Eerste beweging · Verschil onder de loep

Oefening 2.1 · Mediaan, kwartielen en scheefheid

Mediaan, boxplot, scheefheid · median & skew

Data bij deze oefening — luchtkwaliteit.csv luchtmetingen in New York · diamantjes.csv de twaalf steentjes uit het boek · wat elke kolom betekent

prikkel

Het midden dat boven het midden ligt

gemiddelde · typische dag · vorm van de hoop

New York, de zomer van 1973. Op een smal eilandje in de East River staat een meetkastje dat elke dag hetzelfde doet: snuiven, tellen, opschrijven hoeveel ozon er in de lucht hangt.1 Ozon op straatniveau is het spul waar smog van gemaakt is — hoe hoger het getal, hoe zwaarder de stad ademt. Het kastje oordeelt niet. Het verzamelt alleen, honderdzestien dagen lang, een hoop getallen. En in de vorm van die hoop zit — voor wie goed kijkt — de hele zomer.

En nu wij. De eerste vraag die iedereen aan zo’n kolom stelt, is de vraag uit de opdracht over het gemiddelde: wat is een gemiddelde ozon-dag? Optellen, delen, klaar: 42.1. Mooi rond verhaal — tot je door de kolom zelf bladert. Die begint zo: 41, 36, 12, 18, 28, 23, 19, 8… vooral getallen die ónder de 42 blijven, en dan ineens, verderop, een dag van 168. Tel het eens na: van de 116 dagen komen er maar 44 boven het gemiddelde uit. De “gemiddelde dag” is dus een dag die de meeste dagen niet halen.

Hoe kan een midden boven het midden liggen? En wat ís dan een typische ozon-dag in die zomer? Trek even mee — het antwoord zit niet in nog een getal, maar in de vorm van de hoop.

speel het

Twee middens en twee plaatjes in SPSS

gemiddelde · mediaan · kwartielen · histogram · boxplot

OpmerkingEerst zoals in het boek — de twaalf diamantjes
  1. Analyze → Descriptive Statistics → Explore, glans naar Dependent List.
  2. Onder Plots staat de Boxplot standaard aan.
  3. OK — de tabel geeft mediaan en kwartielen.

Mediaan 50, Q1 = 30, Q3 = 70.

EXAMINE VARIABLES=glans
  /PLOT BOXPLOT
  /STATISTICS DESCRIPTIVES.

De mediaan van de glans is 50, met Q1 = 30 en Q3 = 70: de middelste helft van de steentjes zit in een band van 40 punten, netjes symmetrisch om het midden. Zo ziet een boxplot eruit als er niets geks aan de hand is.

Nu jij — met iets wat je nog niet gezien hebt: luchtmetingen uit New York. Die trekken wél scheef, en juist dan gaan mediaan en kwartielen het werk doen waar het gemiddelde faalt.

Haal de zomer binnen en vraag twee dingen: de middens, en een plaatje van de hele hoop.

OpmerkingIn SPSS · trek eraan
  1. Open luchtkwaliteit.csv in SPSS: File → Open → Data, en zet het bestandstype op CSV.
  2. Ga naar Analyze → Descriptive Statistics → Explore.
  3. Sleep ozon naar het vak Dependent List.
  4. Klik op Statistics: Descriptives staat al aan en geeft je het gemiddelde, de mediaan en de scheefheid (skewness); vink ook Percentiles aan voor de kwartielen.
  5. Klik op Plots en vink naast de standaard aangevinkte Boxplot ook Histogram aan. Dan Continue en OK.

Daar staan ze, twee middens naast elkaar. Het gemiddelde (mean) is 42.1. De mediaan (median) — leg alle 116 dagen op volgorde en pak de middelste — is 31.5. Elf punten uit elkaar, en dat voor twee getallen die allebei “het midden” claimen. De kwartielen (quartiles) erbij: een kwart van de dagen blijft onder de 18, een kwart komt boven de 63.25; daartussen woont de middelste helft van de zomer.

OpmerkingIn SPSS · een ander derde kwartiel op je scherm

Zie je op je scherm 63.75 waar hier 63.25 staat? Dan heb je niets fout gedaan. SPSS legt het derde kwartiel net ergens anders neer dan dit boekje.

Zet de 116 dagen op volgorde, van schoon naar smerig. Het derde kwartiel valt dan tussen de 87e dag, met 63 ppb, en de 88e, met 64. Wáár daartussen, is een afspraak, en niet elk programma maakt dezelfde.

  • SPSS telt 0.75 × (116 + 1) = 87.75 plekken af: voorbij dag 87, en dan nog driekwart van de stap naar dag 88. Dat is 63 + 0.75 = 63.75.
  • Dit boekje is doorgerekend zoals R en JASP dat doen. Die nemen een kwart van diezelfde stap: 63 + 0.25 = 63.25.
  • In dezelfde tabel staat in de rij Tukey’s Hinges nog een derde afspraak: precies halverwege, 63.50. Die heb je voor je rapport niet nodig.

Drie getallen, en alle drie tussen 63 en 64 ppb — op een zomer die tot 168 loopt.

Rapporteer wat er op je eigen scherm staat: Q3 = 63.75 uit de tabel Percentiles, rij Weighted Average, en IQR = 45.75 uit de tabel Descriptives, want die is uit diezelfde rij gerekend. Waar dit blok verderop 63.25 en 45.25 zegt — in de modelzin onder Rapportage en in tentamenvraag 5 — staat bij jou 63.75 en 45.75. En op een echt tentamen zet niemand 45.25 en 45.75 als twee aparte antwoorden naast elkaar: zo flauw doen tentamenmakers niet.

Bij Q1 (18.00), bij de wind en bij de glans van de diamantjes komen alle drie de afspraken op hetzelfde uit. Daar klopt elk getal van dit blok ook in SPSS.

En dan de plaatjes. Het histogram is geen nette klok maar een hoop die tegen de linkerkant aanleunt, met een lange uitloper naar rechts — veel schone dagen, een dun sliertje smog-dagen. De boxplot vat diezelfde hoop in vijf strepen: een doos van 18 tot 63.25 met de mediaan-streep laag ín die doos, een korte snor omlaag, een lange snor omhoog, en daarboven nog twee losse stippen: de dagen met 135 en 168 ppb. De getallen die SPSS naast die stippen zet, 36 en 82, zijn rijnummers in Data View — geen ozon. Alles wat er te zien is, wijst dezelfde kant op. Omhoog.

snap het

Waarom de staart het gemiddelde optilt

rechts-scheef · balanspunt · robuustheid · keuze van het midden

Wat je daar ziet heet een rechts-scheve verdeling (right-skewed). Let op: de scheefheid is genoemd naar de staart, niet naar de bult. De bult leunt links, maar de staart wijst naar rechts — naar de hoge kant — dus rechts-scheef. (In een liggend histogram; in de staande boxplot wijst diezelfde staart omhoog.)

En die staart verklaart het raadsel uit de prikkel. Het gemiddelde is namelijk een balanspunt: elke dag trekt eraan, en hoe verder een dag van het midden ligt, hoe harder hij trekt. Die paar smog-dagen — zeven dagen van 100 of hoger, met 168 als kampioen — hangen als gewichten aan het uiteinde van een hefboom en tillen het gemiddelde op tot 42.1. De mediaan doet niet aan hefbomen. Die telt alleen wie er boven en wie er onder zit, en zegt onverstoorbaar: de middelste dag van deze zomer was 31.5.

Wil je voelen hoe onverstoorbaar? Gedachte-experiment: stel dat de topdag geen 168 was geweest maar een rampzalige 500. Het gemiddelde springt dan van 42.1 naar 45.0 — één enkele dag duwt het hele “midden” drie punten op. En de mediaan? Die blijft exact 31.5 staan. Er zit nog steeds precies één dag méér aan de hoge kant, en meer wil de mediaan niet weten. Dat is wat statistici robuust (robust) noemen: ongevoelig voor wat er in de staart gebeurt.

Er zat trouwens al vanaf het begin een hint in de getallen. De standaardafwijking uit de opdracht over het gemiddelde is hier 33.0 — bijna zo groot als het gemiddelde zelf. Maar ozon kan niet onder nul: een symmetrische klok rond 42 met een spreiding van 33 zou links door de vloer zakken. De verdeling kon dus helemaal niet symmetrisch zijn; de scheefheid stond al in de samenvatting te knipperen voor we één plaatje hadden gemaakt.

Wanneer misleidt het gemiddelde? Precies hier — bij scheve hopen. En de wereld staat er vol mee: inkomens (een handvol miljonairs tilt het “gemiddelde inkomen” boven wat bijna iedereen verdient), wachttijden, huizenprijzen, schadeclaims. Overal waar een verdeling wél een lange staart naar boven heeft en níét een naar beneden, ligt het gemiddelde boven de mediaan en boven de ervaring van de meeste mensen. Vergelijk het met het pinguïn-gewicht uit de opdracht over het gemiddelde: gemiddelde 4202 gram, mediaan 4050 — een paar procent uit elkaar, kies maar, het maakte daar amper uit. Hier scheelt het een derde. Vandaar de regel van deze opdracht: kijk eerst naar de vorm van de hoop, kies dan pas je midden.

Eén nuance nog, want “het gemiddelde misleidt” is óók te kort door de bocht. Geen van beide middens is fout; ze beantwoorden verschillende vragen. Wil je weten hoeveel ozon de stad die zomer in totáál te verwerken kreeg, dan is het gemiddelde precies goed — gemiddelde keer aantal dagen ís het totaal, staart en al. Wil je weten wat een typische dag was, wat je morgen waarschijnlijk inademt, dan hoort de mediaan het woord te krijgen. In gewone taal: “de middelste zomerdag had 31.5 delen ozon per miljard, maar een handvol smog-dagen — tot 168 aan toe — trok het gemiddelde op naar 42.” Wie alleen “gemiddeld 42” rapporteert, vertelt de staart en verzwijgt de zomer.

jouw beurt

Van smog naar wind

mediaan · kwartielen · boxplot · vorm beschrijven

Jouw beurt — van smog naar wind. In luchtkwaliteit.csv zit ook de kolom wind (windsnelheid in mijl per uur, dezelfde 116 dagen). Dezelfde maten, een andere hoop — en deze hangt lang zo scheef niet.

Zet eerst de analyse hieronder klaar, en beantwoord daarna de vragen. Tussen haakjes staat telkens wat er in een compleet antwoord hoort, zodat je jezelf kunt nakijken zonder ons antwoord te openen. Staat er meer antwoorden zijn goed, dan is de verwoording aan jou — bij de rest ligt het antwoord vast. De laatste heet weer Z): de aannames staan altijd achteraan. En onder Tentamenvragen, aan het eind van deze oefening, staan dezelfde onderwerpen nog een keer in de vorm waarin een tentamen ze stelt.

OpmerkingIn SPSS · de wind
  1. Ga naar Analyze → Descriptive Statistics → Explore en zet wind in de Dependent List (en ozon eruit).
  2. Vink bij Statistics weer Percentiles aan; de tabel geeft dan de mediaan en de kwartielen. Ter controle: Mdn = 9.70 met Q1 = 7.40 en Q3 = 11.50.
  3. Bij Plots staan de Boxplot (die krijg je standaard) en het Histogram.
OpmerkingJouw beurt

a) Zoek de mediaan en de twee kwartielen van de wind op. (drie getallen op twee decimalen)

b) Bereken de IQR. Waarom is dat één getal en niet twee? (één getal, en één zin)

c) Reken ook het gemiddelde uit en trek daar de mediaan van af. (twee getallen, en welke kant het verschil op wijst)

d) Doe diezelfde aftreksom voor de ozon uit dit blok. (één getal, en één zin over hoe de twee zich verhouden)

e) Hoeveel van de 116 dagen liggen bóven hun eigen gemiddelde — bij de wind, en bij de ozon? (twee getallen, elk ook als percentage)

f) Kijk naar de boxplot van de wind. Hoeveel losse stippen staan erbuiten, en aan welke kant? (één getal, de kant, en de waarden zelf)

g) Bij c) leek de wind bijna symmetrisch, en toch staan alle stippen aan één kant. Spreken die twee elkaar tegen? (één zin; of je 0.16 “bijna symmetrisch” noemt mag je zelf weten, welke kant het op wijst niet)

h) Zoek het minimum en het maximum op en leg de afstand daartussen naast de IQR. (drie getallen, en één zin over waarom ze zo ver uit elkaar liggen)

i) Welk midden zou je van de wind rapporteren, en welk van de ozon? (twee keuzes, met per keuze één zin)

j) Formuleer de vuistregel van deze oefening in je eigen woorden. (één zin, met het woord vorm erin; meer antwoorden zijn goed)

k) Geef een inhoudelijke conclusie in niet meer dan vijf zinnen. (over de zomer van 1973 — een getal mag, mits de eenheid erbij staat; meer antwoorden zijn goed)

Z) Mag je alles hierboven geloven? Loop na:

  • ontbreken er metingen in deze kolom, en wat doet je programma dan?
  • meet elke dag hetzelfde ding — hetzelfde kastje, dezelfde eenheid?
  • is dit één hoop, of liggen er seizoenen doorheen?

En dan de vraag die er altijd achteraan hoort: gaat er iets mis, welke antwoorden hierboven doe je dan over en welke mogen blijven staan?

a) Mdn = 9.70, met Q1 = 7.40 en Q3 = 11.50. De middelste helft van de zomerdagen woont dus tussen ruim zeven en anderhalf boven de elf mijl per uur.

b) IQR = 11.50 − 7.40 = 4.10. Het is één getal omdat het niet de doos zelf is maar zijn breedte — waar de doos ligt zeggen Q1 en Q3, hoe breed hij is zegt de IQR. Dat onderscheid is het waard vast te houden: twee zomers kunnen dezelfde IQR hebben en toch heel ergens anders liggen.

c) M = 9.86, en 9.86 − 9.70 = 0.16. Het gemiddelde ligt dus een fractie boven de mediaan — dezelfde kant op als bij de ozon, maar met zestien honderdste van een mijl per uur in plaats van ruim tien delen per miljard.

d) Ozon: 42.13 − 31.50 = 10.63. Dat is 65.59 keer zo groot als de 0.16 van de wind — deel je de twee afgeronde getallen op deze regel, dan kom je op 66, en dat kleine verschil is precies waarom je pas aan het eind afrondt. De twee kolommen komen uit hetzelfde bestand en beslaan dezelfde 116 dagen. Maar die twee verschillen staan in verschillende eenheden — mijl per uur tegen delen per miljard — dus dat “zesenzestig keer” legt appels naast peren. Wil je ze eerlijk naast elkaar leggen, deel elk verschil dan door de spreiding van zijn eigen kolom: voor de wind geeft dat 0.045 en voor de ozon 0.322. Dat zijn twee getallen zonder eenheid, en díe mag je vergelijken — de ozon blijft ruim zeven keer zo scheef als de wind.

e) Wind: 54 van de 116 dagen, oftewel 46.6% — bijna de helft, zoals het bij een nette hoop hoort. Ozon: 44 van de 116, oftewel 37.9%. Dat tweede getal was de hele prikkel van dit blok: een “gemiddelde dag” die de meeste dagen niet halen.

f) Drie stippen, alle drie aan de bovenkant: 18.4, 20.1 en 20.7 mijl per uur. Aan de onderkant staat er geen enkele, en dat kán ook bijna niet — de grens ligt daar op 7.40 − 1.5 × 4.10 = 1.25, en de rustigste dag van de zomer haalde nog altijd 2.3. Let op het verschil tussen die twee getallen: 1.25 is de grens, en de snor loopt tot de verste dag die nog binnen die grens valt. De onderste snor eindigt hier dus op 2.3 en niet op 1.25.

g) Meer antwoorden zijn goed, want de vraag hangt aan een oordeel: of je 0.16 mijl per uur “bijna symmetrisch” vindt, mag je zelf vinden. De richting is niet aan jou. Nee dus — de stippen en de twee middens wijzen dezelfde kant op, alleen veel zachter. Ook de wind leunt een beetje naar rechts; dat is precies wat die 0.16 bij c) al zei. Het verschil met de ozon is geen verschil in richting maar in maat: scheefheid is geen knop die aan of uit staat. Die maat is het zachte deel van het antwoord, en daarom kan een tentamen hem niet vragen. De richting wél — zie de tentamenvragen aan het eind.

h) Minimum 2.3, maximum 20.7, dus een afstand van 18.4 — ruim vier keer de IQR van 4.10. Dat hoort zo: de afstand tussen de uitersten hangt aan precies twee dagen, en aan de wildste van de twee is niets typisch. De IQR telt alleen de middelste helft mee en trekt zich van die twee niets aan. Dat is dezelfde robuustheid die de mediaan bij de ozon liet zien.

i) Bij de wind maakt het niet uit — de twee middens schelen 0.16, dus kies gerust het gemiddelde, met de standaardafwijking ernaast. Bij de ozon hoort de mediaan het woord te krijgen, met de kwartielen erbij, want daar zit een derde van het verschil tussen de twee middens en vertelt het gemiddelde meer over de zeven smogdagen dan over de zomer.

j) Meer antwoorden zijn goed; er is geen voorgeschreven verwoording. Bijvoorbeeld: kijk eerst naar de vorm van de hoop, kies dan pas je midden — en wijken gemiddelde en mediaan nauwelijks van elkaar af, dan heeft de vorm je net verteld dat de keuze er niet toe doet.

k) Meer antwoorden zijn goed. Getallen mogen er in — het gaat erom dat er bij elk getal staat wat het meet, want “9.70” is niets en “9.70 mijl per uur op de middelste dag” is een zomer. Bijvoorbeeld: in de zomer van 1973 waaide het op Roosevelt Island op de middelste dag 9.70 mijl per uur, en de helft van alle dagen zat tussen 7.40 en 11.50 mijl per uur. Die hoop is vrijwel symmetrisch: het gemiddelde ligt 0.16 mijl per uur boven de middelste dag, op een reeks die van 2.3 tot 20.7 loopt. Drie dagen staken eruit met 18.4, 20.1 en 20.7 mijl per uur, maar ze trokken het midden nauwelijks mee. Bij de ozon uit dezelfde zomer lag het gemiddelde 10.63 delen per miljard boven de middelste dag — dezelfde 116 dagen, twee kolommen, twee vormen.

Z) Ja, en net als in Oefening 1.1 zonder verdelingsaanname: er is hier niets getoetst, alleen beschreven. De drie vragen bijten hier wél elk iets af.

  • Blijft staan: a) tot en met j). In de kolom wind ontbreekt geen enkele van de 116 metingen, dus je rekent over alle dagen. Dat is hier geen vanzelfsprekendheid: in de kolom zon van dít bestand ontbreken er vijf. Wat je programma bij zo’n gat doet — weigeren of stilletjes doorrekenen — lees je in het kader Wat staat er aan? van Oefening 1.1.
  • Blijft staan met een slag om de arm: de mediaan van 9.70 als “de typische zomerdag”, en daarmee ook k). Deze 116 dagen lopen van mei tot en met september, en dat is geen homogene hoop: per maand ligt de mediaan op 11.50 (mei), 11.50 (juni), 7.70 (juli), 8.00 (augustus) en 10.30 (september). Het waait in juli en augustus dus duidelijk minder dan in het voorjaar. Die 9.70 is een correct getal over de hele zomer, en tegelijk een dag die in geen enkele maand bijzonder typisch is — precies dezelfde valkuil als het gemiddelde dat drie pinguïnsoorten mengde.

Wat er níét omvalt is het meten zelf: het is één kastje op één eilandje, elke dag hetzelfde, in dezelfde eenheid. Dat is de saaiste van de drie vragen en meestal de belangrijkste — meet je halverwege iets anders, dan helpt geen enkele spreidingsmaat je nog.

rapportage

Schrijf het op als een onderzoeker

Mdn · IQR · rapportage bij scheve verdeling

OpmerkingRapportage

Onthoud van Oefening 1.1: rapporteren is een boodschappenlijstje in zinsvorm. Alleen staat er bij een scheve hoop iets anders op het lijstje: niet M en SD, maar de vorm, de mediaan en de kwartielen. Kijk maar:

De ozonconcentratie (in ppb) op de 116 gemeten zomerdagen was rechts-scheef verdeeld (Mdn = 31.50, IQR = 45.25; de middelste helft van de dagen lag tussen Q1 = 18.00 en Q3 = 63.25).

Dat is ’m. Eén zin die op eigen benen staat: welke dagen, welke variabele, de vorm, het robuuste midden, en tussen haakjes de doos van de boxplot — hoe breed hij is en waar hij ligt. Mdn (median) is de nette afkorting van de mediaan. Q1 en Q3 zijn het onderste en het bovenste kwartiel: de twee randen van de doos. En IQR (interquartile range) is niet die doos zelf, maar zijn breedte — 63.25 − 18.00 = 45.25. In de modelzin zijn alléén de symbolen cursief; de gewone woorden blijven rechtop. En zie je wat er stiekem gebeurt? Door de mediaan te rapporteren in plaats van het gemiddelde, zit het hele vorm-verhaal al ín de zin verstopt.

Jouw beurt: schrijf zelf zo’n zin voor de wind, in mijl per uur (Mdn = 9.70, IQR = 4.10; de middelste helft van de dagen lag tussen Q1 = 7.40 en Q3 = 11.50). Kies bewust wélk midden je rapporteert, nu je de vorm kent.

tentamen

Tentamenvragen

keuze van het midden · robuustheid · 1.5 × IQR · richting van de scheefheid

Deze zes hebben de vorm waarin een tentamen dit onderwerp stelt: vier opties, en precies één is de beste — de andere drie kunnen best waar zijn en toch niet het beste antwoord. Rekenen hoeft alleen bij vraag 3.

OpmerkingTentamenvragen

1. Je rapporteert de ozon van deze 116 dagen en moet één midden kiezen. Welke omschrijving is de beste?

  1. De mediaan, want bij een scheve verdeling mag je het gemiddelde niet gebruiken.
  2. De mediaan, want die geeft de typische dag, terwijl de smog-dagen het gemiddelde omhoog hebben getrokken.
  3. Het gemiddelde, want dat gebruikt alle 116 dagen en de mediaan gooit informatie weg.
  4. Het maakt niet uit: M = 42.13 en Mdn = 31.50 liggen minder dan één standaardafwijking (SD = 32.99) van elkaar.

2. In de boxplot van de wind staan drie losse stippen, alle drie aan de bovenkant, en het gemiddelde ligt 0.16 mijl per uur boven de mediaan. Welke uitspraak over de vorm van de windhoop is de beste?

  1. De windhoop is symmetrisch; drie losse stippen aan één kant zeggen niets over de vorm.
  2. De windhoop leunt licht naar rechts: de stippen en de twee middens wijzen dezelfde kant op.
  3. De windhoop is rechts-scheef, want zodra er stippen aan één kant staan is een verdeling scheef.
  4. De windhoop is links-scheef, want de mediaan (9.70) ligt onder het gemiddelde (9.86).

3. Bij de wind is Q1 = 7.40 en Q3 = 11.50 mijl per uur, dus IQR = 4.10 mijl per uur. Een dag telt als los punt boven de snor zodra hij boven Q3 + 1.5 × IQR uitkomt. Welke van deze vier winddagen is de laagste die daar nog boven ligt?

  1. 14.9 mijl per uur
  2. 16.6 mijl per uur
  3. 18.4 mijl per uur
  4. 20.1 mijl per uur

4. Til in gedachten de topdag van de ozon van 168 naar 500 ppb. Het gemiddelde loopt dan op van 42.13 naar 44.99, en de mediaan blijft staan op 31.50. Waaraan ligt dat?

  1. De mediaan telt hoeveel dagen er boven en onder liggen, niet hoe ver ze weg liggen.
  2. De mediaan laat dagen buiten de berekening zodra ze boven Q3 + 1.5 × IQR uitkomen.
  3. De mediaan wordt berekend over de middelste helft van de dagen, dus de staart telt niet mee.
  4. De mediaan blijft staan zolang er aan beide kanten evenveel dagen liggen.

5. De IQR van de ozon is 45.25 ppb en die van de wind 4.10 mijl per uur. Wat zegt de IQR over een verdeling?

  1. Waar de middelste helft van de metingen ligt.
  2. Hoe breed de middelste helft van de metingen is.
  3. Het verschil tussen de hoogste en de laagste meting, gedeeld door vier.
  4. Hoe ver het verste losse punt van de mediaan af ligt.

6. Van de ozon weet je alleen dit: het gemiddelde is 42.13 ppb, de hoogste dag was 168 ppb, en een ozonmeting kan niet onder nul komen. Wat mag je daaruit over de vorm van de ozonhoop besluiten, vóórdat je één plaatje hebt gemaakt?

  1. Niets — voor de vorm van een verdeling heb je een histogram of een boxplot nodig.
  2. De ozonhoop kan niet symmetrisch zijn: een dag die even ver ónder het gemiddelde ligt als 168 erboven, zou op −83.74 ppb uitkomen.
  3. De ozonhoop is symmetrisch, want 42.13 ligt ongeveer midden tussen nul en de hoogste dag.
  4. De ozonhoop is links-scheef, want boven het gemiddelde is meer ruimte dan eronder.

1 b · 2 b · 3 c · 4 a · 5 b · 6 b

Hieronder staat per vraag waaróm, en waarom de drie andere opties aantrekkelijk zijn. Heb je er een goed, dan kun je die overslaan.

1. b. De mediaan geeft de typische dag, en de zeven dagen van 100 ppb of hoger hebben het gemiddelde naar 42.13 getrokken. a kiest hetzelfde midden om een verbod dat niet bestaat: een gemiddelde mág bij een scheve hoop, het beantwoordt alleen een andere vraag. Wil je weten hoeveel ozon de stad die zomer in totaal te verwerken kreeg, dan is het gemiddelde juist precies goed — gemiddelde keer aantal dagen ís dat totaal. Dat is het verschil tussen verkeerd en een andere vraag, en een tentamen vraagt naar dat verschil. c klopt in wat het beweert — het gemiddelde gebruikt echt alle 116 dagen — en trekt daaruit de verkeerde conclusie; “meer dagen meegenomen” is niet hetzelfde als “beter midden”. d verleidt met een echte rekensom: 10.63 is werkelijk minder dan 32.99. Alleen zegt dat niets, want die SD van 32.99 is zelf opgeblazen door dezelfde staart die het probleem veroorzaakt.

2. b. Richting: rechts. Maat: klein. a gooit de stippen weg terwijl ze mee-tellen als aanwijzing. c maakt van scheefheid een schakelaar die aan of uit staat, en dat is ze niet — de wind heeft dezelfde richting als de ozon en een zevende van de maat. d heeft de goede reden en het verkeerde etiket: dat de mediaan onder het gemiddelde ligt, betekent juist rechts-scheef. Dat is de verwarring die de scheefheid naar de bult noemt in plaats van naar de staart.

3. c. De grens ligt op 11.50 + 1.5 × 4.10 = 17.65 mijl per uur, en 18.4 is de laagste winddag die daarboven uitkomt. a en b zijn allebei harde winddagen die tóch binnen de snor vallen — 14.9 en 16.6 blijven onder de 17.65, en hoog is hier niet hetzelfde als los punt. Dat b zo dichtbij ligt is geen toeval: 16.6 is de hoogste dag die er nog net binnen valt, en die tekent het uiteinde van de streep. De snor stopt dus bij 16.6 en niet bij 17.65. d is wél een los punt, alleen niet de laagste van de drie — de vraag vraagt naar de eerste die erbuiten valt, niet naar de ergste.

4. a. De mediaan telt plaatsen in de rij, geen afstanden. Of de topdag nu 168 of 500 is: er liggen evenveel dagen boven de mediaan, dus de middelste dag verandert niet. Het gemiddelde telt wél afstanden mee en loopt daarom op naar 44.99. b verwart robuustheid met wégstrepen: de 1.5 × IQR-regel bepaalt wat er als los punt getékend wordt in een boxplot, maar de mediaan gooit niets weg — die 500 doet gewoon mee, hij telt alleen als één dag en niet als een verre dag. c verwisselt de mediaan met de IQR; de mediaan gebruikt alle 116 dagen. (En het geeft een ander getal: de mediaan van alleen de middelste helft is 31.00, niet 31.50.) d klinkt goed en kan niet: boven en onder de mediaan liggen per definitie altijd evenveel dagen — dat is wat een mediaan ís, geen voorwaarde waaraan hij moet voldoen.

5. b. De IQR is Q3 − Q1, dus de breedte van de doos. a is het antwoord dat bijna iedereen als eerste geeft, en het is de ligging: waar de middelste helft ligt zeggen Q1 en Q3. Twee zomers kunnen dezelfde IQR van 4.10 hebben en toch heel ergens anders liggen. c klinkt als een kwartiel-som maar is er geen; het bereik gedeeld door vier hangt aan de twee uiterste dagen, en dat is precies wat de IQR niet doet. d meet vanaf de mediaan naar een los punt en gebruikt dus juist de staart.

6. b. In een symmetrische hoop ligt bij elke dag bóven het gemiddelde een dag even ver eronder. De topdag van 168 ligt 168 − 42.13 = 125.87 boven het gemiddelde, dus zijn spiegelbeeld zou op 42.13 − 125.87 = −83.74 ppb liggen. Zo’n dag bestaat niet: ozon houdt op bij nul. De hoop kán dus niet symmetrisch zijn, en dat wist je vóór het histogram. a is de veilige gewoonte en hier te bescheiden: een ondergrens die de natuur oplegt is zelf informatie over de vorm. c is de verleidelijkste, want hij klinkt als een symmetrie-toets — maar reken hem na: het midden tussen nul en de hoogste dag ligt op 84.00 ppb, en het gemiddelde ligt op 42.13 ppb, dus 41.87 ppb lager. Bij een symmetrische hoop vallen die twee samen. Dat ze hier zo ver uit elkaar liggen, wijst juist óp scheefheid. d ruikt de scheefheid goed en plakt er het verkeerde etiket op: de ruimte zit aan de bovenkant, dus de staart wijst naar rechts, en dat heet rechts-scheef.

Wil je de getallen uit deze zes vragen zelf zien ontstaan: de sommen in antwoord 3 en 6 staan hierboven voluit, en die reken je met je rekenmachine na. Vraag 4 kan ook met de rekenmachine, en dan zie je meteen wáárom het gemiddelde opschuift. Het gemiddelde is de som van alle 116 dagen, gedeeld door 116. Wordt één dag 500 − 168 = 332 ppb zwaarder, dan schuift het gemiddelde 332 / 116 = 2.86 op: 42.13 + 2.86 = 44.99. De mediaan schuift niet, want de middelste dag blijft dezelfde dag.

OpmerkingIn SPSS · de winddagen rond de grens

Analyze → Descriptive Statistics → Explore, wind in de Dependent List, en onder Statistics… vink je Outliers aan. Of in syntax:

EXAMINE VARIABLES=wind
  /STATISTICS EXTREME.

In de tabel Extreme Values staan bij Highest de vijf winderigste dagen: 20.7, 20.1, 18.4, 16.6 en nog eens 16.6. De grens van 17.65 valt tussen 18.4 en 16.6 in.

En de twee getallen uit antwoord d) van Jouw beurt reken je zo na: deel het verschil tussen gemiddelde en mediaan door de standaardafwijking van dezelfde kolom. In Explore staat die in de tabel Descriptives, in de rij Std. Deviation.

  • wind: 0.16 / 3.57 = 0.045
  • ozon: 10.63 / 32.99 = 0.322

◠ Zelfde vorm in het boek

Hier: twee middens die uit elkaar drijven, en de hoop die verklapt waarom.

In het boek: W2 — De vorm van de hoop

Daar leer je verdelingen lezen vóór je ze samenvat — eerst de vorm, dan pas het getal dat de vorm mag vertegenwoordigen.

Voetnoten

  1. Dagelijkse ozonmetingen in ppb (delen per miljard, parts per billion) op Roosevelt Island, New York, mei–september 1973; New York State Department of Conservation / National Weather Service. Beschikbaar als de klassieke R-dataset airquality; dit zijn de 116 dagen waarop de ozonmeting gelukt is. Alle getallen in dit blok zijn op die échte data nagerekend.↩︎