De kruistabel en χ²
Samenhang tussen categorieën · crosstab & chi-square
Vooraf, in één zin: χ² zegt óf twee categorische variabelen samenhangen, maar niet hoe sterk, niet welke kant op, en — bij dossierdata — al helemaal niet dat de een de ander veroorzaakt; waarom, staat onderaan bij Wat het niet zegt.
Wat je ziet
In het kort. Een getal met vrijheidsgraden en een p, dat hoort bij een kruistabel / crosstab (of contingency table): χ²(2) = 10.67, p = .005. Dit is de chi-kwadraattoets / chi-square test — hij vraagt of twee variabelen die je in hokjes hebt geteld (categorieën, geen meetlatten) met elkaar samenhangen, of dat de aantallen net zo goed toeval kunnen zijn.
Zo ziet hij eruit in het wild:
Voorbeeldfragment, geschreven in de stijl van een resultatensectie — het artikel bestaat niet.
In a retrospective chart review (N = 150), relapse within one year differed by aftercare intensity: 56% (28/50) of patients without aftercare relapsed, versus 40% (20/50) with standard and 24% (12/50) with intensive aftercare, χ²(2) = 10.67, p = .005, Cramér’s V = .27.
Wat er staat
In het kort. Twee categorische variabelen — nazorg (geen / standaard / intensief) en terugval (ja / nee) — zijn tegen elkaar uitgeteld in een tabel. χ² vergelijkt de getelde aantallen met de aantallen die je zou verwachten als de twee niets met elkaar te maken hadden. p = .005: dit patroon is onwaarschijnlijk als er geen samenhang was. Cramérs V = .27: de samenhang is matig van sterkte.
Nu rustig van voren af aan. De kruistabel heeft de nazorggroepen in de rijen en terugval ja/nee in de kolommen; in elk hokje staat een aantal patiënten. Als nazorg en terugval niets met elkaar te maken hadden, zou elke groep in hetzelfde tempo terugvallen als het geheel — 60 van de 150, dus 40% — en zou je in elke groep van 50 zo’n 20 terugvallen verwachten. Wat je ziet is 28, 20 en 12. χ² telt per hokje op hoe ver het getelde aantal van het verwachte af ligt (in het kwadraat, en afgezet tegen wat verwacht werd); hoe groter de som, hoe verder het geheel van “geen samenhang” af staat. Hier komt die som op 10.67, bij df = 2, en dat is groot genoeg om onwaarschijnlijk te zijn onder toeval: p = .005. En omdat een kaal χ²-getal niets zegt over sterkte, herschaalt Cramérs V het naar een maat tussen 0 en 1 — het categorische neefje van r: .27, matig. Onthoud dat er onder dat ene getal drie groepen zitten die niet even sterk meedoen — dat komt onderaan terug.
Waar het vandaan komt
Eerlijk: dit begrip heeft geen eigen hoofdstuk in het boek — het hoort bij de schil Tellen en kruistabellen. Maar het is geen losse truc. χ² is de tel-variant van precies de vraag die het hele boek stelt: hangen twee dingen samen? Waar de correlatie r en de t-toets met getallen op een meetlat werken, werkt χ² met aantallen in hokjes — zelfde vraag, ander soort data. En het idee van “geteld min verwacht” is hetzelfde residu-idee dat in het boek bij regressie terugkomt: je legt een model van geen samenhang naast de werkelijkheid en kijkt naar wat overblijft.
Twee bruggen die je al gehad hebt in dit werkboek. Vooruit: als de uitkomst terugval-ja/nee is, dan is χ² de eenvoudige versie en de logistische regressie (het odds ratio-blok) de gemodelleerde versie van dezelfde vraag. En de valkuil hieronder — een derde variabele die de samenhang veroorzaakt — is confounding, en dat is de boek-eenheid Meer dan één verschil.
Zelf doen in JASP
⬇ Download de data — terugval_nazorg.csv
Bij dit blok hoort het databestand terugval_nazorg.csv: 150 rijen (de dossiers), drie kolommen — id, nazorg (geen / standaard / intensief) en terugval (ja / nee). De rijen zijn gegenereerd — er zit geen echt dossier in — en samen vormen ze precies de tabel uit het fragment.
- Open het bestand in JASP (menu linksboven → Open).
- Klik in de balk bovenin op Frequencies en kies onder Classical Contingency Tables.
- Sleep
nazorgnaar Rows enterugvalnaar Columns. - Vink onder Statistics aan: χ² en Phi and Cramér’s V. Vink onder Cells aan: bij Counts ook Expected, en bij Residuals zowel Standardized als Adjusted standardized; zet Row aan bij Percentages.
Rechts verschijnt de tabel met per hokje het getelde en het verwachte aantal (alle verwachte aantallen zijn hier 20 terugvallen en 30 niet, per groep van 50). Onder de tabel: χ²(2) = 10.67, p = .005, Cramérs V = .27, en de rijpercentages 56% / 40% / 24%. En kijk dan naar de gecorrigeerde gestandaardiseerde residuen / adjusted standardized residuals — dáár zie je wáár de samenhang zit. Ze staan op een z-achtige schaal (boven de +2 of onder de −2 is opvallend): geen nazorg +2.83 (méér terugval dan verwacht), intensieve nazorg −2.83 (minder dan verwacht), en standaard nazorg 0.00 — exact zoals verwacht. χ² zegt er is een samenhang; de residuen zeggen hier zit hij.
Zelf opschrijven
Voor je eigen Nederlandstalige literatuurstudie:
In een retrospectief dossieronderzoek (N = 150) hing terugval binnen een jaar samen met de intensiteit van de nazorg: van de patiënten zonder nazorg kreeg 56% een terugval, tegen 40% bij standaard en 24% bij intensieve nazorg, χ²(2) = 10.67, p = .005, Cramérs V = .27.
Drie werkafspraken daarbij:
- Geef de tabel of de kernpercentages, niet alleen de χ². Een kaal χ²-getal is onleesbaar; je lezer wil de aantallen of de risico’s zien. De χ² is de toets, de tabel is het verhaal.
- Rapporteer χ²(df) met de exacte p én een effectgrootte (Cramérs V, of phi bij een 2×2). De vrijheidsgraden zijn (rijen − 1) × (kolommen − 1); hier (3 − 1) × (2 − 1) = 2. De p schrijf je zonder voorloopnul.
- Gebruik samenhang-taal, geen effect-taal. “Hing samen met” of “verschilde per”, nooit “verlaagde” of “door” — lees hieronder waarom dossierdata die woorden niet dragen. Wil je zeggen wáár de samenhang zit, gebruik dan de residuen of de percentages, niet de χ².
Wat het niet zegt
De verleidelijkste redenering die je over dit fragment kunt opschrijven is: “χ²(2) = 10.67, p = .005 — intensieve nazorg voorkomt terugval.” Eén korte zin, drie haarscheurtjes.
“voorkomt.” χ² is geen causaliteit, en dit is dossierdata. De patiënten zijn niet at random aan een nazorgvorm toegewezen; wie intensieve nazorg kreeg, kan systematisch verschillen van wie niets kreeg — gemotiveerder, minder ernstig ziek, meer steun thuis. Zo’n derde variabele (een confounder) kan het hele patroon in z’n eentje maken. De samenhang is echt; de causale claim is niet verdiend. Om te mógen zeggen dat nazorg terugval vóórkomt, zou je patiënten moeten toewijzen en vergelijken — een experiment, geen dossier.
“10.67” als hét getal. χ² zegt niets over sterkte of richting; het is een ja/nee op de vraag is er überhaupt samenhang? Bij een grote N wordt zelfs een verwaarloosbare samenhang significant. Daarom hoort er altijd een effectgrootte bij: Cramérs V = .27 zegt matig, en de percentages en residuen zeggen welke kant op. De χ² alleen overnemen is hetzelfde als een r zonder de scatterplot overnemen — je mist waar het over ging.
“p = .005” als uitspraak over intensieve nazorg. Die p gaat over de hele tabel, niet over één hokje. Om te zeggen wáár de samenhang zit, heb je de residuen nodig — en die vertellen iets subtielers dan “elke stap nazorg helpt”: geen nazorg wijkt naar boven af (+2.83), intensieve naar beneden (−2.83), maar standaard nazorg zit precies op verwacht (0.00). Het signaal zit aan de uiteinden; het midden is onopvallend. Wie “elke stap helpt” opschrijft, leest meer in de tabel dan er staat.
En één technisch dingetje dat je in artikelen tegenkomt: χ² vertrouwt erop dat de verwachte aantallen niet te klein zijn (vuistregel: minstens 5 per hokje). Hier is alles 20 of 30, dus prima; maar in kleine tabellen knelt die eis, en dan hoort er Fisher’s exact test te staan in plaats van χ².
Oefening
Leesopgave. Hieronder een voorbeeldfragment (verzonnen). Vertel in gewone Nederlandse zinnen wat de χ² wél vaststelt, en leg uit wat er misgaat aan de conclusie van de auteurs. Noem twee problemen.
In a survey of 800 patients, satisfaction (satisfied / not satisfied) differed significantly by clinic location (urban / rural), χ²(1) = 6.9, p = .009. The authors concluded that rural clinics provide better care.
Doe-opgave. Draai de kruistabel van hierboven (terugval_nazorg.csv) met χ², Cramérs V, de verwachte aantallen en de gecorrigeerde gestandaardiseerde residuen erbij. Twee vragen. (1) Welke groep wijkt het sterkst van het verwachte af, en in welke richting — en welke groep is juist onopvallend? (2) Mag je uit de significante χ² concluderen dat nazorg terugval voorkomt? Waarom wel of niet?
Uitwerking leesopgave
De χ² stelt vast dat er bij 800 patiënten een statistisch significante samenhang is tussen locatie en tevredenheid: het patroon in de tabel is onwaarschijnlijk als locatie en tevredenheid niets met elkaar te maken hadden. Meer niet. Twee dingen gaan mis aan de conclusie. Ten eerste is “rural clinics provide better care” een causale claim uit een observationele enquête: de patiëntengroepen op het platteland en in de stad kunnen op van alles verschillen (leeftijd, klachten, verwachtingen, reisafstand), en zo’n confounder kan het tevredenheidsverschil maken zonder dat de zórg beter is. Ten tweede: bij N = 800 wordt bijna elke samenhang significant, dus p = .009 zegt weinig over hoe groot het verschil is. Zonder effectgrootte (phi / Cramérs V) of de werkelijke percentages weet je niet of het om een serieus verschil gaat of om een paar procentpunten die door de grote steekproef net significant worden. In je literatuurstudie schrijf je dus: er is een significante samenhang gevonden, maar de sterkte is onbekend en de causale conclusie wordt niet door het design gedekt.
Uitwerking doe-opgave
χ²(2) = 10.67, p = .005, Cramérs V = .27. De verwachte aantallen zijn overal 20 terugvallen (en 30 niet) per groep van 50. De gecorrigeerde residuen: geen nazorg +2.83 (meer terugval dan verwacht), intensieve nazorg −2.83 (minder), standaard nazorg 0.00 (precies verwacht). Dus (1) de uiteinden wijken het sterkst af — geen nazorg naar boven, intensief naar beneden — terwijl de standaardgroep onopvallend is; de samenhang leeft aan de randen, niet in het midden. En (2) nee: dit is observationele dossierdata, geen gerandomiseerd experiment. De patiënten zijn niet aan een nazorgvorm toegewezen, dus een confounder (ernst, motivatie, steun) kan zowel bepalen wélke nazorg iemand kreeg als of hij terugviel. Je mag de samenhang rapporteren (“terugval hing samen met de intensiteit van de nazorg”), maar geen causaal effect (“nazorg voorkomt terugval”).
◠ Zelfde vorm in het boek
Hier: hangen twee categorische variabelen samen — valt de ene groep vaker terug dan de andere?
In het boek: nog niet — dit hoort bij de schil S2 · Tellen en kruistabellen.
Dezelfde vraag als bij samenhang tussen getallen, maar dan geteld in hokjes in plaats van gemeten op een as.
TODO: schil S2 (Tellen en kruistabellen) staat bewust buiten de boek-spine — er is dus geen boek-hoofdstuk om naar te ankeren. Zodra de schil vorm krijgt, het anker en de brug-zin hier tegen die schil-structuur aanhouden.