Vierde beweging · Verschil onthechten

Oefening 10.1 · Als de moderator een groep is

Interactie met een groep als moderator · categorical moderation

In deze oefening

• Eén getal dat uit twee getallen bleek te bestaan
• Twee lijnen: één groep tegenover de rest
• Nog twee lijnen, maar dan parallel: de sekse
• Drie lijnen: de hele soort erbij
• Zes hokjes: twee groeperingen tegelijk
• Wie krijgt het overlapstuk? Type I en type III
• Duizend werelden waarin de soort niets modereert
• Onder welke conditie doet iets ertoe
• Dezelfde zes hokjes, een andere meetlat
• Schrijf het op als een onderzoeker
• Tentamenvragen

Data bij deze oefening — penguins.csv 342 pinguïns · diamantjes.csv de twaalf steentjes uit het boek · wat elke kolom betekent

prikkel

Eén getal dat uit twee getallen bleek te bestaan

helling per groep

Bij de enkelvoudige regressie trok je een lijn door 342 pinguïns en las je er één getal van af: 49.69 gram per millimeter.¹ Elke millimeter vin erbij, bijna vijftig gram pinguïn erbij. Eén getal, netjes uitgerekend, en er was geen enkele reden om het te wantrouwen.

Splits diezelfde 342 beesten nu eens in tweeën — de Gentoo’s aan de ene kant, de Adélies en Chinstraps aan de andere — en trek de lijn twee keer. In deze steekproef komt er bij de niet-Gentoo’s 29.49 uit, en bij de Gentoo’s 54.62.

Kijk daar even naar. 49.69 ligt tussen die twee in, en het is geen van beide.

En het is ook niet netjes hun gemiddelde — dat zou te makkelijk zijn. Weeg de twee hellingen naar groepsgrootte (219 niet-Gentoo’s tegen 123 Gentoo’s) en je komt uit op 38.53. Je eerste getal ligt daar ruim elf gram bóven.

Dat komt doordat één lijn door alle pinguïns twee dingen tegelijk moet doen: het verband bínnen elke groep volgen, én de afstand tússen de groepen overbruggen. En die tweede taak duwt hem omhoog, want de Gentoo’s zijn niet alleen zwaarder maar hebben óók langere vinnen. Trek je een lijn door niets anders dan de twee groepsgemiddelden, dan is die zelfs 53.73.

Je eerste getal was dus niet fout gerekend. Het was een menging — en niet eens een eerlijke.

En dat roept meteen de vraag op waar deze oefening over gaat. Is die kloof echt, of kan het toeval van 342 beesten hem namaken? En als hij echt is — hoe schrijf je dan een model op dat niet één helling wil, maar twee?

speel het

Twee lijnen: één groep tegenover de rest

dummy · interactieterm · simple slope

OpmerkingEerst zoals in het boek — de twaalf diamantjes

Via het menu

1. Analyze → Regression → Linear, glans als Dependent.
2. gladheid, D en DxG als Independent(s) — DxG is het product en staat al als kolom in het bestand.
3. In de kolom B staat gladheid op 6.136 en DxG op 2.637, met .054 onder Sig.

Via syntax

REGRESSION
  /DEPENDENT glans
  /METHOD=ENTER gladheid D DxG.

D is een kolom met nullen en enen: nul voor golfje, één voor sterretje. Zo’n nul-of-één-kolom heet een dummy, en hij is het eenvoudigste soort moderator die er bestaat — twee groepen, meer niet. De interactie gladheid × merk komt uit op b = 2.64 met p = .054: bij het ene merk telt een punt gladheid harder mee voor de glans dan bij het andere. Eén helling is dan niet meer genoeg.

Nu jij — dezelfde beesten als in oefening 3.2, nieuwe vraag. Is die 49.69 één helling, of zijn het er twee?

De pinguïns hebben geen kant-en-klare dummy in het bestand, dus die maak je zelf: één kolom die zegt of een pinguïn een Gentoo is of niet. En het product er meteen bij, want dat is wat de interactieterm ís: de twee voorspellers met elkaar vermenigvuldigd.

OpmerkingIn SPSS · twee kolommen erbij rekenen

Via het menu

1. Open penguins.csv: File → Open → Data, bestandstype op CSV.
2. Transform → Compute Variable. Target Variable: gentoo. Numeric Expression: soort = "Gentoo". Klik OK — SPSS zet een 1 waar het klopt en een 0 waar niet.
3. Nog een keer Transform → Compute Variable. Target: vinXgentoo, expression: vinlengte * gentoo.

Via syntax

COMPUTE gentoo = (soort = "Gentoo").
COMPUTE vinXgentoo = vinlengte * gentoo.
EXECUTE.

FREQUENCIES gentoo.

Ter controle: gentoo moet 219 nullen en 123 enen tellen.

Nu het model. De drie kolommen samen — vinlengte, gentoo en hun product — zijn de toestemming: reken het verband tussen vinlengte en gewicht uit, maar laat de Gentoo’s er een eigen helling op na houden.

OpmerkingIn SPSS · trek eraan

Via het menu

1. Analyze → Regression → Linear.
2. gewicht als Dependent.
3. vinlengte, gentoo én vinXgentoo als Independent(s).
4. Lees in de tabel Coefficients de kolom B af.

Via syntax

REGRESSION
  /STATISTICS COEFF R ANOVA
  /DEPENDENT gewicht
  /METHOD=ENTER vinlengte gentoo vinXgentoo.

In de kolom B staat vinlengte op 29.494 — de helling bij gentoo = 0 —, gentoo op −4841.807 en vinXgentoo op 25.129, met .000 onder Sig. (dat is p < .001). In Model Summary staat R Square op .785.

Vier getallen, en ze doen alle vier iets anders. Het loont om er even bij stil te staan, want dit is de tabel die je de rest van de oefening blijft lezen:

• vinlengte is de helling bij gentoo = 0, dus bij de niet-Gentoo’s: 29.49 gram per millimeter.
• gentoo is het hoogteverschil bij vinlengte = 0 — een vin van nul millimeter, dus dat getal woont op een adres dat niet bestaat. Laat het staan; in oefening 10.2 gaan we er iets aan doen.
• vinXgentoo is waar het om gaat: 25.13 gram per millimeter extra voor de Gentoo’s. Niet hun helling — het verschil tussen hun helling en die van de rest.
• En die p < .001 zegt: zo’n kloof tussen twee hellingen zie je bijna nooit als er in werkelijkheid geen kloof is.

De helling van de Gentoo’s zelf staat er dus niet; die tel je op. En dat is de hele truc:

29.49 + 25.13 = 54.62 gram per millimeter bij de Gentoo’s

Twee hellingen, allebei uit één tabel: 29.49 en 54.62. Zulke hellingen binnen één groep heten simple slopes, en je hebt er niets voor nodig behalve optellen. Geloof je het niet, reken ze dan los na — het moet op de komma hetzelfde geven:

OpmerkingIn SPSS · ter controle, de twee lijnen los

Via het menu

1. Data → Select Cases → If, typ gentoo = 0, Continue, OK.
2. Analyze → Regression → Linear: gewicht op vinlengte. Je vindt 29.494.
3. Zet de If-regel op gentoo = 1 en draai hem opnieuw: 54.623.
4. Zet Select Cases daarna weer op All cases — anders rekent alles hierna op één soort.

Via syntax

USE ALL.
TEMPORARY.
SELECT IF (gentoo = 0).
REGRESSION /DEPENDENT gewicht /METHOD=ENTER vinlengte.

TEMPORARY.
SELECT IF (gentoo = 1).
REGRESSION /DEPENDENT gewicht /METHOD=ENTER vinlengte.

TEMPORARY geldt maar voor één analyse — daarna rekent SPSS vanzelf weer over alle pinguïns. Handiger dan SELECT IF los, want dan kun je het niet vergeten terug te zetten.

En daar ligt je 49.69 uit oefening 3.2 uit elkaar. Eén lijn door twee groepen die elk hun eigen lijn hebben, geeft een getal dat bij geen van beide groepen hoort — te steil voor de Adélies en Chinstraps, te flauw voor de Gentoo’s. Het is een gemiddelde waar niemand woont.

Teken het maar, dan zie je het in één keer:

OpmerkingIn SPSS · de twee lijnen tekenen

Graphs → Chart Builder → Scatter/Dot → Simple Scatter. Sleep vinlengte naar de X-as en gewicht naar de Y-as, en zet gentoo in het vakje Set color rechtsboven. Klik OK.

Dubbelklik daarna in de uitvoer op het plaatje om de Chart Editor te openen, en klik op Add Fit Line at Subgroups. SPSS trekt dan een eigen lijn per groep.

Zie je twee lijnen die uit elkaar lopen — dan klopt het. De ene lijn uit oefening 3.2 zou er dwars tussendoor gaan.

Nog twee lijnen, maar dan parallel: de sekse

niet-significante interactie · hoogte tegenover steilheid

Voordat je dit doortrekt naar meer groepen, eerst een tegenvoorbeeld — want anders ga je overal waaiers zien. In penguins.csv staat nóg een kolom met twee groepen: sekse. Mannetjes zijn duidelijk zwaarder dan vrouwtjes; in deze steekproef wegen ze gemiddeld 4545.68 gram tegen 3862.27 — een verschil van 683.41 gram. Dan zal een millimeter vin bij mannetjes ook wel zwaarder tellen?

OpmerkingIn SPSS · dezelfde zet, andere groep

Analyze → General Linear Model → Univariate: gewicht als Dependent Variable, sekse als Fixed Factor, vinlengte als Covariate. Klik op Model → Build custom terms en zet er vinlengte, sekse én de interactie vinlengte*sekse in.

Kijk in Tests of Between-Subjects Effects naar de rij vinlengte * sekse: onder F staat .010 en onder Sig. .920. (SPSS laat de nul ook bij een F weg; in een zin schrijf je F(1, 329) = 0.01.) De negen pinguïns zonder genoteerde sekse vallen er vanzelf uit.

Wil je de twee hellingen los zien: Data → Select Cases → If met sekse = "female" respectievelijk sekse = "male", en per groep een gewone regressie van gewicht op vinlengte. Je vindt 47.153 en 46.859.

47.15 tegen 46.86. Die liggen zo goed als op elkaar, en de interactie is dan ook nergens: p = .92. De mannetjes zijn zwaarder, maar een millimeter vin weegt bij hen niet zwaarder.

Dat is het onderscheid dat de rest van deze oefening draagt. “Mannetjes zijn zwaarder” is een verschil in hoogte — twee wolken, de ene boven de andere, met lijnen die keurig parallel lopen. Een interactie is een verschil in steilheid — lijnen die uit elkaar waaieren. Twee groepen kunnen ver uit elkaar liggen en tóch precies dezelfde helling hebben, en dan is er geen interactie te bekennen.

Drie lijnen: de hele soort erbij

nominale moderator · modelvergelijking

Een dummy kon maar twee groepen aan. Maar soort heeft er drie — Adélie, Chinstrap, Gentoo — en dat verandert meer dan je zou denken.

OpmerkingIn SPSS · drie soorten in één model

Via het menu

1. Analyze → General Linear Model → Univariate.
2. gewicht bij Dependent Variable, soort bij Fixed Factor(s), vinlengte bij Covariate(s).
3. Model → Build custom terms: zet vinlengte en soort als losse hoofdeffecten in het model, selecteer ze daarna sámen, kies Interaction en klik ze naar Model. Nu staat vinlengte*soort erin.
4. Kijk in Tests of Between-Subjects Effects naar de rij vinlengte * soort: onder F 5.532 en onder Sig. .004.
5. Wil je de waaier zien: Plots, vinlengte op de horizontale as en soort bij Separate Lines, dan Add en Continue.

Via syntax

UNIANOVA gewicht BY soort WITH vinlengte
  /DESIGN=vinlengte soort vinlengte*soort.

Merk op wat SPSS hier voor je doet — en wat het je daarmee ontneemt. In het R-broertje zie je bij drie soorten twee losse interactieregels. De Adélie is daar het ijkpunt — alfabetisch de eerste — en de andere twee soorten worden ertegen afgezet: de Chinstraps lopen 1.74 gram per millimeter steiler dan de Adélies (en dat is niets, p = .82), en de Gentoo’s 21.79 steiler (en dat is wél iets, p = .002). Twee regels die je apart moet lezen en die elk maar de helft van het verhaal vertellen. SPSS legt daar meteen één F overheen: F(2, 336) = 5.53, met twee vrijheidsgraden, want er kwamen twee regels bij. Dat ene getal is het antwoord op de vraag “verschilt de helling érgens tussen de soorten?” — en dat is precies de vraag waar één coëfficiënt geen antwoord meer op geeft.

En die ene F komt niet uit één tabel maar uit twee modellen: één waarin alle soorten dezelfde helling moeten delen, tegenover één waarin elke soort een eigen helling mag hebben. Zo’n modelvergelijking stelt één vraag: past het grote model beter dan het kleine? SPSS legt die twee voor je naast elkaar en drukt alleen de uitslag af — vandaar dat de rapportagezin verderop over twee modellen praat terwijl jij er één hebt aangeklikt.

Dezelfde trechter als bij de eenweg ANOVA — daar toetste je eerst met één F of de drie soortgemiddelden überhaupt van elkaar verschilden, en pas daarna welk paar het deed. Eerst overkoepelend of er íéts is, dan pas waar het zit. Hier zit het bij de Gentoo’s.

De drie hellingen los:

OpmerkingIn SPSS · de helling per soort

* Adelie: de B van vinlengte wordt 32.83.
TEMPORARY.
SELECT IF (soort = "Adelie").
REGRESSION /DEPENDENT gewicht /METHOD=ENTER vinlengte.

* Chinstrap: de B van vinlengte wordt 34.57.
TEMPORARY.
SELECT IF (soort = "Chinstrap").
REGRESSION /DEPENDENT gewicht /METHOD=ENTER vinlengte.

* Gentoo: de B van vinlengte wordt 54.62.
TEMPORARY.
SELECT IF (soort = "Gentoo").
REGRESSION /DEPENDENT gewicht /METHOD=ENTER vinlengte.

32.83, 34.57 en 54.62 gram per millimeter vin. Twee soorten die vrijwel samenvallen, en één die er ver bovenuit steekt. Trek de flauwste van de steilste af — 54.62 − 32.83 — en je krijgt 21.79. Dat is exact de Gentoo-regel van het R-broertje hierboven, en dat is geen toeval: de Adélie is daar het ijkpunt én toevallig ook de flauwste, dus “hoeveel steiler dan de Adélie” en “hoeveel tussen de steilste en de flauwste” zijn hier hetzelfde getal. Onthoud het, want in de volgende trede komt het terug. Merk op dat de Gentoo’s op precies dezelfde 54.62 uitkomen als in de eerste trede — logisch, het is dezelfde groep pinguïns met dezelfde lijn. Wat veranderde is waarmee je ze vergelijkt: eerst met alle andere pinguïns op één hoop, nu met elke soort apart.

Zes hokjes: twee groeperingen tegelijk

tweeweg-ANOVA · celgemiddelde · type III

Tot nu toe modereerde een groep het effect van een getal op het gewicht. Maar twee groeperingen kunnen elkaar ook onderling moduleren, en dan blijft er van de lijnen niets over — je houdt hokjes over.

Zet sekse (twee groepen) naast soort (drie groepen) en je krijgt zes hokjes. Dat heet een tweeweg-ANOVA, of een factoriële ANOVA; dat is hetzelfde. Twee groeperingen, dus tweeweg — net zoals Oefening 9.4 er één had en eenweg heette. De vraag is dan niet meer hoe steil een lijn loopt, maar of het gemiddelde per hokje zich netjes gedraagt.

OpmerkingIn SPSS · eerst de zes hokjes zelf

* de negen pinguins zonder sekse laten we hier expliciet weg.
USE ALL.
SELECT IF (sekse = "male" OR sekse = "female").
EXECUTE.

* gemiddelde en aantal per hokje.
MEANS gewicht BY sekse BY soort
  /CELLS=MEAN COUNT.

Via het menu: Analyze → Compare Means → Means, gewicht bij Dependent List, sekse bij Layer 1 en soort bij Layer 2 (klik op Next).

	Adélie	Chinstrap	Gentoo
vrouwtje	3368.8 g (n = 73)	3527.2 g (n = 34)	4679.7 g (n = 58)
mannetje	4043.5 g (n = 73)	3939.0 g (n = 34)	5484.8 g (n = 61)

Lees die tabel eens per kolom. Bij de Adélies zijn de mannetjes 674.7 gram zwaarder dan de vrouwtjes, bij de Chinstraps 411.8, bij de Gentoo’s 805.1. Het sekseverschil is er bij alle drie — maar het is niet overal even groot. Dát is de interactie: het verschil in verschil. Niet of sekse uitmaakt, maar of het bij elke soort evenveel uitmaakt.

En let op wat je nog steeds kunt: je kunt dit tekenen. Zes punten, twee lijntjes die elkaar volgen of niet. Dat is wat de hele 10.1 bij elkaar houdt — of de moderator nu twee, drie of zes hokjes maakt, je kunt het plaatje voor je zien.

OpmerkingIn SPSS · de tweeweg-ANOVA

Via het menu

1. Analyze → General Linear Model → Univariate.
2. gewicht bij Dependent Variable; sekse én soort bij Fixed Factor(s). Er is geen covariaat meer — allebei de voorspellers zijn groeperingen.
3. Model: laat Full factorial aan staan, dan zet SPSS de interactie er zelf in. Controleer onder Sum of squares dat er Type III staat; dat is de standaard.
4. Options: vink Estimates of effect size aan (dat geeft partiële η²).
5. Plots: soort op de horizontale as, sekse bij Separate Lines, dan Add — lijnen boven staafjes, want alleen bij lijnen zie je of ze parallel lopen.

Via syntax

UNIANOVA gewicht BY sekse soort
  /METHOD=SSTYPE(3)
  /PLOT=PROFILE(soort*sekse)
  /PRINT=ETASQ DESCRIPTIVE
  /DESIGN=sekse soort sekse*soort.

In Tests of Between-Subjects Effects staat bij sekse F = 311.838, bij soort 746.924 en bij sekse * soort 8.757, alle drie met .000 onder Sig. — dat is p < .001. In de kolom Partial Eta Squared staat .488, .820 en .051; dat is de partiële η², en hoe die zich tot de gewone verhoudt, lees je bij antwoord g).

Wie krijgt het overlapstuk? Type I en type III

kwadratensommen · type III

Eén ding verdient uitleg, ook al hoef je er in SPSS bijna niets voor te doen — juist daarom.

Teken twee cirkels die elkaar deels overlappen. De ene is alles wat sekse van het gewicht kan verklaren, de andere alles wat soort kan verklaren. In het overlapstuk zit variantie waar ze allebei aanspraak op maken — en iemand moet beslissen wie hem krijgt.

Type I geeft hem aan wie het eerst genoemd wordt. Zet je sekse vooraan in het /DESIGN, dan pakt sekse het overlapstuk en houdt soort alleen wat overblijft; zet je soort vooraan, dan is het andersom. De uitkomst hangt dus af van de volgorde.

Type III geeft hem aan niemand. Elke factor krijgt alleen wat híj als enige kan verklaren. Dat is onafhankelijk van de volgorde, en dat is wat we hier aanhouden — het is ook wat je bij de meeste opleidingen en in de meeste tijdschriften tegenkomt.

SPSS zet type III standaard aan, en je vindt de keuze onder Model → Sum of squares. Kijk daar één keer, ook al ga je er niets veranderen — want het is precies zo’n instelling waarvan je moet wéten dat hij bestaat. En achter die keuze zit nog een tweede, die SPSS je helemaal uit handen neemt: hoe je groepen in getallen worden omgezet, de codering of het contrasttype. Type III heeft een andere codering nodig dan die R standaard gebruikt. SPSS regelt dat zelf; in R moet je het er zelf bij zeggen, en vergeet je dat, dan rekent R gewoon door en geeft andere getallen, zonder een kik.

Kijk maar wat er met de F voor sekse gebeurt onder vier varianten van dezelfde data:

hoe je het uitrekent	F voor sekse	F voor de interactie
type I, sekse eerst opgeschreven	406.14	8.76
type I, soort eerst opgeschreven	387.46	8.76
type III (de standaard in SPSS)	311.84	8.76
type III, verkeerd gecodeerd (de val in R)	173.55	8.76

Vier verschillende antwoorden op “heeft sekse effect op gewicht”, en één ervan is minder dan de helft van een andere. Maar kijk naar de rechterkolom: de interactie is in alle vier precies 8.76. Dat is geen toeval — de interactie is de term die als laatste komt, wat je ook doet, dus er valt voor hem niets te verdelen.

En vergelijk je je uitkomst ooit met die van een medestudent, kijk dan éérst naar de interactie. Komt die overeen terwijl de hoofdeffecten verschillen, dan heeft niemand zich verrekend — dan heeft een van jullie tweeën een andere kwadratensom gebruikt. Wélke van de twee, zegt die vergelijking je niet; daarvoor moeten jullie allebei opschrijven wat je gedaan hebt. Vandaar dat het in de rapportage hoort.

Wil je het zelf zien: zet Sum of squares eens op Type I, draai opnieuw, en kijk wat er met de rijen sekse en soort gebeurt en wat níét met sekse * soort. Zet hem daarna terug op Type III.

schud het

Duizend werelden waarin de soort niets modereert

soort-labels husselen · kloof tussen hellingen

Terug naar de drie lijnen. Is die kloof tussen 32.83 en 54.62 echt, of kan het toeval hem namaken? Je zou dat willen uitproberen door vals te spelen. Deze keer husselen we de soort-labels los van de pinguïns: elke pinguïn houdt z’n eigen vinlengte en gewicht, maar krijgt een willekeurig soort-kaartje opgeplakt. Adélie, Gentoo, Chinstrap — lukraak rondgestrooid.

Dat husselen koppelt de soort los van het vin-gewicht-verband. Je haalt met eigen handen weg dat een bepaalde soort bij een bepaalde helling hoort. In zo’n losgekoppelde wereld kán de ene soort geen steilere lijn meer hebben dan de andere — als de hellingen dan tóch verschillen, is dat puur toeval van de verdeling.

En hier moet ik eerlijk zijn: dat schudden is geen knop in SPSS. SPSS rekent één keurige uitkomst uit; het door elkaar husselen en duizend keer opnieuw kijken is code-werk. Voor deze interactie is er (nog) geen browser-speeltje — dus voor de schud-ervaring draai je het R-broertje, waar het husselen een paar regels code is. Dat is geen gemis van jou of van SPSS: het boek doet het bewust zo, de simulatie leeft in de code en in de speeltjes.

Wat je daar ziet: duizend werelden waarin de soort de vin-gewicht-relatie niet modereert — want in elke geschudde wereld is de soort losgeknipt van de helling. De kloof tussen de hellingen danst rond een paar gram: soms toevallig wat groter, meestal klein. En dan de echte kloof — 21.79 gram per millimeter tussen de steilste (Gentoo) en de flauwste (Adélie) — valt ver buiten dat hele bergje. In duizend keer schudden haalde geen enkele geschudde wereld de echte kloof. De echte pinguïns weten iets wat de geschudde niet weten: bij de Gentoo’s telt een langere vin écht zwaarder mee.

snap het

Onder welke conditie doet iets ertoe

interactie · moderatie · verschil in verschil

Wat je hier drie keer zag, heeft één naam: een interactie, in de wandelgangen ook moderatie. En de nette formulering is de moeite waard om precies over te nemen, want de slordige versie kost je later punten: het effect van vinlengte op gewicht verandert in grootte en/of richting met het niveau van de soort. Niet “vinlengte interacteert met soort” — dat zegt niet wát er met wát gebeurt.

De kortste weg naar waar het echt over gaat, loopt even bij de pinguïns vandaan. Zou wel of geen therapie uitmaken voor het welzijn van mensen? Ja, hè. Maar ga nu eens naar een moeilijk land waar geen eten is, waar mensen verhongeren. Geef sommige van die hongerende mensen therapie en sommige geen therapie — zou dat verschil maken? Nee: als je geen eten hebt, heeft therapie ook geen zin.

Therapie geeft dus soms een verschil in welzijn, maar alleen in bepaalde situaties. Bij een interactie-effect is dát de vraag: wanneer, onder welke conditie, heeft een variabele een effect op de uitkomst?

Dáár gaat het om. Een interactie is geen ingewikkeldere versie van een effect — het is de erkenning dat de vraag “hoeveel effect heeft X op Y?” soms geen antwoord heeft zonder de vervolgvraag “bij wie, en wanneer?” Bij de pinguïns: “hoeveel extra gewicht per millimeter vin?” heeft geen antwoord zonder “bij welke soort?”

En daarom loog die 49.69 uit de prikkel niet, maar antwoordde hij op een vraag die niet goed gesteld was.

Drie dingen om vast te houden, want ze komen alle drie terug.

Eén: hoogte is geen steilheid. De sekse maakte de pinguïns 683.41 gram zwaarder en veranderde niets aan de helling. Dat is een hoofdeffect, geen interactie. Twee wolken op verschillende hoogte met parallelle lijnen — verschil, maar geen verschil in verschil.

Twee: bij meer dan twee groepen stopt de coëfficiënt met antwoorden. Twee groepen geven één interactieregel die je gewoon kunt aflezen. Drie groepen geven er twee, en dan heb je een modelvergelijking nodig om te weten of er überhaupt iets is. Dat is geen extra formaliteit; het is dezelfde reden waarom je bij drie gemiddelden een eenweg ANOVA doet en niet drie t-toetsen.

Drie: een hoofdeffect lees je aan de randen af. Bij de zes hokjes vroeg je niet naar één cel maar naar het gemiddelde van een hele rij of kolom — de marginalen. Doe het even met lengtes: in Nederland zijn de mannen 1.80 en de vrouwen 1.70, in Japan 1.70 en 1.65. Vraag je “er komt een man binnen, hoe lang is die?”, dan gebruik je het marginaal van de mannen — (1.80 + 1.70) / 2 = 1.75 — en bij een vrouw (1.70 + 1.65) / 2 = 1.675. Die twee getallen gaan enkel en alleen over het hoofdeffect van geslacht op lengte, niet over land, en het verschil ertussen is 7.5 centimeter. Zo lees je ook de pinguïn-tabel: de rijen voor sekse, de kolommen voor soort, en de manier waarop de hokjes van hun eigen randen afwijken is de interactie.

jouw beurt

Dezelfde zes hokjes, een andere meetlat

tweeweg-ANOVA · type III · parallel

Jouw beurt. Je hebt net gezien dat sekse en soort samen iets doen met het gewicht van een pinguïn: het sekseverschil is groter bij de Gentoo’s dan bij de Chinstraps. Nu dezelfde twee groeperingen, dezelfde zes hokjes — maar je meet iets anders: de snavellengte. De vraag: is het sekseverschil in snavellengte ook niet overal even groot?

Zet eerst klaar, en beantwoord daarna de vragen. De laatste heet met opzet Z) en niet l): de aannames staan altijd achteraan, en die vreemde letter zegt “en ook, elke keer, deze”. En onder Tentamenvragen, aan het eind van deze oefening, staan dezelfde onderwerpen nog een keer in de vorm waarin een tentamen ze stelt.

OpmerkingIn SPSS · zet klaar

Via het menu

1. Houd de selectie aan die de negen pinguïns zonder sekse weglaat.
2. Analyze → General Linear Model → Univariate: snavellengte bij Dependent Variable; sekse én soort bij Fixed Factor(s).
3. Model: laat Full factorial aan staan en controleer dat Sum of squares op Type III staat.
4. Options: vink Estimates of effect size aan.

Via syntax

UNIANOVA snavellengte BY sekse soort
  /METHOD=SSTYPE(3)
  /PRINT=ETASQ DESCRIPTIVE
  /DESIGN=sekse soort sekse*soort.

OpmerkingJouw beurt

a) Hoeveel pinguïns zitten er in de zes hokjes, en hoeveel per hokje? Draai MEANS snavellengte BY sekse BY soort /CELLS=MEAN COUNT STDDEV. — via het menu: Analyze → Compare Means → Means, snavellengte bij Dependent List, sekse bij Layer 1 en soort bij Layer 2 (klik op Next). Waarom is het totaal geen 342? (zes getallen, één totaal, en één zin)

b) Lees in dezelfde MEANS-uitvoer het gemiddelde per hokje af en zet ze in een tabel van twee rijen bij drie kolommen. (zes getallen)

c) Trek per soort de vrouwtjes van de mannetjes af. Zijn die drie kloven ongeveer even groot? (drie getallen, en hoeveel de grootste en de kleinste schelen)

d) Schrijf de nulhypothese voor de interactie voluit op, in woorden én in symbolen. (één zin, en die ook in symbolen)

e) Toets de interactie — de rij sekse * soort in Tests of Between-Subjects Effects. (rapporteer F(df₁, df₂) en p)

f) Rapporteer nu ook de twee hoofdeffecten. (per hoofdeffect F(df₁, df₂) en p)

g) Lees de drie effectgroottes af in de kolom Partial Eta Squared — en let op dat woord partial: dit is een ander getal dan de gewone η², en het antwoord laat zien hoe de twee zich verhouden. Welke van de drie doet het meeste werk? (drie η²’s)

h) In R kun je deze analyse stukmaken met één vergeten regel code; SPSS heeft die val niet — type III staat er goed opgezet achter één knop. Maar de keuze eronder kun je wél zelf bedienen: zet Model → Sum of squares op Type I en draai opnieuw (werk je via syntax: maak van de 3 in SSTYPE(3) een 1). Welke F verandert er, en welke niet? (twee getallen voor sekse, één voor de interactie, en één zin over waaróm de interactie stilstaat)

i) Teken het via Plots in hetzelfde Univariate-venster: soort op de horizontale as, sekse bij Separate Lines, dan Add — in syntax /PLOT=PROFILE(soort*sekse). Leg het naast het eerdere plaatje van het gewicht. (twee plaatjes, en wat je aan de lijnen ziet)

j) Waarom moet je in je rapportagezin schrijven dát het type III-kwadratensommen zijn? (één zin, met het getal uit h) erin)

k) Bij het gewicht wás er een interactie, bij de snavellengte niet — op precies dezelfde 333 pinguïns, met precies dezelfde twee groeperingen. Wat zegt dat over waar een interactie in zit?

Z) Mag je alles hierboven geloven? Loop de aannames na: is de spreiding in snavellengte ongeveer gelijk over de zes hokjes (de kolom Std. Deviation in de MEANS-uitvoer van a)), en telt elke pinguïn maar één keer mee? En dan de vraag die bij dít ontwerp hoort: kijk nog eens naar je zes celaantallen uit a) — wat zou er met de hele type I/type III-kwestie gebeuren als die zes gelijk waren geweest?

OpgeletAntwoord — open na je eigen poging

a) Vrouwtjes 73, 34 en 58; mannetjes 73, 34 en 61 — samen 333. Geen 342, want bij negen pinguïns is de sekse nooit vastgesteld, en de selectie laat die hier expliciet weg. Onthoud die zes getallen; bij Z) blijken ze ertoe te doen.

b)

	Adélie	Chinstrap	Gentoo
vrouwtje	37.26	46.57	45.56
mannetje	40.39	51.09	49.47

c) 3.13, 4.52 en 3.91 mm. Het sekseverschil is er bij alle drie de soorten, en het scheelt tussen de grootste en de kleinste maar 1.39 mm. Vergelijk dat met het gewicht, waar diezelfde drie kloven 674.7, 411.8 en 805.1 gram waren — daar was de grootste bijna twee keer de kleinste.

d) De nulhypothese: het sekseverschil in snavellengte is bij alle drie de soorten even groot. In symbolen: \(H_0:\ \mu_{\text{man},j} - \mu_{\text{vrouw},j}\) is hetzelfde voor elke \(j\), waarin \(j\) een aftelnummer voor de soort is. Je mag het ook schrijven als alle interactietermen in de populatie zijn nul; één van de twee is genoeg.

e) F(2, 327) = 2.28, p = .103. Niet significant: deze keer lopen de lijnen zo goed als parallel.

f) Sekse F(1, 327) = 208.06, p < .001. Soort F(2, 327) = 650.21, p < .001. Allebei ruimschoots.

g) Partiële η² = .39 voor sekse, .80 voor soort en .01 voor de interactie (in de kolom Partial Eta Squared staat .389, .799 en .014). De soort doet vrijwel al het werk; dat mannetjes langere snavels hebben komt daar als een keurig parallelle laag bovenop.

Schrik niet als je buurvrouw met R hier .11, .70 en .00 heeft staan — jullie hebben allebei gelijk. De gewone η² (die het R-broertje geeft) is het aandeel van een effect in de tótale spreiding; de partiële η² (die SPSS geeft) is zijn aandeel in wat er overblijft als de andere effecten hun deel al hebben gehad — een kleinere taart, dus een groter stuk. De rangorde is in allebei dezelfde. SPSS drukt de gewone η² niet af; die drie getallen komen uit het R-broertje. Zeg er in een rapportage daarom altijd bij welke je geeft — schrijf “partiële η² = .39”, niet kaal “η² = .39”.

h) Voor sekse: 208.06 onder type III en 219.23 onder type I met sekse vooraan in het design. Voor de interactie in allebei de gevallen 2.28. De interactie staat stil omdat hij als laatste komt, wat je ook doet: er valt voor hem niets meer te verdelen. Precies wat je bij het gewicht in de vier-varianten-tabel zag.

i) Bij de snavellengte lopen de twee lijnen zo goed als parallel: overal ongeveer vier millimeter tussen de vrouwtjes en de mannetjes. Bij het gewicht liepen ze zichtbaar uiteen — bij de Gentoo’s stond het sekseverschil veel wijder open dan bij de Chinstraps. Hoogte tegenover steilheid, en hier is het alleen hoogte.

j) Omdat dezelfde data zonder die vermelding niet na te rekenen is: je kreeg bij h) 208.06 en 219.23 op precies dezelfde 333 pinguïns. Wie niet weet welke van de twee je gebruikte, kan je F niet reproduceren en dus ook niet controleren.

k) Dat een interactie niet in de twee groeperingen zit maar in wat je meet. Sekse en soort zijn in allebei de analyses dezelfde twee kolommen, op dezelfde 333 dieren. Het gewicht van een Gentoo-mannetje loopt anders uit de pas dan zijn snavel. “Sekse en soort interacteren” is dus een onaffe zin — de vraag is altijd: interacteren ze op welke uitkomst?

Z) De spreiding per hokje loopt van 1.56 mm (Chinstrap-mannetjes) tot 3.11 mm (Chinstrap-vrouwtjes) — de grootste is 1.99 keer de kleinste. Dat is krap onder de twee, dus het mag, maar het is geen ruime marge; bij een grensgeval als p = .103 is dat het vermelden waard. Elke pinguïn is één keer gemeten, dus de waarnemingen zijn onafhankelijk.

En dan de tweede helft van de vraag, want dáár zit de winst. Waren de zes hokjes even groot geweest, dan had de hele type I/type III-kwestie niet bestaan. De twee cirkels overlappen alleen doordat de aantallen ongelijk zijn; bij gelijke aantallen valt er niets te verdelen en geven alle varianten hetzelfde getal. Op deze data is dat na te meten: trek 34 dieren uit elk hokje en type I met sekse eerst, type I met soort eerst en type III komen alle drie op dezelfde F uit. Op de échte, scheve verdeling geven ze 219.23, 211.81 en 208.06 — twee van die drie heb je bij h) zelf al op je scherm gehad.

De weg terug, voor als de spreiding wél ver uiteen was gelopen:

• Blijft staan: de zes celgemiddelden bij b) en de drie kloven bij c). Dat zijn beschrijvingen van deze 333 dieren.
• Doe je over: alle drie de F’s bij e) en f), en daarmee je conclusie bij k). Die rusten op één gedeelde restspreiding over de zes hokjes, en die is er dan niet.

rapportage

Schrijf het op als een onderzoeker

rapportagezin · F en p · nul-vondst

OpmerkingRapportage

Een interactie opschrijven klinkt als iets voor de gevorderden, maar het blijft een boodschappenlijstje in zinsvorm: wat vergeleek je, verschilde het, en waar zat het. Twee modelzinnen, één voor elke vorm die je vandaag zag.

Een helling die per groep verschilt:

Om te onderzoeken of het effect van vinlengte op gewicht afhangt van de soort, vergeleken we bij 342 pinguïns twee modellen: één waarin alle soorten dezelfde helling moesten delen, en één waarin elke soort een eigen helling mocht hebben. De hellingen verschilden significant tussen de soorten, F(2, 336) = 5.53, p = .004: bij de Gentoo’s ging een millimeter extra vin samen met meer extra gewicht (54.62 g/mm) dan bij de Adélies (32.83) en de Chinstraps (34.57). Het effect van vinlengte op gewicht werd dus gemodereerd door de soort.

Twee groeperingen tegelijk:

Om te onderzoeken of het effect van sekse op gewicht afhangt van de soort, voerden we bij 333 pinguïns een tweeweg-variantieanalyse uit met sekse en soort als factoren (type III-kwadratensommen). De interactie was significant, F(2, 327) = 8.76, p < .001, η² = .01: het sekseverschil was groter bij de Gentoo’s (805.09 g) dan bij de Chinstraps (411.76 g). Beide hoofdeffecten waren eveneens significant, voor sekse F(1, 327) = 311.84, p < .001, η² = .14, en voor soort F(2, 327) = 746.92, p < .001, η² = .66.

Kijk wat er cursief staat en wat niet. Alléén de symbolen F en p hellen; η² is een Griekse letter en blijft rechtop, en de gewone woorden en de gewichtsgetallen ook. De statistieken krijgen twee decimalen, APA-precies, terwijl de lopende tekst hierboven gerust rondde (“ruim zeshonderd gram”) voor de intuïtie. Een p die kleiner is dan .001 schrijf je niet uit maar als p < .001, en zonder nul ervoor — let op, SPSS drukt in de kolom Sig. vaak .000 af, en dat schrijf je nóóit zo over. Alles staat in de verleden tijd, want je vertelt wat er gevónden werd, en beide zinnen staan op eigen benen: wie er één uit dit blok tilt, weet nog steeds wie er gemeten werd, wat er gemeten werd, en waar de interactie zat.

In geen van beide zinnen staat welk programma je gebruikt hebt. Dat is met opzet: een methodezin zegt wát je gedaan hebt, niet welke knop je hebt aangeklikt of welke regel je hebt getypt. Zag jij zelf maar één tabel in plaats van twee modellen? Dan legde je programma die twee voor je naast elkaar, en het getal is hetzelfde. Twee onderzoekers die dezelfde pinguïns dezelfde vraag stellen, hebben niet twee verschillende methoden gebruikt — en precies díé verwarring hoort een methodesectie weg te nemen.

Merk ook op dat de tweede zin zégt dat het type III-kwadratensommen zijn. SPSS had dat al aan staan, dus je hoefde er niets voor te doen — maar je moet het wél vermelden. Dat is geen pronken met vaktaal — je zag hierboven dat dezelfde data vier verschillende F-waarden kan opleveren, dus zonder die vermelding kan niemand jouw getal narekenen.

Nog één ding over die η². SPSS geeft onder Estimates of effect size de partiële η², en dat is een ander getal dan de gewone. Voor de interactie is de gewone η² = .01 en de partiële η² = .05. Zeg er dus altijd bij welke van de twee je rapporteert; ze zijn niet uitwisselbaar.

Jouw beurt: schrijf zelf de rapportage-zin voor de taak hierboven — de snavellengte. Die interactie was juist níét significant (F(2, 327) = 2.28, p = .10), en ook een nul-vondst rapporteer je netjes op: dat het sekseverschil in snavellengte bij alle drie de soorten ongeveer even groot was, is een echt resultaat. De modelzinnen hierboven mag je lenen; hardop voorlezen mag ook.

tentamen

Tentamenvragen

interactieterm aflezen · hoogte tegenover steilheid · modelvergelijking · marginalen

Deze zes hebben de vorm waarin een tentamen dit onderwerp stelt: vier opties, en precies één is de beste — de andere drie kunnen best waar zijn en toch niet het beste antwoord. Bij vraag 2 reken je; bij de rest kies je.

OpmerkingTentamenvragen

1. In de regressie van gewicht op vinlengte, gentoo en hun product vinXgentoo staat de regel vinXgentoo op 25.13 gram per millimeter. Wat is dat getal?

1. De helling van gewicht op vinlengte bij de Gentoo’s.
2. Hoeveel steiler de Gentoo’s lopen dan de andere pinguïns.
3. Het gewichtsverschil tussen de Gentoo’s en de andere pinguïns.
4. De helling van gewicht op vinlengte bij de niet-Gentoo’s.

2. In dezelfde tabel staat vinlengte op 29.49 en vinXgentoo op 25.13. Hoe steil loopt de lijn van de Gentoo’s zelf, in gram per millimeter vin?

1. 25.13
2. 38.53
3. 49.69
4. 54.62

3. De mannetjes wegen gemiddeld 683.41 gram meer dan de vrouwtjes, en de interactie tussen vinlengte en sekse komt op p = .92. Welke uitspraak is de beste?

1. De sekse verschuift de wolk omhoog en verandert de helling niet.
2. De sekse doet niets voor het gewicht, want de interactie is niet significant.
3. Bij de mannetjes heeft vinlengte geen effect op gewicht.
4. Met een grotere steekproef zou deze interactie wél significant worden.

4. Bij soort — drie groepen — staan er in een coëfficiëntentabel twee interactieregels, zoals je hierboven bij het R-broertje las: Chinstrap +1.74 en Gentoo +21.79 gram per millimeter, met p = .82 en p = .002. Waarom heb je daarnaast nog een modelvergelijking nodig?

1. Omdat de tabel geen regel voor de Adélies heeft, en die soort dus ongetoetst blijft.
2. Omdat twee losse toetsen op dezelfde data je twee keer de kans op een toevalstreffer geven.
3. Omdat de vraag of de helling érgens tussen de soorten verschilt nergens in de tabel staat.
4. Omdat de twee coëfficiënten alleen kloppen zolang je de Adélie als ijkpunt neemt.

5. Je rekent hetzelfde tweeweg-model op vier manieren uit. De F voor sekse komt op 406.14, 387.46, 311.84 en 173.55 — en de F voor de interactie alle vier de keren op 8.76. Waaraan ligt dat?

1. Alleen hoofdeffecten hebben kwadratensommen; een interactie heeft ze niet.
2. De interactie komt als laatste, dus er valt voor hem niets meer te verdelen.
3. De interactie is ongevoelig voor het contrasttype, omdat hij geen hoofdeffect is.
4. De vier manieren verschillen alleen in de volgorde waarin je de factoren opschrijft, en een interactie heeft geen volgorde.

6. Bij het gewicht komt de interactie tussen sekse en soort op F(2, 327) = 8.76, p < .001. Bij de snavellengte, op precies dezelfde 333 pinguïns en met dezelfde twee groeperingen, op F(2, 327) = 2.28, p = .10. Welke uitspraak is de beste?

1. Sekse en soort interacteren op gewicht en niet op snavellengte: een interactie zit in wát je meet.
2. De twee analyses spreken elkaar tegen, dus één van de twee is verkeerd uitgerekend.
3. Sekse en soort interacteren niet echt — de ene toets haalde net de grens en de andere net niet.
4. Bij de snavellengte zijn 333 pinguïns te weinig om de interactie aan te tonen.

OpgeletAntwoord — open na je eigen poging

1 b · 2 d · 3 a · 4 c · 5 b · 6 a

Hieronder staat per vraag eerst waaróm het goede antwoord goed is, en daaronder een korte toelichting per foute optie. Heb je er een goed, dan kun je die overslaan.

1. b. Een interactieterm is een verschil tussen hellingen, geen helling. De Gentoo-helling is 54.62 gram per millimeter en staat nergens in de tabel — die tel je zelf op.

• a — de meest gemaakte fout: een coëfficiënt lezen als “de waarde voor deze groep” terwijl er “het verschil met de ijkgroep” staat.
• c — het hoogteverschil staat wél in de tabel, op de regel gentoo, als −4841.81 gram bij een vin van nul millimeter. Twee regels, twee soorten verschil.
• d — dat is 29.49 gram per millimeter: de regel erboven.

2. d. 29.49 + 25.13 = 54.62 gram per millimeter.

• a — de interactieterm zelf: het verschil, niet de helling.
• b — de twee hellingen naar groepsgrootte gewogen (219 tegen 123); een som die klopt en een andere vraag beantwoordt.
• c — de 49.69 uit de prikkel: één lijn door alle 342 pinguïns, en juist het getal dat bij geen van beide groepen hoort.

3. a. Hoogte is geen steilheid. De twee hellingen liggen 0.29 gram per millimeter uit elkaar, de wolken 683.41 gram.

• b — trekt uit een niet-significante interactie de conclusie dat er geen hoofdeffect is; de mannetjes zijn onbetwist zwaarder.
• c — bij de mannetjes is de helling 46.86 gram per millimeter, bepaald niet nul.
• d — de gedachte die bij elk grensgeval opkomt. Ze gaat alleen op als er in de populatie écht een verschil zit; hier weten we dat niet, en in deze 342 dieren is de waaier 0.29 gram per millimeter. Dat is voor een pinguïn van vier kilo niets. Significant is niet hetzelfde als groot.

4. c. Twee losse regels antwoorden niet op één overkoepelende vraag. Daarom leg je twee modellen naast elkaar: één waarin alle soorten dezelfde helling moeten delen, één waarin elke soort er een eigen mag hebben.

• a — de Adélie is juist het ijkpunt waar de andere twee tegen afgezet worden; niet ongetoetst, maar de meetlat.
• b — een echte zorg bij meervoudig toetsen, en niet de reden hier: ook ná corrigeren heb je nog geen getal over de twee regels samen. Oefening 9.4 motiveert de overkoepelende toets net zo: eerst óf er íets is, dan waar.
• d — waar, en geen antwoord: coëfficiënten hangen aan het ijkpunt, en dat is wat een ijkpunt doet.

5. b. De interactie komt altijd als laatste, dus alles wat te verdelen was, is al verdeeld. Dat geldt voor de volgorde waarin je de factoren opschrijft (rij 1 en 2) én voor de codering (rij 3 en 4): een codering verandert waar de nul van een factor ligt, en dus wat een hoofdeffect betekent — maar de interactie is wat er ná beide hoofdeffecten overblijft, en die rest is dezelfde.

• a — onwaar: elke term in een ANOVA heeft een kwadratensom, dat is waar de F uit komt.
• c — de goede uitkomst met de verkeerde reden: niet omdát hij een interactie is, maar omdat hij de laatste term is.
• d — klopt voor de bovenste twee rijen van de tabel en niet voor de onderste twee: type III goed en verkeerd gecodeerd geeft 311.84 tegen 173.55 op dezelfde volgorde. Dát is de val die SPSS voor je dichtzet.

6. a. Twee keer dezelfde 333 dieren, twee keer dezelfde twee groeperingen, en twee verschillende uitkomsten. Dus zit de interactie niet in sekse en soort maar in wat je meet — precies wat vraag k) van Jouw beurt je liet opschrijven.

• b — er is geen tegenspraak: het zijn twee verschillende uitkomstmaten, en het gewicht van een Gentoo-mannetje loopt anders uit de pas dan zijn snavel.
• c — p = .10 en p < .001 zijn geen twee grensgevallen. De eerste ligt er ruim naast en de tweede ruim eronder.
• d — dezelfde 333 dieren droegen de interactie op gewicht wél. Aan de omvang kan het dus niet liggen.

De getallen in deze zes vragen staan allemaal al eerder op deze bladzij. Eén komt er nieuw bij: de 0.29 bij vraag 3. Dat is 47.15 − 46.86, de twee sekse-hellingen uit Nog twee lijnen, maar dan parallel van elkaar afgetrokken — zo kun je hem narekenen zonder hem te geloven.

◠ In het boek

Hier: als de moderator een groep is, kun je het tekenen — twee lijnen, drie lijnen, of zes hokjes.

In het boek: W10 — Verschil in verschil

Daar draait het om de lijnen die niet parallel lopen — het moment waarop je merkt dat “het effect” een tweede vraag nodig heeft: bij wie?

Voetnoten

1. Palmer Penguins — Gorman, Williams & Fraser (2014), Palmer Station Antarctica LTER; via het R-pakket palmerpenguins (CC0). Alle getallen in dit blok zijn op die échte data nagerekend.