Eerste beweging · Verschil onder de loep

Oefening 1.1 · Het gemiddelde en de standaardafwijking

Gemiddelde en standaardafwijking · mean & standard deviation

Data bij deze oefening — penguins.csv 342 pinguïns · diamantjes.csv de twaalf steentjes uit het boek · wat elke kolom betekent

prikkel

Geen pinguïn weegt precies het gemiddelde

gemiddelde · waarom niemand precies op het midden zit

Ergens op een kale rots bij Antarctica staat een weegschaal, en daaromheen scharrelen 342 pinguïns die daar niet om gevraagd hebben.¹ Eén voor één worden ze opgetild, op de schaal gezet, en weer losgelaten. Elke keer schrijft iemand één getal op. Gewicht, in grammen. Meer niet: 342 dieren, 342 getallen.

Tel die 342 getallen op, deel door 342, en er komt iets keurigs uit: 4202 gram. Ziedaar, de gemiddelde pinguïn: 4,2 kilo. Alleen — ik heb de lijst nagekeken, en op die hele rots staat geen enkele pinguïn die 4202 gram weegt. Niet één. De gemiddelde pinguïn is er zelf niet bij.

Dat jeukt. Eén getal dat 342 dieren samenvat en van niemand is — wat vertelt zo’n getal dan eigenlijk? En, misschien wel spannender: wat laat het weg? Trek even mee; we gaan dat getal openmaken.

speel het

Reken het gemiddelde uit in SPSS

gemiddelde · standaardafwijking · mediaan

Haal de pinguïns binnen en laat drie getallen uitrekenen: het gemiddelde, de standaardafwijking en de mediaan van het gewicht.

Eerst zoals in het boek — de twaalf diamantjes

Open diamantjes.csv (File → Open → Data, type CSV).
Analyze → Descriptive Statistics → Frequencies, glans naar Variable(s), vink Display frequency tables úít.
Statistics… → Mean, Median, Std. deviation. OK.

Er staat nu M = 50.00, SD = 21.74 en een mediaan van 50.

FREQUENCIES VARIABLES=glans
  /FORMAT=NOTABLE
  /STATISTICS=MEAN MEDIAN STDDEV.

Twaalf steentjes, dezelfde drie getallen als in het boek. Het gemiddelde is 50 en de mediaan óók 50 — bij deze twaalf vallen ze samen.

Nu jij — met de pinguïns die je in de vorige oefening al hebt bekeken. De data ken je dus; de handeling is nieuw. Let op wat er met dat gemiddelde en die mediaan gebeurt als de hoop niet meer zo braaf is.

In SPSS · trek eraan

Open penguins.csv in SPSS: File → Open → Data, en zet het bestandstype op CSV.
Ga naar Analyze → Descriptive Statistics → Descriptives en sleep gewicht naar het vak Variable(s).
Klik op Options en zorg dat Mean en Std. deviation aangevinkt staan. OK — daar zijn de eerste twee getallen.
Voor de mediaan (Descriptives kent die niet): Analyze → Descriptive Statistics → Explore, sleep gewicht naar Dependent List — de tabel geeft de mediaan (en meer), en onder Plots → Histogram krijg je er meteen een plaatje van alle 342 gewichten bij.

Drie getallen. Lees ze één voor één:

Gemiddelde (mean): M = 4202. Het balanspunt. Denk aan alle gewichten als knikkers op een lange lat: leg je vinger onder 4202 en de lat is in evenwicht. Het “midden” — maar dan het midden waar de zwaarte om draait.
Standaardafwijking (standard deviation): SD = 802. Het antwoord op de vraag die meteen ná het midden komt: en hoe ver liggen ze daar dan omheen? Zoiets als de gemiddelde afstand tot het midden: een pinguïn zit hier typisch een gram of 800 van het gemiddelde af — sommige veel dichterbij, sommige veel verder. (Voor de fijnproever: de formule kwadrateert die afstanden eerst en wortelt daarna terug, daarover later. De lees-intuïtie “typische afstand tot het gemiddelde” mag je gewoon houden.)
Mediaan (median) = 4050. De middelste pinguïn: zet alle 342 op een rij van licht naar zwaar en kijk wie er halverwege staat. Hé — die ligt een stuk lager dan het gemiddelde. Onthoud dat jeukje; het komt zo terug.

Maar er staat nóg een kolom in het bestand: soort. Drie soorten pinguïns lopen er op die rots — Adelie, Chinstrap en Gentoo. Reken het gemiddelde eens per soort uit, en gooi de gewichten ook in een plaatje.

In SPSS · per soort

Blijf in Explore en sleep soort naar de Factor List: je krijgt de tabel — en het histogram — nu apart per soort, drie gemiddelden onder elkaar.
(Alternatief: Data → Split File → Organize output by groups met soort, en draai Descriptives opnieuw. Vergeet Split File daarna niet weer uit te zetten, anders splitst álles wat je hierna doet.)

En daar valt het ene getal uit elkaar. Adelie: M = 3701. Chinstrap: M = 3733. Gentoo: M = 5076. Twee soorten die vlak bij elkaar rond de 3,7 kilo zitten — en één soort die daar ruim een kilo boven hangt. Het plaatje zegt hetzelfde in vorm: geen net bergje met één top, maar een berg met een dikke schouder aan de rechterkant. Die schouder, dat zijn de Gentoo’s.

snap het

Wat 4202 gram wél en niet vertelt

M en SD samen · uitschieters · wat één getal verzwijgt

Terug naar 4202. Wat is dat getal nu nog waard?

Meer dan je misschien denkt — en minder. Eerst de winst. M zegt waar het midden ligt, en SD zegt hoe wijd de dieren daaromheen wonen. Die twee samen zijn al een halve verdeling: “gemiddeld 4202, typisch zo’n 800 eromheen” vertelt je dat een pinguïn van 3500 of van 4900 gram hier doodgewoon is (binnen één SD van het midden), en dat de zwaarste van de rots — 6300 gram — een flinke uitschieter is. Wie alleen het gemiddelde rapporteert, geeft je een plek zonder omtrek; de SD is de omtrek.

Dan het verlies. Dat ene gemiddelde, 4202, mengt drie soorten door elkaar. Twee soorten wonen rond de 3700, één rond de 5076 — en 4202 valt precies in het gat daartussen, waar bijna geen pinguïn woont. De gemiddelde pinguïn bestaat niet, en nu zie je waaróm niet: het is geen typisch dier, het is het balanspunt van een gemengd gezelschap.

En kijk wat dat mengen met de SD doet. Binnen één soort is de spreiding veel kleiner — Adelie 459, Chinstrap 384, Gentoo 504 — maar over alles heen was hij 802. Dat verschil is geen extra individuele variatie: het is het sóórtverschil dat zich als spreiding vermomt. Eén getal voor het midden verbergt drie middens; één getal voor de spreiding telt de afstand tussen groepen mee alsof het gewone wiebel is.

Nu het jeukje van de mediaan. 4050 tegenover 4202: het gemiddelde ligt hoger, omdat de zware Gentoo-schouder rechts het balanspunt naar zich toe trekt — de mediaan trekt zich van schouders en uitschieters niets aan, die telt alleen wie er halverwege de rij staat. Lopen gemiddelde en mediaan uit elkaar, dan is dat dus een seintje: deze verdeling hangt scheef, of bestaat uit stukken. Daarover gaat de opdracht over de vórm van verdelingen; en of zo’n verschil tussen groepen echt is of ook toeval had kunnen zijn, dat gaan we later schudden. Hier volstaat het seintje.

In gewone taal, één zin: deze 342 pinguïns wegen gemiddeld zo’n 4,2 kilo met een typische afwijking van ruim 800 gram — maar dat gemiddelde mengt drie soorten die elk om een eigen midden wonen.

En dat is meteen de leeshouding voor elk gemiddelde dat je vanaf nu tegenkomt — “de gemiddelde Nederlander”, “het gemiddelde inkomen”, “de gemiddelde patiënt”. Twee vragen erbij, altijd: hoe ver liggen ze eromheen? (vraag om de SD) en wie zitten er allemaal in dat gemiddelde? (vraag om de groepen). Een gemiddelde zonder die twee antwoorden is een adres zonder stad.

jouw beurt

Van buik naar snavel

dezelfde twee maten op een tweede variabele

Jouw beurt — van buik naar snavel. In penguins.csv zit ook de kolom snavellengte (in mm). Dezelfde twee maten, een andere variabele — en een hoop die net iets anders ligt dan die van het gewicht.

Zet eerst de analyse hieronder klaar, en beantwoord daarna de vragen. Tussen haakjes staat telkens wat er in een compleet antwoord hoort, zodat je jezelf kunt nakijken zonder ons antwoord te openen. De laatste vraag heet met opzet Z) en niet l): de aannames staan altijd achteraan, en de vreemde letter zegt “en ook, elke keer, deze”.

In SPSS · de snavels

Ga naar Analyze → Descriptive Statistics → Explore en zet snavellengte in de Dependent List (en gewicht eruit). De tabel geeft het gemiddelde, de standaardafwijking én de mediaan in één keer. Ter controle: M = 43.92, SD = 5.46, Mdn = 44.45.
Sleep daarna soort naar de Factor List: dezelfde maten, nu apart per soort.

Jouw beurt

a) Hoeveel pinguïns hebben een gemeten snavellengte, en valt er een rij weg? (één getal, en één zin)

b) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking van de snavellengte. (twee getallen op twee decimalen, met hun eenheid)

c) Zeg in één zin wat dat gemiddelde over de snavels zegt. (over snavels, niet over getallen)

d) En wat zegt die standaardafwijking? (één zin, met het woord afstand erin)

e) Zoek de mediaan op. Ligt die boven of onder het gemiddelde? (één getal, en welke kant op)

f) Bij het gewicht lag de mediaan 4050 en het gemiddelde 4201.75. Trek bij allebei de variabelen de mediaan van het gemiddelde af. (twee getallen, en één zin over wat het teken je vertelt)

g) Is die 5.46 mm nou veel? Deel bij allebei de variabelen de standaardafwijking door haar eigen gemiddelde — waarom mag je díé twee wél naast elkaar leggen en de kale 5.46 mm en 801.95 g niet? (twee percentages, en één zin)

h) Reken het gemiddelde per soort uit. (drie getallen, met hun n)

i) Bij het gewicht lagen Adelie en Chinstrap dicht bij elkaar en hing Gentoo er ruim een kilo boven. Welke twee liggen hier bij elkaar? (twee soortnamen, en één zin)

j) Reken de standaardafwijking per soort uit en leg die drie naast de 5.46 van alle 342 samen. (drie getallen, en één zin over waar het verschil vandaan komt)

k) Geef een inhoudelijke conclusie in niet meer dan vijf zinnen. (over pinguïns en soorten, niet over getallen)

Z) Mag je alles hierboven geloven? Loop na:

ontbreken er metingen, en zouden die je gemiddelde en spreiding verschuiven?
meet elke rij hetzelfde ding — dezelfde snavel, dezelfde eenheid?
beschrijft dat ene gemiddelde één hoop, of drie hopen door elkaar?

En dan de vraag die er altijd achteraan hoort: gaat er iets mis, welke antwoorden hierboven doe je dan over en welke mogen blijven staan?

Antwoord — open na je eigen poging

a) 342, en er valt geen rij weg: elke pinguïn in het bestand heeft een gemeten snavel. Dat is het nakijken waard vóór je iets uitrekent, want R laat een ontbrekende meting niet stilletjes vallen — hij weigert dan het hele antwoord en zet er NA neer.

b) M = 43.92 mm en SD = 5.46 mm.

c) Het balanspunt van alle 342 snavels ligt op bijna 44 millimeter. En net als bij het gewicht woont daar niemand: op één decimaal afgerond heeft geen enkele pinguïn een snavel van 43.9 mm.

d) Een snavel ligt hier typisch zo’n 5.5 mm van dat balanspunt af — de gemiddelde afstand tot het midden, ruwweg. Van de 342 pinguïns liggen er 204 (59.6%) binnen één standaardafwijking van het gemiddelde.

e) De mediaan is 44.45 mm en ligt dus boven het gemiddelde.

f) Gewicht: 4201.75 − 4050 = +151.75 gram. Snavel: 43.92 − 44.45 = −0.53 mm. Het teken klapt om, en dat is het nieuws. Bij het gewicht trok de zware Gentoo-schouder het balanspunt naar rechts, boven de middelste pinguïn uit; bij de snavels leunt de hoop juist een pietsje de andere kant op. Dezelfde 342 dieren, twee variabelen, twee vormen.

g) Snavel: 5.46 / 43.92 = 12.4%. Gewicht: 801.95 / 4201.75 = 19.1%. Millimeters en grammen kun je niet naast elkaar leggen — 5.46 tegen 801.95 zegt alleen dat een gram kleiner is dan een millimeter groot. Deel je elke spreiding door haar eigen midden, dan valt de eenheid boven én onder de streep weg en houd je een kaal getal over dat je wél mag vergelijken. En dan blijkt het gewicht relatief ruim anderhalf keer zo wijd te spreiden als de snavel.

h) Adelie M = 38.79 (n = 151), Chinstrap M = 48.83 (n = 68), Gentoo M = 47.50 (n = 123).

i) Chinstrap en Gentoo liggen hier vlak bij elkaar, 48.83 tegen 47.50; Adelie staat apart, ruim negen millimeter eronder. Bij het gewicht was de indeling precies andersom — daar hoorden Adelie en Chinstrap bij elkaar en stond Gentoo alleen. Welke soorten “bij elkaar horen” hangt dus af van wát je meet, en niet van de soorten.

j) Adelie 2.66, Chinstrap 3.34, Gentoo 3.08 — alle drie ruim onder de 5.46 van de hele rots. Datzelfde zag je bij het gewicht gebeuren: binnen een soort is de spreiding klein, en wat je er overheen extra meet is niet meer individueel verschil maar het verschil tussen de soorten, vermomd als spreiding.

k) Bijvoorbeeld: de 342 pinguïns hebben een snavel van gemiddeld bijna 44 millimeter, met een typische afwijking van zo’n vijf en een halve millimeter. Dat ene gemiddelde beschrijft geen enkele pinguïn, want er lopen drie soorten door elkaar: de Adelies hebben duidelijk kortere snavels dan de Chinstraps en de Gentoo’s, die onderling nauwelijks verschillen. Binnen een soort ligt de spreiding op ongeveer drie millimeter — ruim onder de vijf en een half van de hele rots. Wie de soort kent, weet dus al een heel eind hoe lang de snavel is.

Z) Ja — en let op waaróm, want het antwoord is hier anders dan je later gaat krijgen. In dit blok is niets getoetst en niets geschat: je hebt deze 342 pinguïns alleen beschreven. Er ligt dus geen verdelingsaanname onder a) tot en met j), en er valt langs die weg ook niets om te vallen.

Wat hier wél kan omvallen, is de data zelf.

Blijft staan: a) tot en met j). Het zijn beschrijvingen van precies deze 342 dieren, en ze blijven kloppen zolang de metingen kloppen. Kwam er wél een rij bij of viel er een af, dan schuiven ze allemaal mee — niet omdat een aanname breekt, maar omdat je iets anders beschrijft.
Blijft staan met een slag om de arm: b), en daarmee ook c) en k). Het getal 43.92 is gewoon goed. Maar de zin “de gemiddelde pinguïn heeft een snavel van 43.9 mm” is misleidend, en de derde vraag hierboven is precies waarom: dat gemiddelde mengt drie soorten. Het getal beantwoordt een andere vraag dan die je dacht te stellen.

En dat is de gewoonte die dit blok je wil meegeven: kijk vóór je een gemiddelde voorleest eerst of het over één hoop gaat. Later, zodra er wél getoetst wordt, komt daar een tweede rijtje bij — de antwoorden die je moet overdoen.

rapportage

Schrijf het op als een onderzoeker

rapporteren · M en SD in één zin · cursivering

Rapportage

Rapporteren klinkt als iets met dikke handboeken en angstzweet, maar het is een boodschappenlijstje in zinsvorm: wat heb je onderzocht, waar lag het, hoe verspreid — klaar. Kijk maar:

De 342 pinguïns in de steekproef wogen gemiddeld ruim vier kilo (M = 4201.75 g, SD = 801.95).

Dat is ’m. De hele rapportage — en de zin staat op eigen benen: wie er gewogen werden, wat er gemeten werd, en tussen haakjes de twee getallen. Bijna te flauw voor woorden, en precies dát is het fijne: zó simpel mag het zijn. Twee kleine afspraken sluipen er alvast in: alléén de symbolen M en SD zijn cursief — de gewone woorden blijven rechtop — en decimalen krijgen een punt (43.9, geen komma).

Jouw beurt: schrijf zelf zo’n zelfstandige zin voor de snavellengte (M = 43.92, SD = 5.46). Hardop voorlezen mag. Het went snel, beloofd.

◠ Zelfde vorm in het boek

Hier: één getal voor het midden, één voor de ruimte eromheen — en de ontdekking dat er in dat midden bijna niemand woont.

In het boek: W1 — Gemiddelde en spreiding

Daar heet dit hoofdstuk “De gemiddelde slok” — en proef je waarom sommige dingen zich laten middelen en andere niet.

Voetnoten

Palmer Penguins — Gorman, Williams & Fraser (2014), Palmer Station Antarctica LTER; via het R-pakket palmerpenguins (CC0). Alle getallen in dit blok zijn op die échte data nagerekend.↩︎