003.70 gram. Daartussen woont het doodgewone midden van de rots — een pinguïn van 5000 gram valt er nog nét binnen. a rekent met twee standaardafwijkingen in plaats van één. b zijn de lichtste en de zwaarste pinguïn; dat is het bereik, en dat hangt aan twee dieren. d halveert de SD en verdeelt hem over de twee kanten, alsof “binnen één SD” betekent dat de hele band één SD breed is — hij is er twee.

2. c. Twee soorten wonen rond de 3700 gram en één rond de 5076, en 4202 valt in het gat waar bijna niemand woont. a is waar en beantwoordt de vraag niet: dát een gemiddelde zelden precies voorkomt, geldt overal, maar hier is het erger dan dat — het getal ligt niet net naast de dieren, het ligt ertussenin. Dat is het verschil tussen toevallig en systematisch, en een tentamen vraagt naar dat verschil. b noemt de vorm en niet de oorzaak. Dát de hoop naar rechts leunt, zegt dit blok zelf — maar dat verklaart waarom het gemiddelde hóger ligt dan de mediaan, en niet waarom er in dat midden niemand woont. Die twee lopen makkelijk door elkaar: scheefheid schuift het gemiddelde óp, de soortmenging legt het in een gat. d maakt er één dier van waar het een hele groep is — haal die 6300 weg en het gemiddelde schuift een paar gram; haal de Gentoo’s weg en het schuift honderden grammen.

3. a. De mediaan telt plaatsen in de rij, het gemiddelde weegt afstanden mee, en de zware Gentoo-schouder trekt dus alleen aan het gemiddelde. b kiest hetzelfde midden om een verbod dat niet bestaat: een gemiddelde mág bij een gemengde hoop, het beantwoordt alleen een andere vraag — wil je weten hoeveel deze 342 dieren samen wegen, dan is het gemiddelde juist precies goed. c klopt in wat het beweert (het gemiddelde gebruikt echt alle 342) en trekt de verkeerde conclusie; “meer dieren meegenomen” is niet hetzelfde als “beter midden”. d verzint een oorzaak die er niet is: de twee middens lopen uiteen omdát de hoop scheef hangt of uit stukken bestaat, niet omdat er slecht gewogen is.

4. d. Deel je elke spreiding door haar eigen gemiddelde, dan valt de eenheid boven én onder de streep weg en houd je twee kale getallen over: 12.4% voor de snavel en 19.1% voor het gewicht. Díé mag je vergelijken. a trekt grammen van millimeters af, en dan is de uitkomst geen van beide. b is de verleidelijkste, want een verhouding voelt al eenheidsloos — maar boven de streep staan grammen en eronder millimeters, en die strepen elkaar niet weg. c trekt de conclusie waar de vraag juist tegen waarschuwt: 801.95 is alleen een groter getal, niet een wijdere spreiding.

5. b. In je histogram staan twee bulten — de Adelies rond de 39 mm, de Chinstraps en Gentoo’s rond de 48 — met het gemiddelde van 43.92 in het dunne stuk ertussen. Juist rond dat midden staan dus minder dieren dan bij een klok, en dan valt er ook minder binnen één standaardafwijking. Het is de vorm die de vuistregel breekt. a wijst naar de steekproefgrootte, en dat is precies wat hier niet meespeelt: de vuistregel hangt aan de vorm van de hoop, niet aan hoeveel dieren erin zitten. c bouwt op twee kloppende getallen een oorzaak die er niet is. Dat de twee middens uit elkaar liggen is inderdaad een sein dát de hoop geen klok is — bij g) heet dat “het nieuws”, en dat is het ook. Maar dat sein zit in de richting, niet in de maat: 0.53 mm op een spreiding van 5.46 mm is te klein om te vertellen wélke kant de telling op gaat, laat staan “altijd”. d verhuist de regel naar de mediaan; de vuistregel is met het gemiddelde en de standaardafwijking geschreven.

6. c. Het aantal hoort erbij, en het aantal is 330. “Gemiddeld 8.73” zonder n verzwijgt dat er twaalf pinguïns ontbreken. a noemt het aantal rijen van het bestand in plaats van het aantal dieren waarmee gerekend is, en dat zijn hier twee verschillende getallen — dat is de hele val van een kolom met gaten. b verwart wat R doet met wat jij mag: mean() staat standaard op na.rm = FALSE en geeft dan NA, maar zet je die knop om, dan krijg je een volstrekt rapporteerbaar gemiddelde over de dieren die er wél zijn. d is de gevaarlijkste van de drie, want hij ziet eruit als eerlijkheid: nul is geen ontbrekende meting maar een gemeten nul, en twaalf nullen erbij trekken het gemiddelde omlaag naar een getal dat geen enkele pinguïn beschrijft.

Wil je de getallen uit vraag 1 zelf zien ontstaan — geen ervan is overgetikt, en alle vier de opties bestaan echt als rekenfout:

peng <- read.csv("penguins.csv")

# vraag 1 — de twee grenzen, met de getallen zoals de vraag ze geeft → 3399.80  5003.70
round(4201.75 + c(-1, 1) * 801.95, 2)

# vraag 1 — en uit de hele data, dus vóór het afronden → 3399.80  5003.71
round(mean(peng$gewicht) + c(-1, 1) * sd(peng$gewicht), 2)

# vraag 1 — afleider a: twee standaardafwijkingen → 2597.85  5805.66
round(mean(peng$gewicht) + c(-2, 2) * sd(peng$gewicht), 2)

# vraag 1 — afleider b: de lichtste en de zwaarste, dus het bereik → 2700  6300
range(peng$gewicht)

# vraag 1 — afleider d: de halve SD, over twee kanten verdeeld → 3800.78  4602.73
round(mean(peng$gewicht) + c(-0.5, 0.5) * sd(peng$gewicht), 2)

◠ Zelfde vorm in het boek

Hier: één getal voor het midden, één voor de ruimte eromheen — en de ontdekking dat er in dat midden bijna niemand woont.

In het boek: W1 — Gemiddelde en spreiding

Daar heet dit hoofdstuk “De gemiddelde slok” — en proef je waarom sommige dingen zich laten middelen en andere niet.

Voetnoten

  1. Palmer Penguins — Gorman, Williams & Fraser (2014), Palmer Station Antarctica LTER; via het R-pakket palmerpenguins (CC0). Alle getallen in dit blok zijn op die échte data nagerekend.↩︎