Tweede beweging · Verschillen koppelen

Oefening 3.2 · Enkelvoudige regressie

Eén continue voorspeller, één rechte lijn, en wat de richting kost · simple linear regression

Data bij deze oefening — penguins.csv 342 pinguïns · diamantjes.csv de twaalf steentjes uit het boek · wat elke kolom betekent

prikkel

Vijftig gram, of een honderdste millimeter?

helling · eenheden · richting van de vraag

Dezelfde 342 pinguïns als in de vorige oefening, dezelfde twee kolommen: vinlengte in millimeters, gewicht in grammen. En nu twee getallen, allebei netjes uitgerekend, allebei op dezelfde data.

Vraag je hoe het gewicht meeloopt met de vinlengte, dan komt eruit: 49.69 gram per millimeter. Een pinguïn met een millimeter meer vin weegt bijna vijftig gram meer.

Vraag je het andersom — hoe de vinlengte meeloopt met het gewicht — dan komt eruit: 0.01528 millimeter per gram.

Twee getallen over hetzelfde stel beesten. En als ze hetzelfde zeiden, dan zou het ene het andere ondersteboven moeten zijn. Doe het even met ronde getallen: vijftig gram per millimeter is precies hetzelfde bericht als een vijftigste millimeter per gram, oftewel 0.02. Heen delen door, terug delen door — dezelfde verhouding, andere kant op gelezen.

Reken het dan maar na met de echte getallen: 1 / 0.01528 komt uit op 65.45.

En 65.45 is niet 49.69. Er zit ruim vijftien gram per millimeter tussen, en dat gat is er niet in geslopen — het staat er omdat er onderweg iets besloten is. Bij de correlatie van de vorige oefening had je dat kunnen omdraaien zonder dat er iets gebeurde: de samenhang tussen snavellengte en snaveldiepte is hetzelfde getal, welke van de twee je ook vooropzet.

Hier niet. Trek even mee: we gaan uitzoeken wát er besloten wordt, wie het besluit neemt, en wat het kost.

speel het

Trek de lijn in SPSS

regressielijn · intercept · helling · voorspelde waarde

Een lijn door een wolk — je hebt hem in de vorige oefening al zien liggen. Nu ga je hem lézen. Ben stelt daarvoor in de les een vraag die het meteen klein maakt: als je aan iemand die het plaatje niet ziet moet vertellen hoe dat lijntje loopt, hoeveel dingen moet je dan zeggen? Twee. Waar hij begint, en hoe schuin hij is. Meer heeft een rechte lijn niet.

Die twee hebben een naam. Het intercept (b₀) is waar de lijn de verticale as snijdt. De helling (b₁) is hoeveel de uitkomst verandert als de voorspeller één eenheid opschuift. In SPSS staan ze onder elkaar in de tabel Coefficients, in de kolom B: eerst de rij (Constant), dan de rij met de naam van je voorspeller.

Eerst zoals in het boek — de twaalf diamantjes

Open diamantjes.csv.
Analyze → Regression → Linear.
Sleep glans naar Dependent en karaat naar Independent(s). OK.

REGRESSION
  /STATISTICS COEFF R ANOVA
  /DEPENDENT glans
  /METHOD=ENTER karaat.

In Coefficients lees je in de kolom B: (Constant) −1.43 en karaat 32.14. In Model Summary staat R Square = .334 en Std. Error of the Estimate = 18.61.

En kijk nu meteen naar wat SPSS je daar liet doen. Je hebt glans in een vak gesleept dat Dependent heet, en karaat in een vak dat Independent heet. Dat waren twee verschillende vakken, en je moest kiezen. Die keuze is geen opmaak — hij ís waar deze oefening over gaat.

De lijn leest dus: glans = −1.43 + 32.14 × karaat. Een steentje van één karaat zwaarder glanst ruim tweeëndertig punten meer.

Nu jij — bij de pinguïns, die je uit de vorige oefening al kent. Bekende beesten, nieuwe vraag: als je van een pinguïn alleen de vin kunt meten, wat gok je dan voor zijn gewicht?

In SPSS · trek eraan

Open penguins.csv: File → Open → Data, bestandstype op CSV.
Analyze → Regression → Linear.
gewicht naar Dependent, vinlengte naar Independent(s). OK.
Voor de wolk met de lijn erin: Graphs → Chart Builder → Scatter/Dot → Simple Scatter, en dubbelklik daarna in de output op het plaatje → Add Fit Line at Total.

REGRESSION
  /STATISTICS COEFF R ANOVA CI(95)
  /DEPENDENT gewicht
  /METHOD=ENTER vinlengte.

Daar staat hij: gewicht = −5780.83 + 49.69 × vinlengte. Elke millimeter vin erbij is bijna vijftig gram erbij, en R² = .76 zegt dat driekwart van het verschil in gewicht langs de vinlengte loopt. Dat is voor levende dieren veel. De Std. Error of the Estimate van 394.28 gram is hoe ver de lijn er gemiddeld naast zit.

En nu kun je iets wat je in de vorige oefening niet kon: een getal geven aan een pinguïn die je niet gewogen hebt. Vul een vinlengte in en de lijn spuugt een gewicht uit. Met de hand, want dit is optellen en vermenigvuldigen:

−5780.83 + 49.69 × 200 = 4157.17 gram

Reken je met de onafgeronde getallen die SPSS intern gebruikt, dan komt er 4156.28 uit — 0.89 gram verschil, en dat verschil is het afronden zelf. Onthoud dat, want straks doet afronden iets veel ergers.

Ben noemt dat in de les een machientje, een fabriek: er komt iets in, de fabriek vermenigvuldigt het met de helling, telt het intercept erbij op, en spuugt het uit. En let op waar je begint — je begint bij de vinlengte, en het gewicht rolt eruit. Niet andersom.

Doe het nu expres verkeerd

Want dat is de zet van deze oefening. Draai de twee variabelen om — sleep ze letterlijk in elkaars vak — en kijk wat er gebeurt.

In SPSS · verwissel de twee vakken

Zelfde analyse, maar nu vinlengte naar Dependent en gewicht naar Independent(s).
Lees Coefficients opnieuw, en Model Summary erbij.

REGRESSION
  /STATISTICS COEFF R ANOVA
  /DEPENDENT vinlengte
  /METHOD=ENTER gewicht.

Er staat nu (Constant) 136.73 en gewicht .01528. Reken die helling ondersteboven — 1 / 0.01528 — en je krijgt 65.45. Niet 49.69.

En let meteen op iets aan dat schermgetal. SPSS drukt de helling af als .01528, zonder nul ervoor. Die nul hoort daar wél te staan: een helling kan voorbij de 1 komen, en dan zegt die nul iets. SPSS laat hem overal weg, ook waar het fout is. Schrijf hem dus zelf terug: 0.01528. Verderop bij de rapportage staat waarom dat bij R Square niet hoeft en hier wel.

Kijk tegelijk naar Model Summary: R Square is nog steeds .759, tot op de laatste decimaal. En vraag je via Analyze → Correlate → Bivariate de correlatie op, dan is die beide kanten op r = .87.

Die drie regels spreken elkaar schijnbaar tegen. De correlatie is beide kanten op hetzelfde getal. R Square is beide kanten op hetzelfde getal. En de lijn is het niet.

Doe hetzelfde op de diamantjes en het gebeurt weer: met karaat als Dependent komt er een helling van 0.01038 karaat per glanspunt uit — de nul er weer zelf bij — en één gedeeld door dat getal is ruim 96 — terwijl de lijn van glans op karaat 32.14 zei. Geen toeval dus, en geen eigenaardigheid van pinguïns.

schud het

Is die 49.69 echt, of kan toeval hem namaken?

schudden · loskoppelen · duizend werelden rond nul

Voor we uitzoeken wát er besloten is, eerst de vraag die altijd eerst komt: is die helling er wel? Bijna vijftig gram per millimeter klinkt als veel, maar een getal klinkt nergens naar tot je weet hoe groot een gewone wiebel is.

Dus schudden we. Je laat de vinlengtes staan waar ze staan en hutselt de gewichten erlangs — het gewicht van de ene pinguïn verhuist naar de vin van een andere.

Dat husselen is de hele truc, en het loont om er even bij stil te staan: je koppelt het gewicht los van zijn eigen vin. Je haalt met eigen handen weg dat een bepaalde vinlengte en een bepaald gewicht bij hetzelfde dier hoorden. In zo’n losgekoppelde wereld kán er geen echte helling meer zijn — en dus is elke helling die je er dan tóch nog in meet, per definitie puur toeval.

En hier moet ik eerlijk zijn: dat husselen is geen knop in SPSS. SPSS rekent één keurige uitkomst uit; duizend keer opnieuw hutselen en kijken is werk voor code. Maar voor déze zet hoef je nergens heen — het schud-speeltje van de vorige oefening doet precies wat hier nodig is:

▶ Zie het dansen: het schud-speeltje

Waarom het correlatie-speeltje hier de helling schudt

Dat speeltje schudt de correlatie, niet de helling — en dat mag, want onder schudden zijn het hetzelfde. Husselen verandert niets aan de spreiding van de vinlengtes en niets aan die van de gewichten; alleen wie bij wie hoort verandert. Omdat b₁ = r · S_y/S_x, en die breuk dus vastligt, is de dans van de helling exact de dans van r — alleen met een andere maatverdeling op de as. Nagerekend over duizend geschudde werelden: het verschil tussen beide is 3 × 10⁻¹⁴, oftewel machineruis.

Wat je ziet: duizend werelden die dansen rond nul. Rond nul, want in elke geschudde wereld is de band tussen vin en gewicht doorgeknipt, en een lijn door een wolk zonder samenhang ligt plat. Toch landt hij nooit precies op nul: negentig procent van de losgekoppelde werelden ligt tussen −5.21 en 4.95 gram per millimeter, en de wildste haalde 10.90. En dan de echte helling van 49.69 — ruim vier keer voorbij de wildste. Geen enkele van de duizend kwam in de buurt. Dat is geen p-waarde die je moet geloven, maar een afstand die je zíet.

En er is nog een tweede vraag, die je alleen in dit blok kunt stellen: wat doen die twee lijnen in een geschudde wereld — komen ze dichter bij elkaar, of gaan ze verder uit elkaar? Wie dat zelf wil narekenen slaat het R-broertje open bij deze oefening; daar is het vijf regels code. De uitkomst: bij de echte pinguïns schelen de twee lijnen een factor 1.32, in een geschudde wereld doorgaans 735. Knip het verband door en de twee lijnen staan bijna haaks op elkaar; laat het verband intact en ze kruipen naar elkaar toe. Hoe verder ze uit elkaar liggen, hoe minder de een over de ander te zeggen heeft — en dat is geen beeldspraak, zoals je zo ziet.

snap het

Wie voorspelt wie

afhankelijke variabele · onafhankelijke variabele · lege adres · centreren

Nu de namen, en pas nu — je hebt het verschijnsel al in je handen gehad. Sterker nog: SPSS heeft je de vraag letterlijk gesteld, en jij hebt hem beantwoord met je muis.

De variabele die je invult heet de onafhankelijke variabele, ook wel de voorspeller; in SPSS is dat het vak Independent(s). De variabele die eruit rolt heet de afhankelijke variabele, ook wel de uitkomst; dat vak heet in SPSS dan ook gewoon Dependent. Ben zegt erbij: x is het begin — zie dat als oorzaak, ook al mag je dat nooit zo noemen — en y is het gevolg. Die twee halve zinnen horen bij elkaar. De pijl zit in je hoofd en in je vraag, niet in de data.

Want dat is wat de omdraai-proef liet zien. De correlatie kon je omdraaien zonder dat er iets veranderde: r = .87 heen, r = .87 terug. Die maat is symmetrisch — hij kent geen richting, dus hij dwingt je ook nergens toe. Een regressielijn is dat niet. Door gewicht in het Dependent-vak te slepen heb je gezegd: de vinlengte weet ik, het gewicht wil ik weten. Sleep je ze andersom, dan stel je een andere vraag, en een andere vraag geeft een ander antwoord.

En dan de vraag die vanzelf komt: welke van de twee lijnen is nou de goeie? Geen van beide, en allebei. Wil je het gewicht schatten van een pinguïn waarvan je de vin gemeten hebt, dan is 49.69 de goeie. Wil je de vin schatten van een pinguïn die op de weegschaal staat, dan is 0.01528 de goeie. Er is geen derde lijn die “het echte verband” is en waar deze twee benaderingen van zijn.

De twee hellingen weten samen precies hoe goed de lijn is

En nu iets wat je zelf kunt doen, met twee getallen die al op deze bladzij staan. Je hebt de helling heen (49.69) en de helling terug (0.01528). Vermenigvuldig ze met elkaar: 49.69 × 0.01528 = 0.759, oftewel .76.

Dat is R². Niet ongeveer — dat is ’m.

Doe het nog twee keer, op de andere modellen die je nu hebt liggen:

lijn	helling heen	helling terug	die twee maal elkaar	R²
gewicht op vinlengte	49.69	0.01528	.76	.76
glans op karaat	32.14	0.01038	.33	.33
snaveldiepte op snavellengte	−0.0850	−0.6498	.06	.06

Drie keer raak. En het is geen toeval: het volgt uit de brug die het boek in dit hoofdstuk legt. Heen is de helling r · S_y/S_x, terug is r · S_x/S_y — dezelfde r, en de twee spreidingen precies omgekeerd. Vermenigvuldig ze en de spreidingen vallen tegen elkaar weg. Er blijft r × r over, en dat is R².

En daarmee weet je ook waaróm die twee lijnen uit elkaar liggen zoals ze doen. Deel de omgekeerde helling door de heen-helling — 65.45 gedeeld door 49.69 — en je krijgt 1.32. Bij de diamantjes komt daar 3.00 uit, bij de snavels 18.10. Dat is telkens één gedeeld door R²: hoe kleiner het deel dat de lijn dekt, hoe verder de twee richtingen uiteen gaan liggen.

Daar zit de eigenlijke les van dit blok in. Hoe sterker het verband, hoe minder je keuze uitmaakt. Bij de pinguïns dekt de lijn driekwart van het verschil, en dan schelen de twee richtingen maar een derde. Bij de snavels dekt hij ruim vijf procent, en dan schelen ze een factor achttien. Zou R² ooit precies 1 zijn, dan vallen de twee lijnen samen en is er niets meer te kiezen — maar dan liggen alle punten ook exact op één lijn en heb je geen statistiek meer nodig. Kiezen moet je juist dáár waar het rommelig is.

Die laatste stap haal je uit de hellingen, niet uit de tabel

Probeer 1 / R² maar eens met de getallen uit de tabel hierboven, en kijk wat er gebeurt. Neem de snavels: daar staat R² = .06, en één gedeeld door .06 is 16.67 — terwijl er 18.10 hoort te staan. Bijna anderhalf ernaast. Bij de diamantjes gaat hetzelfde mis, kleiner: 1 / .33 is 3.03 en niet 3.00.

Het afgeronde getal is te grof om de déling nog te dragen. Bij de vermenigvuldiging gebeurt dat niet — 32.14 × 0.01038 geeft gewoon .33, en −0.0850 × −0.6498 geeft .06. Vandaar dat dit blok de proef op de vermenigvuldiging legt en niet op de deling: een gelijkheid die alleen overeind blijft bij ongeronde getallen, is er een die je in een oefening niet moet opgeven.

Dat is dezelfde scheefte als die 0.89 gram van daarnet, maar dan een stuk duurder. Wil je 18.10 zelf zien, deel dan de hellingen (1 / −0.6498 gedeeld door −0.0850) en niet de R².

Het lege adres

Kijk nog eens naar de rij (Constant) van de pinguïnlijn: −5780.83. Neem dat letterlijk. Een pinguïn met een vin van nul millimeter weegt volgens deze lijn min 5.8 kilo.

Dat is geen rekenfout en geen slechte lijn. Het is een adres waar niemand woont — en hier zelfs een adres dat niet kán bestaan. De kortste vin in dit bestand is 172 millimeter, de langste 231. Nul ligt honderdzeventig millimeter buiten alles wat er ooit gemeten is; de lijn is daar netjes doorgetrokken, maar niemand heeft er ooit gekeken.

Ben zegt daarover: het intercept is altijd te interpreteren als de voorspelling voor iemand die nul scoort op de voorspeller. Dat is altijd waar. Alleen de vraag is: wat betekent die nul? Hier betekent nul: een pinguïn zonder vin. Dus is het intercept waar én waardeloos, tegelijk.

Er is één handeling die dat repareert, en meer dan een aftreksom is het niet. Centreren: trek van elke vinlengte het gemiddelde af, zodat nul niet meer “geen vin” betekent maar “een gemiddelde vin”.

In SPSS · centreer de voorspeller

Vraag eerst het gemiddelde op: Analyze → Descriptive Statistics → Descriptives, vinlengte erin. Er staat 200.92.
Transform → Compute Variable. Doelvariabele vin_gecentreerd, uitdrukking vinlengte - 200.92. OK.
Draai de regressie opnieuw, met gewicht als Dependent en vin_gecentreerd als Independent.

DESCRIPTIVES VARIABLES=vinlengte
  /STATISTICS=MEAN.

COMPUTE vin_gecentreerd = vinlengte - 200.92.
EXECUTE.

REGRESSION
  /STATISTICS COEFF R ANOVA
  /DEPENDENT gewicht
  /METHOD=ENTER vin_gecentreerd.

Kijk wat daar gebeurt. Het intercept is nu 4201.75, en dat is tot op de cent het gemiddelde gewicht van alle 342 pinguïns — vraag het maar na met Descriptives.

Dat is geen gelukje. Een regressielijn gaat altijd door één vast punt: het kruispunt van de twee gemiddelden — gemiddelde vin, gemiddeld gewicht. Verschuif je de nul naar de gemiddelde vin, dan schuift dat kruispunt precies op de verticale as, en dus lees je daar het gemiddelde gewicht af. Gemiddelde erin, gemiddelde eruit.

Het adres is bewoond geraakt: waar eerst een onmogelijk dier stond, staat nu de doorsnee-pinguïn. De helling is niet bewogen (nog steeds 49.69), R Square is niet bewogen (nog steeds .759), geen enkele voorspelling is bewogen — je hebt alleen de nul verschoven naar een plek waar iemand woont.

Dat is alles wat centreren doet, en in dit boek kom je het nog twee keer tegen: bij de meervoudige regressie als handeling, en bij de interactie als vaste gewoonte. Hier is het genoeg om het één keer te hebben zien gebeuren.

Eén woord, en zo meteen twee betekenissen

Nog even dit, want je loopt er in de volgende oefening tegenaan. Je hebt hier geleerd dat de voorspeller de onafhankelijke variabele heet. In de oefening hierna staat dat de residuen onafhankelijk moeten zijn — en dat is iets heel anders. Daar gaat het niet over een variabele maar over je rijen: geeft elke regel in je tabel informatie die niet al ergens anders staat, of meet je dezelfde persoon of dezelfde plek twee keer?

Hetzelfde woord, twee betekenissen, twee oefeningen uit elkaar. Zet het hier vast, dan hoef je straks niet te twijfelen.

En dan het stuk dat deze lijn nog schuldig is. Je hebt hem getrokken, gelezen en omgedraaid — maar je hebt nog nergens gekeken hoe ver hij er per pinguïn naast zit, en of hij er overal even ver naast zit. Dat is de volgende oefening.

jouw beurt

De snavels, en hoeveel de keuze daar uitmaakt

omdraai-proef · uiteenval · eenheden benoemen

Terug naar de snavels uit de vorige oefening. Bekende data, nieuwe vraag: daar bekeek je de sámenhang, nu ga je een van de twee voorspellen uit de andere. En je weet al iets wat je scherp houdt: dat min-teken tussen snavellengte en snaveldiepte was een soorteffect. Dat blijft zo; we gebruiken deze twee hier omdat het verband zwák is, en juist bij een zwak verband is te zien wat kiezen kost.

In SPSS · de twee lijnen

Je draait Analyze → Regression → Linear twee keer en houdt allebei de uitvoer bij de hand.

De heen-lijn: snaveldiepte naar Dependent, snavellengte naar Independent(s). OK.
De terug-lijn: dezelfde twee, maar verwisseld.

REGRESSION
  /STATISTICS COEFF R ANOVA
  /DEPENDENT snaveldiepte
  /METHOD=ENTER snavellengte.

REGRESSION
  /STATISTICS COEFF R ANOVA
  /DEPENDENT snavellengte
  /METHOD=ENTER snaveldiepte.

Jouw beurt

Beantwoord de vragen op volgorde; ze bouwen op elkaar. De laatste heet met opzet Z) en niet l): de aannames staan altijd achteraan.

a) Lees de heen-lijn af. (rapporteer b₀ en b₁, en zet achter de helling zijn eenheid)

b) Zeg hardop wat die helling betekent. (één zin, over snavels en met de eenheid erin)

c) Lees nu de terug-lijn af. (rapporteer b₀ en b₁, weer mét eenheid)

d) Als die twee hetzelfde zeiden, zou de een de ander ondersteboven moeten zijn. Reken 1 gedeeld door de helling van de terug-lijn uit en leg het naast de helling van de heen-lijn. (twee getallen, en zeg of ze gelijk zijn)

e) Doe nu de proef met de vermenigvuldiging: de twee hellingen maal elkaar. (één getal, en zeg welke bekende maat dat is)

f) Vraag van allebei de modellen de R² op, en ook de gewone correlatie — die laatste via Analyze → Correlate → Bivariate, met snavellengte en snaveldiepte erin. (drie getallen, en zeg welke van de drie verandert als je de richting omdraait)

g) Reken de uiteenval uit — 1 gedeeld door de helling terug, gedeeld door de helling heen — en leg hem daarna naast 1 gedeeld door de R². Bij vin en gewicht was de uiteenval 1.32. (twee getallen)

h) Formuleer in één zin waarom het bij de snavels zoveel meer uitmaakt welke van de twee je vooropzet. (één zin, met het woord R² erin)

i) Het lege adres. Neem het intercept van de heen-lijn letterlijk: wat belooft die lijn voor een pinguïn met een snavel van nul millimeter lang? (één getal, en één zin waarom dat adres hier leegstaat)

j) Centreer de snavellengte: Transform → Compute Variable met snavellengte - 43.92 — 43.92 is de gemiddelde snavellengte, dus je legt de nul op de doorsnee-snavel — en draai de heen-lijn daarmee opnieuw. Kijk wat het intercept wordt en vraag daarna met Descriptives het gemiddelde van snaveldiepte op. (twee getallen, en één zin over wat je herkent — en zeg erbij wat er niet veranderd is)

k) De denk-vraag. Stel dat je van een dataset weet dat R² = 1: alle punten liggen precies op één lijn. Wat gebeurt er dan met de omdraai-proef, en wat zegt dat over wanneer de keuze tussen voorspeller en uitkomst er wél toe doet? (twee of drie zinnen)

Z) Mag je alles hierboven geloven? Deze lijn is getrokken door één wolk, en je weet uit de vorige oefening dat er drie soorten in die wolk zitten. Trek de lijn daarom ook eens binnen elke soort apart, en kijk naar het teken. (drie hellingen, en zeg welke van je antwoorden hierboven blijven staan en welke je overdoet)

Antwoord — open na je eigen poging

a) b₀ = 20.89 en b₁ = −0.0850 millimeter diepte per millimeter lengte. De lijn leest: snaveldiepte = 20.89 − 0.0850 × snavellengte.

b) Elke millimeter langere snavel gaat samen met 0.0850 millimeter minder snaveldiepte. Een snavel die een centimeter langer is, is dus bijna een millimeter ondieper — als je alle 342 pinguïns op één hoop gooit.

c) b₀ = 55.07 en b₁ = −0.6498 millimeter lengte per millimeter diepte. Die lijn leest: snavellengte = 55.07 − 0.6498 × snaveldiepte.

d) 1 / −0.6498 = −1.5389, en de helling heen is −0.0850. Dat scheelt een factor achttien; ze zijn dus bepaald niet elkaars omgekeerde. Precies zoals bij vin en gewicht in de prikkel, maar hier veel erger.

e) −0.0850 × −0.6498 = .06, en dat is de R² van dit model. Twee hellingen die je met elkaar vermenigvuldigt geven de verklaarde variantie — hetzelfde wat je hierboven bij de pinguïns en de diamantjes zag.

f) R² = .06 heen, R² = .06 terug, en r = −.24. Geen van drieën verandert als je de richting omdraait. Alleen de lijn verandert; alles wat symmetrisch is blijft staan. Dat is de hele spanning van dit blok in één regel.

Eén ding om niet van te schrikken: bij Model Summary staat R = .235, zónder minteken. Die R is een wortel en dus altijd positief — hij zegt hoe sterk, niet welke kant op. Het teken staat in de Correlations-tabel: −.235. Zelfde grootte, richting erbij.

g) Je twee getallen: via de hellingen komt de uiteenval uit op 18.10, en 1 gedeeld door de R² van je scherm op 18.18. Die twee horen gelijk te zijn, en ze zijn het niet.

De hellingen-route klopt. Tik in wat je bij d) opschreef — −1.5389 gedeeld door −0.0850 — en er staat 18.10. Dat is het goede getal, en het blijft goed als je scherm je minder cijfers geeft: ook −0.650 en −0.085 komen op 18.10 uit. (Liet je het tussengetal onafgerond staan, dan zie je 18.11 — ook goed, hetzelfde getal met een cijfer meer.)

De R²-route klopt niet, en dat ligt niet aan jou. Daar breekt het afronden wél door. Bij Model Summary staat R Square als .055, en 1 / .055 is 18.18; met de twee decimalen uit de tekst is 1 / .06 zelfs 16.67 — bijna anderhalf ernaast.

Het verschil zit hem erin dat de R² een klein getal is. Een cijfertje meer of minder achter .055 telt verhoudingsgewijs veel zwaarder dan achter 0.650, en je deelt er ook nog eens dóór. Dat is de val waar het terzijde bij Wie voorspelt wie voor waarschuwt. Haal dit getal uit de kolom B en niet uit de afgeronde R².

h) Bijvoorbeeld: bij de snavels dekt de lijn maar .06 van de verschillen, en hoe kleiner de R², hoe verder de twee richtingen uit elkaar komen te liggen — dus hoe zwaarder je keuze weegt welke variabele je voorspelt uit welke.

i) 20.89 millimeter diep. Een pinguïn met een snavel van nul millimeter lang heeft volgens deze lijn een snavel van bijna 21 millimeter diep — een snavel die geen lengte heeft maar wel diepte. Dat adres staat leeg: de kortste snavel in het bestand is 32.1 mm, dus nul ligt ruim dertig millimeter buiten alles wat er ooit gemeten is.

j) Het gecentreerde intercept is 17.15, en de gemiddelde snaveldiepte is óók 17.15. Dat is geen gelukje: de lijn gaat door het kruispunt van de twee gemiddelden, en door de nul naar de gemiddelde snavellengte te schuiven leg je dat kruispunt precies op de verticale as. Gemiddelde erin, gemiddelde eruit.

En let op wat er niet veranderde: de helling staat nog op −0.0850 en de R² nog op .06. Centreren verschuift alleen de nul; het model blijft hetzelfde model.

k) Bij R² = 1 liggen alle punten exact op één lijn, en dan vallen de twee lijnen samen — de uiteenval is 1 / 1 = 1. Er valt dan niets meer te kiezen: heen en terug zijn dezelfde lijn, ondersteboven gelezen. Maar dan heb je ook geen statistiek meer nodig, want er is geen rommel om doorheen te schatten. Kiezen moet je juist dáár waar het rommelig is — en hoe rommeliger, hoe zwaarder die keuze weegt.

Z) Nee, niet zonder erbij te zeggen over wie het gaat. Trek de lijn binnen elke soort en het teken klapt om:

Draai de heen-lijn drie keer, en kies er telkens met Data → Select Cases → If één soort bij: soort = "Adelie", en zo verder. Er komt uit: Adelie 0.1788 · Chinstrap 0.2222 · Gentoo 0.2048. Zet Select Cases daarna weer op All cases — anders rekent alles hierna over één soort.

Alle drie positief, waar de lijn over alle 342 heen −0.0850 zei. Dit is dezelfde omklap die je in de vorige oefening bij de kale correlatie zag, maar nu bij een complete regressielijn. Wat dat betekent voor je antwoorden:

Blijft staan: alles wat rekenwerk op deze 342 dieren is — de twee hellingen bij a) en c), de omgekeerde bij d), de vermenigvuldigingsproef bij e), de drie maten bij f), de uiteenval bij g), het lege adres bij i), het centreren bij j) en de denkvraag bij k). Die klopt of de wolk nu een mengsel is of niet, en ook
1. hoort hier: “hoe kleiner de R², hoe zwaarder je keuze weegt” is een uitspraak over lijnen, niet over pinguïns.
Doe je over: precies één ding, en dat is elke zin waarin je iets over pinguïns beweert. Hier is dat b). “Een langere snavel is een ondiepere snavel” is over geen enkele soort waar; het is een verschil tússen de soorten dat zich als een lijn vermomt. Schrijf het dus zo op dat de soort erbij staat — precies de tweeledige zin die je in de vorige oefening leerde.

Dat is een geruststellender lijstje dan het lijkt: van je elf antwoorden gaat er één op de schop, en het is niet een getal maar een zin.

En er staat nog iets open dat je hier niet kúnt zien. Of deze lijn er overal even ver naast zit, lees je niet af aan b₀, b₁ of R² — daar heb je de residuen voor nodig, en dat is de volgende oefening.

rapportage

Schrijf de lijn op als een onderzoeker

rapportage van een regressie · APA-notatie · betrouwbaarheidsinterval

Rapportage

Bij het gemiddelde was het een boodschappenlijstje van twee getallen; bij de correlatie kwam er één getal bij. Een regressiezin is dezelfde lijst, iets langer: wát je voorspelde, uit wát, bij hoeveel beesten, hoe steil, hoe zeker, en hoeveel het dekt. De standaardfout staat in Coefficients onder Std. Error; het interval krijg je met Statistics → Confidence intervals, of in syntax met CI(95) achter /STATISTICS.

We voorspelden het gewicht van de pinguïns uit hun vinlengte (N = 342). Elke millimeter vin ging samen met 49.69 gram meer gewicht, b = 49.69, SE = 1.52, 95% CI [46.70, 52.67]. Het model dekte ruim driekwart van het verschil in gewicht, R² = .76.

Let op de kleine lettertjes.

Cursief gaat wat zélf een waarde draagt: N, b, SE, R². De woorden eromheen staan rechtop — juist zó zie je wat APA schuin zet.
95% CI blijft rechtop, want die letters benoemen alleen wat er tussen de haken staat; ze dragen zelf geen getal. Er staat een spatie tussen de grenzen, geen koppelteken.
R² krijgt geen nul vóór de punt: .76, niet 0.76. Die maat kan niet voorbij de 1, dus die nul heeft niets te melden. De helling b = 49.69 kan dat wél, en houdt zijn nul dus gewoon — zie de SE van 0.02 hieronder.
En hier moet je SPSS níét naschrijven. SPSS laat de nul vóór de punt overal weg: bij R Square (.759), maar net zo goed in de kolom B, waar je .01528 ziet staan. Bij R Square valt dat toevallig samen met de APA-regel; bij een helling is het gewoon fout, want die kan wél voorbij de 1. Het programma volgt dus geen regel, het strookt zijn getallen. Zet die nul zelf terug waar hij hoort.
Twee decimalen, overal — ook waar het scherm er meer gaf. SPSS toonde .759; in je zin staat .76.
Verleden tijd: je vertelt wat je gedaan en gevonden hebt.
En hij noemt de steekproef, de uitkomst én de voorspeller, zodat je hem uit deze opdracht kunt tillen en hij nog klopt.

Eén ding dat je hier bewust niet schrijft: “vinlengte voorspelt gewicht” als kale bewering, alsof de pijl in de pinguïns zit. Hij zit in je vraag. Wat je opschrijft is wat je gedaan hebt.

Jouw beurt: schrijf zo’n zin voor de snavellijn uit de taak hierboven (b = −0.09, SE = 0.02, 95% CI [−0.12, −0.05], R² = .06, N = 342). En zet er de zin bij die je in de vorige oefening leerde schrijven — die over de drie soorten. Zonder die tweede zin staat er iets wat niet waar is.

◠ Zelfde vorm in het boek

Hier: de lijn getrokken en gelezen, en de proef die laat zien dat er een richting gekozen is.

In het boek: W4 — Hangen ze samen?

Daar krijgt de lijn zijn twee getallen en zijn brug naar r; hier merk je wat er gebeurt als je de vraag omdraait — en wat het intercept betekent op een plek waar niemand woont.