Tweede beweging · Verschillen koppelen

Oefening 3.1 · Correlatie en scatterplot

Samenhang tussen twee variabelen · correlation & scatterplot

Data bij deze oefening — penguins.csv 342 pinguïns · diamantjes.csv de twaalf steentjes uit het boek · wat elke kolom betekent

prikkel

Langere snavel, ondiepere snavel?

samenhang · negatieve r

Ergens op een kale rots bij Antarctica staat iemand met een schuifmaat en 342 pinguïns die daar niet om gevraagd hebben.¹ Van elke pinguïn schrijft hij twee dingen op: hoe lang de snavel is, en hoe diep. Met diep bedoelen we de hóógte van de snavel — van boven naar onder, van opzij bekeken, niet de breedte en niet de lengte. Meer niet: twee getallen per beest, netjes onder elkaar.

De snavel in profiel: *lengte* loopt van voor naar achter, *diepte* is de hoogte van boven naar onder. (Voorlopige handschets — vervangt Bens eigen tekening.)

En nu wij. Want in die twee kolommetjes zit iets raars verstopt. Reken je de samenhang tussen snavellengte en snaveldiepte uit over alle 342 pinguïns, dan komt er een getal uit dat negatief is: r = −.24. In gewone taal: hoe langer de snavel, hoe minder diep — alsof een dier met een lange neus per se een dunne neus heeft.

Voelt dat kloppen? Mij niet. Trek even mee — we gaan het zelf uitzoeken, en onderweg blijkt dat getal iets heel anders te zeggen dan het lijkt.

speel het

Teken de wolk en bereken r in JASP

scatterplot · richting en sterkte · r tussen −1 en +1

Haal de pinguïns binnen en gooi ze in een plaatje. Elke pinguïn één stip: snavellengte op de ene as, snaveldiepte op de andere.

Eerst zoals in het boek — de twaalf diamantjes · JASP 0.98.1

Regression → Correlation, sleep karaat en glans naar rechts.
Vink Display pairwise table aan; onder Plots: Scatter plots.
Voor de lijn: Regression → Linear Regression, glans als Dependent, karaat als Covariate.

r = .578, en de lijn is glans = −1.43 + 32.14 × karaat.

Karaat en glans hangen samen met r = .578, en de lijn erdoorheen leest glans = −1.43 + 32.14 × karaat. Kwadrateer die correlatie en je hebt R² = .33: een derde van de verschillen loopt langs het gewicht, de rest niet.

Nu jij — bij de pinguïns, die je inmiddels kent. Nieuwe vraag aan bekende beesten: hangt de lengte van een snavel samen met zijn diepte?

In JASP · trek eraan · JASP 0.98.1

Open penguins.csv in JASP (menu linksboven → Open).
Klik bovenin op Regression en kies Correlation.
Sleep snavellengte en snaveldiepte naar het vak Variables; de rest laat je staan.
Laat Pearson’s r aan staan. Open het kopje Plots en vink Scatterplot aan.

Daar is-ie: een wolk die van linksboven naar rechtsonder hangt, en het getal −0.235 is één cijfer voor “hoe strak kantelt die wolk omláág?”. De schaal loopt van −1 (een perfecte dalende lijn) via 0 (geen rechtlijnig verband) naar +1 (een perfecte stijgende lijn). −.24 is een flauwe daling met veel rommel eromheen — zwak, maar het staat er. Langere snavel, ondiepere snavel. Zegt het getal.

schud het

Is die −.24 echt, of toeval?

schudden · loskoppelen · duizend werelden rond nul

Eerst de vraag die telt: is die −.24 écht, of kan een wolk toevallig zo scheef gaan hangen? We gaan vals spelen. We knippen elke snaveldiepte los van z’n eigen pinguïn en plakken ’m op een willekeurige andere. De lengtes blijven lengtes, de dieptes blijven dieptes — maar wie bij wie hoort, is nu lukraak.

Dát is de hele truc, en het is belangrijk genoeg om even stil bij te staan: door te husselen koppel je de twee metingen los van elkaar. Je haalt met eigen handen weg dat een bepaalde lengte en een bepaalde diepte bij dezelfde pinguïn horen. In zo’n losgekoppelde wereld kán er geen echt verband meer zijn — en dus is elke samenhang die je er tóch nog in meet, per definitie puur toeval. Zat er echte samenhang in de originele data, dan hoort die nu weg te vallen.

En hier moet ik eerlijk zijn: dat schudden is geen knop in JASP. JASP rekent één keurige uitkomst uit; het door elkaar husselen en duizend keer opnieuw kijken is speeltje-werk. Dat is geen gemis van jou of van JASP — het boek doet het bewust zo: de simulatie-ervaring loopt via een schud-speeltje in de browser (of via het R-broertje, waar het drie regels code is).

▶ Speel het schud-speeltje

Kijk naar wat het speeltje je laat zien. Duizend werelden die dansen rond nul — want in elke geschudde wereld is de échte samenhang doorgeknipt, maar toeval laat de r nooit precies op nul landen. Ze kruipen allemaal dicht om nul, zelden verder dan .17 van huis. En dan die rode streep op −.24, buiten het hele bergje. In duizend keer schudden kwam geen enkele geschudde wereld even ver als de echte pinguïns. Dát is wat “geen toeval” betekent — geen p-waarde die je moet geloven, maar een afstand die je zíet. De echte pinguïns weten iets wat de geschudde niet weten.

Dus: de samenhang is echt. Zaak gesloten? Nee. Hier begint het pas.

snap het

Drie soorten in één wolk

confounding · derde speler · omgeklapt teken · r²

De verleiding is nu te schrijven: “bij pinguïns gaat een langere snavel samen met een ondiepere.” Het getal is echt, de zin lijkt te volgen. En toch is-ie mis. Kleur de wolk eens per soort:

In JASP · kleur de wolk

In dezelfde Correlation-analyse, open Plots en zet bij de scatterplot de optie Color by / group op soort (JASP kleurt de stippen dan per soort).
Wil je de getallen per soort: maak met Filter (het trechtertje boven de data) de selectie soort == "Gentoo" en lees de correlatie opnieuw af: r = +0.643. Herhaal voor de andere twee soorten.

Ineens zie je het. Er zijn drie soorten in die wolk, elk als een eigen kluitje. En binnen elk kluitje loopt de samenhang de andere kant op: langere snavel, juist diepere snavel. Reken maar na — Adélie +.39, Chinstrap +.65, Gentoo +.64. Alle drie positief. Het teken is omgeklapt.

Wat gebeurde er? De Gentoo’s (rechtsonder) hebben lange, ondiepe snavels; de andere twee soorten (linksboven) korte, diepe. Gooi je ze op één hoop, dan trekt dat soortverschil de hele wolk schuin naar beneden — en dáár komt die −.24 vandaan. Niet uit een verband tussen snavellengte en -diepte, maar uit het verschil tússen de soorten. De soort is een derde speler die zich als het verband vermomt. Het boek noemt dat straks confounding; jij zag het hier gebeuren, in de kleuren van een scatterplot.

En dat is de dubbele les van dit blok, mooier dan één van de twee alleen:

De schud-toets zei: die −.24 is echt, geen toeval.
De scatterplot zei: echt ja — maar niet wát je denkt. De richting is een luchtspiegeling van de soort.

Echt en waar zijn dus twee verschillende dingen. Een correlatie kan kraakhelder niet-toeval zijn en je tóch de verkeerde kant op wijzen. Daarom lees je r nooit zonder de wolk ernaast — en zeker niet zonder je af te vragen wie er nog meer in die wolk zit. Zou je het in één eerlijke zin moeten opschrijven, dan niet “langere snavels zijn ondieper”, maar: over drie soorten heen hangt de wolk omlaag, maar binnen elke soort omhoog — het min-teken is een soorteffect.

(En dat kleine getal r² dat je weleens ziet — hier .06 — is het “aandeel gedeelde variantie”: van alle verschil in snaveldiepte deelt maar een paar procent iets met snavellengte. Ook dat is geen “verklaring”, alleen boekhouding.)

jouw beurt

Van snavel naar vin

correlatie berekenen · kleuren per soort · soortverschil

Van snavel naar vin. In penguins.csv zitten ook de kolommen vinlengte (in mm) en gewicht (in gram). Zelfde recept, andere vraag: hangen die twee samen?

In JASP · zet klaar

Open penguins.csv en ga naar Regression → Correlation. Zet vinlengte en gewicht in het vak Variables.

Jouw beurt

Beantwoord de vragen op volgorde; ze bouwen op elkaar. De laatste heet met opzet Z) en niet k): de aannames staan altijd achteraan.

a) Zet bij Plots de Scatterplot aan en lees de correlatie af. (rapporteer r, en beschrijf in één zin welke kant de wolk op hangt en hoe strak)

b) Zeg in gewone taal wat dat teken hier betekent. (één zin, over pinguïns en niet over getallen)

c) Kwadrateer de correlatie. (rapporteer r², en zeg in één zin wat dat getal wél en niet is)

d) Is die samenhang echt, of kan toeval hem namaken? Dit is de vraag waar JASP je niet bij helpt — schudden is geen knop. Pak het schud-speeltje er nog eens bij dat je hierboven bij de snavels gebruikte, en redeneer verder. (zeg hoe ver de geschudde werelden daar van nul kwamen, en wat dat betekent voor een r van .87)

e) Nu de les van dit blok: vertrouw dat getal niet voor je de soorten hebt gezien. Zet bij de scatterplot Color by / group op soort, en lees r apart binnen elke soort af via Filter (soort == "Adelie", enzovoort). (drie correlaties, elk met zijn n)

f) Vraag per soort het gemiddelde gewicht en de gemiddelde vinlengte op: Descriptives, met gewicht en vinlengte bij Variables en soort bij Split. (zes getallen)

g) Klapt het teken om, zoals het bij de snavels deed? (ja of nee, en één zin)

h) En toch is de r over alle 342 heen hóger dan binnen élke soort afzonderlijk. Hoe kan dat? (twee of drie zinnen, en gebruik de zes getallen uit f)

i) Zet dat naast de snavels hierboven. De soort deed daar iets anders met de wolk dan hier — wat? (twee zinnen)

j) Schrijf je bevinding op in één eerlijke zin. (N, allebei de variabelen, de r over alles én het bereik binnen de soorten, in APA-vorm)

Z) Mag je alles hierboven geloven? Een r vat één ding samen: hoe strak de punten om een rechte lijn liggen. Kijk dus terug naar je scatterplot uit a) — buigt hij ergens, en hangt er één punt zo ver weg dat hij in zijn eentje aan het getal trekt? En telt elke pinguïn maar één keer mee?

Antwoord — open na je eigen poging

a) r = .87. Een strak stijgende wolk: linksonder naar rechtsboven, en veel minder rommel omheen dan bij de snavels.

b) Pinguïns met langere vinnen zijn zwaarder. Meer niet — er staat niet dat de vin het gewicht maakt.

c) r² = .76. Drie kwart van alle verschil in gewicht loopt langs de vinlengte mee. Wat het níét is: een verklaring. Het is boekhouding — welk deel van de verschillen de twee maten delen, niet waaróm ze dat doen.

d) In het speeltje zag je bij de snavels duizend geschudde werelden om nul dansen, en geen van alle kwam verder dan ongeveer .17 van huis. Dat is de maat voor “wat toeval hier kan”. Een r van .87 ligt daar mijlenver buiten — vier keer zo ver als de wildste geschudde wereld. Deze samenhang is dus echt.

Het R-broertje draait dit met de hand: negentig procent van de geschudde werelden ligt daar tussen −.09 en .09, de wildste haalde .19, en geen enkele van de duizend haalt de .87. JASP rekent één keurige uitkomst uit en laat je die dans niet zien — vandaar het speeltje.

e) Adélie r = .47 (n = 151), Chinstrap r = .64 (n = 68), Gentoo r = .70 (n = 123).

f) Adélie 3701 gram en 190.0 mm · Chinstrap 3733 gram en 195.8 mm · Gentoo 5076 gram en 217.2 mm.

g) Nee. Alle drie de correlaties zijn positief, en die over alles heen ook. Het teken blijft staan.

h) Kijk naar wat de Gentoo’s zijn: veruit de zwaarste dieren (5076 gram tegen 3701 en 3733) én de langste vinnen (217.2 mm tegen 190.0 en 195.8). Zwaar én lange vin — dat is dezelfde richting als het verband binnen elke soort. Het soortverschil duwt de wolk dus mee, langs dezelfde diagonaal, en zet er nog een flink stuk bovenop: tussen de drie soortgemiddelden zit 785 gram spreiding, binnen de soorten 452. Over alles heen tel je die twee bij elkaar, en dat maakt de wolk strákker dan hij binnen één soort is.

i) Bij de snavels lag het soortverschil dwars op het verband binnen de soorten: de Gentoo’s hebben lange én ondiepe snavels, terwijl binnen elke soort een langere snavel juist een diepere is. Daar duwde de soort de wolk de andere kant op, en klapte het teken om. Hier ligt het soortverschil mee, en dan versterkt het wat er binnen de soorten al gebeurt. Zelfde derde speler, twee tegengestelde uitkomsten — en dat is precies waarom je niet aan het teken alleen genoeg hebt.

j) Bijvoorbeeld:

Bij 342 pinguïns hingen de vinlengte en het gewicht sterk positief samen, r = .87; binnen elk van de drie soorten was die samenhang zwakker, r = .47 tot .70.

Let op dat die tweede helft er staat. Zonder haar leest je lezer .87 als het verband bij één soort pinguïn, en dat is het niet.

Z) Ja, met twee slagen om de arm, en het loont om te weten welke van je antwoorden eraan hangen.

Blijft staan: de drie correlaties binnen de soorten bij e), de soortgemiddelden bij f), en de redenering bij h) en i). Die beschrijven deze 342 dieren, en daar verandert een aanname niets aan.
Doe je over: de r over alles heen bij a) en c), zodra blijkt dat de wolk buigt of dat er één punt aan trekt. Een r meet rechtlijnigheid; ligt het verband krom, dan is het getal geen leugen maar wel een slechte samenvatting.

Hier is er niets aan de hand: de wolk loopt recht en elke pinguïn is één keer gewogen. Dat geen enkel punt in zijn eentje aan de r trekt, kun je narekenen door met Filter de zwaarste pinguïn weg te laten — het getal schuift dan .0004 op, en de wildste van alle 342 verschuift hem met .004. Dat is de derde decimaal, en die haalt geen enkele conclusie onderuit.

rapportage

Schrijf het op als een onderzoeker

rapportage van een correlatie · APA-notatie

Rapportage

Die ene eerlijke zin over de omhangende wolk had je al. Nu de nette jas eroverheen — net als bij het gemiddelde is dat geen dik handboek maar een boodschappenlijstje in zinsvorm: wat heb je onderzocht, hoeveel dieren, welk getal kwam eruit. Kijk maar:

We onderzochten of snavellengte en snaveldiepte samenhingen. Over alle 342 pinguïns was die samenhang zwak negatief (r = −.24); binnen elk van de drie soorten bleek hij juist positief (r = .39 tot .65).

Let op de kleine lettertjes: alleen het symbool r is cursief, de gewone woorden staan rechtop — juist zó zie je wat er speciaal is aan zo’n letter. En omdat r nooit voorbij de 1 kan, laat APA de nul vóór de punt weg: .87, geen 0.87. De zin staat in de verleden tijd, want je vertelt wat je vónd.

Eén ding lijkt daarmee te botsen, en dat is met opzet. In het kader een paar schermen terug las je bij de Gentoo’s +0.643 — mét nul. Een klikpad citeert je scherm; een rapportagezin volgt APA. JASP schrijft zijn getallen zoals JASP dat doet, en zou dit boekje ze onderweg bijschaven, dan kon je niet meer nakijken of jij hetzelfde voor je had. In je eigen zin haal je die nul wél weg, want daar betekent het ontbréken ervan iets: het zegt je lezer meteen dat dit getal niet voorbij de 1 kan komen.

Jouw beurt: schrijf zelf zo’n zin voor de vinlengte en het gewicht uit de taak hierboven (r = .87, en binnen de soorten .47 tot .70). Benoem de 342 pinguïns en beide variabelen — de zin moet op eigen benen kunnen staan, ook voor iemand die dit blok nooit las.

◠ Zelfde vorm in het boek

Hier: één getal voor de samenhang, en de wolk die verklapt wat het getal verzwijgt.

In het boek: W4 — Hangen ze samen?

Daar begint het bij de wolk, niet bij het getal — en de rechte lijn komt pas als je hebt gezien wie er allemaal in de wolk zitten.

Voetnoten

Palmer Penguins — Gorman, Williams & Fraser (2014), Palmer Station Antarctica LTER; via het R-pakket palmerpenguins (CC0). Alle getallen in dit blok zijn op die échte data nagerekend.↩︎