Vierde beweging · Verschil onthechten

Oefening 10.1 · Als de moderator een groep is

Interactie met een groep als moderator · categorical moderation

Data bij deze oefening — penguins.csv 342 pinguïns · diamantjes.csv de twaalf steentjes uit het boek · wat elke kolom betekent

prikkel

Eén getal dat uit twee getallen bleek te bestaan

helling per groep

Bij de enkelvoudige regressie trok je een lijn door 342 pinguïns en las je er één getal van af: 49.69 gram per millimeter.¹ Elke millimeter vin erbij, bijna vijftig gram pinguïn erbij. Eén getal, netjes uitgerekend, en er was geen enkele reden om het te wantrouwen.

Splits diezelfde 342 beesten nu eens in tweeën — de Gentoo’s aan de ene kant, de Adélies en Chinstraps aan de andere — en trek de lijn twee keer. In deze steekproef komt er bij de niet-Gentoo’s 29.49 uit, en bij de Gentoo’s 54.62.

Kijk daar even naar. 49.69 ligt tussen die twee in, en het is geen van beide.

En het is ook niet netjes hun gemiddelde — dat zou te makkelijk zijn. Weeg de twee hellingen naar groepsgrootte (219 niet-Gentoo’s tegen 123 Gentoo’s) en je komt uit op 38.53. Je eerste getal ligt daar ruim elf gram bóven.

Dat komt doordat één lijn door alle pinguïns twee dingen tegelijk moet doen: het verband bínnen elke groep volgen, én de afstand tússen de groepen overbruggen. En die tweede taak duwt hem omhoog, want de Gentoo’s zijn niet alleen zwaarder maar hebben óók langere vinnen. Trek je een lijn door niets anders dan de twee groepsgemiddelden, dan is die zelfs 53.73.

Je eerste getal was dus niet fout gerekend. Het was een menging — en niet eens een eerlijke.

En dat roept meteen de vraag op waar deze oefening over gaat. Is die kloof echt, of kan het toeval van 342 beesten hem namaken? En als hij echt is — hoe schrijf je dan een model op dat niet één helling wil, maar twee?

speel het

Twee lijnen: één groep tegenover de rest

dummy · interactieterm · simple slope

Eerst zoals in het boek — de twaalf diamantjes · JASP 0.98.1

Regression → Linear Regression, glans als Dependent.
Zet gladheid, D én DxG in Covariates — DxG is het product van de twee, dat staat al klaar als kolom.
Kijk naar de rijen gladheid (b = 6.14) en DxG (b = 2.64, p = .054).

D is een kolom met nullen en enen: nul voor golfje, één voor sterretje. Zo’n nul-of-één-kolom heet een dummy, en hij is het eenvoudigste soort moderator die er bestaat — twee groepen, meer niet. De interactie gladheid × merk komt uit op b = 2.64 met p = .054: bij het ene merk telt een punt gladheid harder mee voor de glans dan bij het andere. Eén helling is dan niet meer genoeg.

Nu jij — dezelfde beesten als in oefening 3.2, nieuwe vraag. Is die 49.69 één helling, of zijn het er twee?

De pinguïns hebben geen kant-en-klare dummy in het bestand, dus die maak je zelf. En het product er meteen bij, want dat is wat de interactieterm ís: de twee voorspellers met elkaar vermenigvuldigd.

In JASP · twee kolommen erbij rekenen · JASP 0.98.1

Open penguins.csv in JASP (menu linksboven → Open).
Scroll in het databad helemaal naar rechts en klik op de + boven de lege kolom. Noem hem gentoo en kies de R-knop om een formule te typen:
```
ifelse(soort == "Gentoo", 1, 0)
```
Klik Compute column. Je hebt nu een kolom met 219 nullen en 123 enen.
Maak op dezelfde manier nog een kolom, vinXgentoo:
```
vinlengte * gentoo
```
Zet beide nieuwe kolommen op Scale (het liniaaltje), anders wil JASP ze niet als covariaat aannemen.

Nu het model. De drie kolommen samen — vinlengte, gentoo en hun product — zijn de toestemming: reken het verband tussen vinlengte en gewicht uit, maar laat de Gentoo’s er een eigen helling op na houden.

In JASP · trek eraan · JASP 0.98.1

Regression → Linear Regression.
gewicht naar Dependent Variable.
vinlengte, gentoo én vinXgentoo naar Covariates.
Vink onder Statistics de optie Estimates aan als die nog uit staat.
Lees in de tabel Coefficients de drie rijen af.

vinlengte      b =    29.49        <- de helling bij gentoo = 0
gentoo         b = -4841.81
vinXgentoo     b =    25.13   p < .001
R²             = 0.785

Vier getallen, en ze doen alle vier iets anders. Het loont om er even bij stil te staan, want dit is de tabel die je de rest van de oefening blijft lezen:

vinlengte is de helling bij gentoo = 0, dus bij de niet-Gentoo’s: 29.49 gram per millimeter.
gentoo is het hoogteverschil bij vinlengte = 0 — een vin van nul millimeter, dus dat getal woont op een adres dat niet bestaat. Laat het staan; in oefening 10.2 gaan we er iets aan doen.
vinXgentoo is waar het om gaat: 25.13 gram per millimeter extra voor de Gentoo’s. Niet hun helling — het verschil tussen hun helling en die van de rest.
En die p < .001 zegt: zo’n kloof tussen twee hellingen zie je bijna nooit als er in werkelijkheid geen kloof is.

De helling van de Gentoo’s zelf staat er dus niet; die tel je op:

29.49 + 25.13 = 54.62 gram per millimeter bij de Gentoo’s

Twee hellingen, allebei uit één tabel: 29.49 en 54.62. Zulke hellingen binnen één groep heten simple slopes, en je hebt er niets voor nodig behalve optellen. Geloof je het niet, reken ze dan los na — het moet op de komma hetzelfde geven:

In JASP · ter controle, de twee lijnen los · JASP 0.98.1

Klik op het trechtertje boven de eerste kolom van het databad.
Typ als filter gentoo == 0 en klik Apply.
Draai een gewone Regression → Linear Regression van gewicht op vinlengte. Je vindt 29.49.
Zet het filter op gentoo == 1 en draai hem opnieuw: 54.62.
Zet het filter daarna weer uit — anders rekent alles hierna op één soort.

En daar ligt je 49.69 uit oefening 3.2 uit elkaar. Eén lijn door twee groepen die elk hun eigen lijn hebben, geeft een getal dat bij geen van beide groepen hoort — te steil voor de Adélies en Chinstraps, te flauw voor de Gentoo’s. Het is een gemiddelde waar niemand woont.

Teken het maar, dan zie je het in één keer:

In JASP · de twee lijnen tekenen · JASP 0.98.1

Ga naar Regression → Correlation, zet vinlengte en gewicht in het vak, en vink onder Plots de Scatter plots aan. Sleep gentoo naar het vakje onder de plot-opties dat om een groeperende variabele vraagt; JASP tekent dan een eigen puntenwolk én een eigen lijn per groep.

Zie je twee lijnen die uit elkaar lopen — dan klopt het. De ene lijn uit oefening 3.2 zou er dwars tussendoor gaan.

Nog twee lijnen, maar dan parallel: de sekse

niet-significante interactie · hoogte tegenover steilheid

Voordat je dit doortrekt naar meer groepen, eerst een tegenvoorbeeld — want anders ga je overal waaiers zien. In penguins.csv staat nóg een kolom met twee groepen: sekse. Mannetjes zijn duidelijk zwaarder dan vrouwtjes; in deze steekproef wegen ze gemiddeld 4545.68 gram tegen 3862.27 — een verschil van 683.41 gram. Dan zal een millimeter vin bij mannetjes ook wel zwaarder tellen?

In JASP · dezelfde zet, andere groep · JASP 0.98.1

ANOVA → ANCOVA: gewicht als Dependent Variable, sekse als Fixed Factor, vinlengte als Covariate.
Open Model, selecteer vinlengte én sekse samen en voeg de interactieterm vinlengte✻sekse toe.
Kijk in de ANCOVA-tabel naar die rij: F(1, 329) = 0.01, p = .92.

De negen pinguïns zonder genoteerde sekse vallen er vanzelf uit.

Wil je de twee hellingen los zien: filter op sekse == "female" respectievelijk sekse == "male" en draai per groep een Linear Regression van gewicht op vinlengte. Je vindt 47.15 en 46.86.

47.15 tegen 46.86. Die liggen zo goed als op elkaar, en de interactie is dan ook nergens: p = .92. De mannetjes zijn zwaarder, maar een millimeter vin weegt bij hen niet zwaarder.

Dat is het onderscheid dat de rest van deze oefening draagt. “Mannetjes zijn zwaarder” is een verschil in hoogte — twee wolken, de ene boven de andere, met lijnen die keurig parallel lopen. Een interactie is een verschil in steilheid — lijnen die uit elkaar waaieren. Twee groepen kunnen ver uit elkaar liggen en tóch precies dezelfde helling hebben, en dan is er geen interactie te bekennen.

Drie lijnen: de hele soort erbij

nominale moderator · overkoepelende toets

Een dummy kon maar twee groepen aan. Maar soort heeft er drie — Adélie, Chinstrap, Gentoo — en dat verandert meer dan je zou denken.

In JASP · drie soorten in één model · JASP 0.98.1

ANOVA → ANCOVA: gewicht naar Dependent Variable, soort naar Fixed Factors, vinlengte naar Covariates.
Open Model. Selecteer in de linkerlijst vinlengte én soort tegelijk en voeg de interactieterm vinlengte✻soort toe. Er staan nu drie termen in het model.
Kijk in de uitvoertabel ANCOVA naar de rij vinlengte✻soort: F(2, 336) = 5.53, p = .004.
Open Descriptives Plots: vinlengte op de horizontale as, soort bij Separate Lines. JASP tekent één lijn per soort.

Merk op wat JASP hier voor je doet — en wat het je daarmee ontneemt. In het R-broertje zie je bij drie soorten twee losse interactieregels, die je apart moet lezen en die elk maar de helft van het verhaal vertellen. JASP legt daar meteen één F overheen: F(2, 336) = 5.53, met twee vrijheidsgraden, want er kwamen twee regels bij. Dat ene getal is het antwoord op de vraag “verschilt de helling érgens tussen de soorten?” — en dat is precies de vraag waar één coëfficiënt geen antwoord meer op geeft.

En die ene F komt niet uit één tabel maar uit twee modellen: één waarin alle soorten dezelfde helling moeten delen, tegenover één waarin elke soort een eigen helling mag hebben. JASP legt die twee voor je naast elkaar en drukt alleen de uitslag af — vandaar dat de rapportagezin verderop over twee modellen praat terwijl jij er één hebt aangeklikt.

Dezelfde trechter als bij de ANOVA — daar toetste je eerst met één F of de drie soortgemiddelden überhaupt van elkaar verschilden, en pas daarna welk paar het deed. Eerst overkoepelend of er íéts is, dan pas waar het zit. Hier zit het bij de Gentoo’s.

De drie hellingen los:

In JASP · de helling per soort · JASP 0.98.1

Filter per soort (het trechtertje boven de data, bijvoorbeeld soort == "Gentoo") en draai per soort een Regression → Linear Regression van gewicht op vinlengte. Zet het filter daarna weer uit.

32.83 gram per millimeter bij de Adélie’s
34.57 bij de Chinstraps
54.62 bij de Gentoo’s

32.83, 34.57 en 54.62 gram per millimeter vin. Twee soorten die vrijwel samenvallen, en één die er ver bovenuit steekt. Trek de flauwste van de steilste af — 54.62 − 32.83 — en je krijgt 21.79. Dat is exact de coëfficiënt vinlengte:soortGentoo uit de tabel hierboven, en dat is geen toeval: de Adélie is het ijkpunt én toevallig ook de flauwste, dus “hoeveel steiler dan de Adélie” en “hoeveel tussen de steilste en de flauwste” zijn hier hetzelfde getal. Onthoud het, want in de volgende trede komt het terug. Merk op dat de Gentoo’s op precies dezelfde 54.62 uitkomen als in de eerste trede — logisch, het is dezelfde groep pinguïns met dezelfde lijn. Wat veranderde is waarmee je ze vergelijkt: eerst met alle andere pinguïns op één hoop, nu met elke soort apart.

Zes hokjes: twee groeperingen tegelijk

tweeweg-ANOVA · celgemiddelde · type III

Tot nu toe modereerde een groep het effect van een getal op het gewicht. Maar twee groeperingen kunnen elkaar ook onderling moduleren, en dan blijft er van de lijnen niets over — je houdt hokjes over.

Zet sekse (twee groepen) naast soort (drie groepen) en je krijgt zes hokjes. Dat heet een tweeweg-ANOVA, of een factoriële ANOVA; dat is hetzelfde. De vraag is dan niet meer hoe steil een lijn loopt, maar of het gemiddelde per hokje zich netjes gedraagt.

In JASP · eerst de zes hokjes zelf · JASP 0.98.1

Zet eerst een filter dat de negen pinguïns zonder sekse weglaat: sekse == "male" or sekse == "female".
Descriptives: gewicht bij Variables, en zet sekse én soort allebei bij Split. Je krijgt het gemiddelde en de n per hokje.

	Adélie	Chinstrap	Gentoo
vrouwtje	3368.8 g (n = 73)	3527.2 g (n = 34)	4679.7 g (n = 58)
mannetje	4043.5 g (n = 73)	3939.0 g (n = 34)	5484.8 g (n = 61)

Lees die tabel eens per kolom. Bij de Adélies zijn de mannetjes 674.7 gram zwaarder dan de vrouwtjes, bij de Chinstraps 411.8, bij de Gentoo’s 805.1. Het sekseverschil is er bij alle drie — maar het is niet overal even groot. Dát is de interactie: het verschil in verschil. Niet of sekse uitmaakt, maar of het bij elke soort evenveel uitmaakt.

En let op wat je nog steeds kunt: je kunt dit tekenen. Zes punten, twee lijntjes die elkaar volgen of niet. Dat is wat de hele 10.1 bij elkaar houdt — of de moderator nu twee, drie of zes hokjes maakt, je kunt het plaatje voor je zien.

In JASP · de tweeweg-ANOVA · JASP 0.98.1

ANOVA → ANOVA (níét ANCOVA — er is geen covariaat meer, allebei de voorspellers zijn groeperingen).
gewicht naar Dependent Variable; sekse én soort naar Fixed Factors. JASP zet de interactie er zelf al in; kijk het na onder Model, daar hoort sekse✻soort te staan.
Vink onder Additional Options de effectgrootte η² aan.
Open Descriptives Plots: soort op de horizontale as, sekse bij Separate Lines — lijnen boven staafjes, want alleen bij lijnen zie je of ze parallel lopen.

sekse         F(1, 327) = 311.84   p < .001   η² = .139
soort         F(2, 327) = 746.92   p < .001   η² = .664
sekse ✻ soort F(2, 327) =   8.76   p < .001   η² = .008

Wie krijgt het overlapstuk? Type I en type III

kwadratensommen · type III

Eén ding verdient uitleg, ook al hoef je er in JASP niets voor te doen — juist daarom.

Teken twee cirkels die elkaar deels overlappen. De ene is alles wat sekse van het gewicht kan verklaren, de andere alles wat soort kan verklaren. In het overlapstuk zit variantie waar ze allebei aanspraak op maken — en iemand moet beslissen wie hem krijgt.

Type I geeft hem aan wie het eerst genoemd wordt. Zet je sekse vooraan, dan pakt sekse het overlapstuk en houdt soort alleen wat overblijft; zet je soort vooraan, dan is het andersom. De uitkomst hangt dus af van de volgorde.

Type III geeft hem aan niemand. Elke factor krijgt alleen wat híj als enige kan verklaren. Dat is onafhankelijk van de volgorde, en het is wat je bij de meeste opleidingen en in de meeste tijdschriften tegenkomt.

JASP kiest type III voor je, en biedt je die keuze niet eens aan. Dat is prettig en het is ook een beetje verraderlijk, want je kunt hier je hele studie doorlopen zonder te weten dat de keuze bestaat. Draai je ooit hetzelfde model in R, dan moet je het er zelf bij zeggen — en vergeet je dat, dan rekent R gewoon door en geeft andere getallen, zonder een kik.

Kijk maar wat er met de F voor sekse gebeurt onder vier varianten van dezelfde data:

hoe het uitgerekend wordt	F voor sekse	F voor de interactie
type I, `sekse` eerst opgeschreven	406.15	8.76
type I, `soort` eerst opgeschreven	387.46	8.76
type III (wat JASP doet)	311.84	8.76
type III, verkeerd opgezet	173.55	8.76

Vier verschillende antwoorden op “heeft sekse effect op gewicht”, en één ervan is minder dan de helft van een andere. Maar kijk naar de rechterkolom: de interactie is in alle vier precies 8.76. Dat is geen toeval — de interactie is de term die als laatste komt, wat je ook doet, dus er valt voor hem niets te verdelen.

Dat is meteen een handige controle. Vergelijk je jouw uitkomst ooit met die van een medestudent die het in ander gereedschap deed, kijk dan éérst naar de interactie. Komt die overeen terwijl de hoofdeffecten verschillen, dan heeft niemand zich verrekend — dan heeft een van jullie tweeën een andere kwadratensom gebruikt. Wélke van de twee, zegt die vergelijking je niet; daarvoor moeten jullie allebei opschrijven wat je gedaan hebt. Vandaar dat het in de rapportage hoort.

schud het

Duizend werelden waarin de soort niets modereert

soort-labels husselen · kloof tussen hellingen

Terug naar de drie lijnen. Is die kloof tussen 32.83 en 54.62 echt, of kan het toeval hem namaken? Je zou dat willen uitproberen door vals te spelen. Deze keer husselen we de soort-labels los van de pinguïns: elke pinguïn houdt z’n eigen vinlengte en gewicht, maar krijgt een willekeurig soort-kaartje opgeplakt. Adélie, Gentoo, Chinstrap — lukraak rondgestrooid.

Dat husselen koppelt de soort los van het vin-gewicht-verband. Je haalt met eigen handen weg dat een bepaalde soort bij een bepaalde helling hoort. In zo’n losgekoppelde wereld kán de ene soort geen steilere lijn meer hebben dan de andere — als de hellingen dan tóch verschillen, is dat puur toeval van de verdeling.

En hier moet ik eerlijk zijn: dat schudden is geen knop in JASP. JASP rekent één keurige uitkomst uit; het door elkaar husselen en duizend keer opnieuw kijken is code-werk. Voor deze interactie is er (nog) geen browser-speeltje — dus voor de schud-ervaring draai je het R-broertje, waar het husselen een paar regels code is. Dat is geen gemis van jou of van JASP: het boek doet het bewust zo, de simulatie leeft in de code en in de speeltjes.

Wat je daar ziet: duizend werelden waarin de soort de vin-gewicht-relatie niet modereert — want in elke geschudde wereld is de soort losgeknipt van de helling. De kloof tussen de hellingen danst rond een paar gram: soms toevallig wat groter, meestal klein. En dan de echte kloof — 21.79 gram per millimeter tussen de steilste (Gentoo) en de flauwste (Adélie) — valt ver buiten dat hele bergje. In duizend keer schudden haalde geen enkele geschudde wereld de echte kloof. De echte pinguïns weten iets wat de geschudde niet weten: bij de Gentoo’s telt een langere vin écht zwaarder mee.

snap het

Onder welke conditie doet iets ertoe

interactie · moderatie · verschil in verschil

Wat je hier drie keer zag, heeft één naam: een interactie, in de wandelgangen ook moderatie. En de nette formulering is de moeite waard om precies over te nemen, want de slordige versie kost je later punten: het effect van vinlengte op gewicht verandert in grootte en/of richting met het niveau van de soort. Niet “vinlengte interacteert met soort” — dat zegt niet wát er met wát gebeurt.

Ben legt het in de les zo uit, en het is de kortste weg naar waar het echt over gaat:

Zou wel of geen therapie uitmaken voor het welzijn van mensen? Ja, hè. Maar ga nu eens naar een moeilijk land waar geen eten is, waar mensen verhongeren. Geef die hongerende mensen sommige therapie en sommige geen therapie — zou dat verschil maken? Nee: als je geen eten hebt, heeft therapie ook geen zin.

Dus therapie geeft soms een verschil, maar alleen in bepaalde situaties. Bij interactie-effecten is het de vraag: wanneer, onder welke conditie, heeft een bepaalde variabele een effect.

Dáár gaat het om. Een interactie is geen ingewikkeldere versie van een effect — het is de erkenning dat de vraag “hoeveel effect heeft X op Y?” soms geen antwoord heeft zonder de vervolgvraag “bij wie, en wanneer?” Bij de pinguïns: “hoeveel extra gewicht per millimeter vin?” heeft geen antwoord zonder “bij welke soort?”

En daarom loog die 49.69 uit de prikkel niet, maar antwoordde hij op een vraag die niet goed gesteld was.

Drie dingen om vast te houden, want ze komen alle drie terug.

Eén: hoogte is geen steilheid. De sekse maakte de pinguïns 683.41 gram zwaarder en veranderde niets aan de helling. Dat is een hoofdeffect, geen interactie. Twee wolken op verschillende hoogte met parallelle lijnen — verschil, maar geen verschil in verschil.

Twee: bij meer dan twee groepen stopt de coëfficiënt met antwoorden. Twee groepen geven één interactieregel die je gewoon kunt aflezen. Drie groepen geven er twee, en dan heb je één overkoepelende toets nodig om te weten of er überhaupt iets is. Dat is geen extra formaliteit; het is dezelfde reden waarom je bij drie gemiddelden een ANOVA doet en niet drie t-toetsen.

Drie: een hoofdeffect lees je aan de randen af. Bij de zes hokjes vroeg je niet naar één cel maar naar het gemiddelde van een hele rij of kolom — de marginalen. Ben doet dat in de les met lengtes: in Nederland zijn de mannen 1.80 en de vrouwen 1.70, in Japan 1.70 en 1.65. Vraag je “er komt een man binnen, hoe lang is die?”, dan gebruik je het marginaal van de mannen — (1.80 + 1.70) / 2 = 1.75 — en bij een vrouw (1.70 + 1.65) / 2 = 1.675. Die twee getallen gaan enkel en alleen over het hoofdeffect van geslacht op lengte, niet over land, en het verschil ertussen is 7.5 centimeter. Zo lees je ook de pinguïn-tabel: de rijen voor sekse, de kolommen voor soort, en de manier waarop de hokjes van hun eigen randen afwijken is de interactie.

jouw beurt

Dezelfde zes hokjes, een andere meetlat

tweeweg-ANOVA · type III · parallel

Jouw beurt. Je hebt net gezien dat sekse en soort samen iets doen met het gewicht van een pinguïn: het sekseverschil is groter bij de Gentoo’s dan bij de Chinstraps. Nu dezelfde twee groeperingen, dezelfde zes hokjes — maar je meet iets anders: de snavellengte. De vraag: is het sekseverschil in snavellengte ook niet overal even groot?

Zet eerst klaar, en beantwoord daarna de vragen. De laatste heet met opzet Z) en niet l): de aannames staan altijd achteraan, en die vreemde letter zegt “en ook, elke keer, deze”.

In JASP · zet klaar · JASP 0.98.1

Laat het filter aan staan dat de negen pinguïns zonder sekse weglaat (sekse == "male" or sekse == "female").
ANOVA → ANOVA: snavellengte naar Dependent Variable; sekse én soort naar Fixed Factors. JASP zet de interactie er zelf al in; kijk het na onder Model, daar hoort sekse✻soort te staan.
Vink onder Additional Options de effectgrootte η² aan.

Over de kwadratensommen hoef je niets te doen: JASP rekent type III, zoals je hierboven zag — je hoeft dat straks alleen in je rapportage te zéggen.

Jouw beurt

a) Hoeveel pinguïns zitten er in de zes hokjes, en hoeveel per hokje? Draai Descriptives met snavellengte bij Variables en sekse én soort allebei bij Split, en lees per hokje de n af. Waarom is het totaal geen 342? (zes getallen, één totaal, en één zin)

b) Lees in dezelfde Descriptives-uitvoer het gemiddelde per hokje af en zet ze in een tabel van twee rijen bij drie kolommen. (zes getallen)

c) Trek per soort de vrouwtjes van de mannetjes af. Zijn die drie kloven ongeveer even groot? (drie getallen, en hoeveel de grootste en de kleinste schelen)

d) Schrijf de nulhypothese voor de interactie voluit op, in woorden én in symbolen. (één zin, en die ook in symbolen)

e) Toets de interactie — de rij sekse ✻ soort in de uitvoertabel. (rapporteer F(df₁, df₂) en p)

f) Rapporteer nu ook de twee hoofdeffecten. (per hoofdeffect F(df₁, df₂) en p)

g) Lees de drie effectgroottes af in de η²-kolom die je bij het klaarzetten hebt aangevinkt. Welke van de drie doet het meeste werk? (drie η²’s)

h) Dit is het moment waarop JASP je stilletjes beschermt: de knop waar het hier om gaat bestaat in JASP niet eens, dus je kunt niets stukmaken. In R wél — daar kun je type III verkeerd opzetten door één regel code te vergeten, en dan zakt de F voor sekse van 208.06 naar 66.81, zonder één waarschuwing. De interactie blijft in allebei de gevallen 2.28. Waaróm staat de interactie stil, wat je ook doet? (één zin)

i) Teken het via Descriptives Plots: soort op de horizontale as, sekse bij Separate Lines. Leg het naast het eerdere plaatje van het gewicht. (twee plaatjes, en wat je aan de lijnen ziet)

j) Waarom moet je in je rapportagezin schrijven dát het type III-kwadratensommen zijn? (één zin, met het getal uit h) erin)

k) Bij het gewicht wás er een interactie, bij de snavellengte niet — op precies dezelfde 333 pinguïns, met precies dezelfde twee groeperingen. Wat zegt dat over waar een interactie in zit?

Z) Mag je alles hierboven geloven? Loop de aannames na: is de spreiding in snavellengte ongeveer gelijk over de zes hokjes (de rij Std. Deviation in de Descriptives-uitvoer van a)), en telt elke pinguïn maar één keer mee? En dan de vraag die bij dít ontwerp hoort: kijk nog eens naar je zes celaantallen uit a) — wat zou er met de hele type I/type III-kwestie gebeuren als die zes gelijk waren geweest?

Antwoord — open na je eigen poging

a) Vrouwtjes 73, 34 en 58; mannetjes 73, 34 en 61 — samen 333. Geen 342, want bij negen pinguïns is de sekse nooit vastgesteld, en het filter laat die hier expliciet weg. Onthoud die zes getallen; bij Z) blijken ze ertoe te doen.

	Adélie	Chinstrap	Gentoo
vrouwtje	37.26	46.57	45.56
mannetje	40.39	51.09	49.47

c) 3.13, 4.52 en 3.91 mm. Het sekseverschil is er bij alle drie de soorten, en het scheelt tussen de grootste en de kleinste maar 1.39 mm. Vergelijk dat met het gewicht, waar diezelfde drie kloven 674.7, 411.8 en 805.1 gram waren — daar was de grootste bijna twee keer de kleinste.

d) De nulhypothese: het sekseverschil in snavellengte is bij alle drie de soorten even groot. In symbolen: \(H_0:\ \mu_{\text{man},j} - \mu_{\text{vrouw},j}\) is hetzelfde voor elke \(j\), waarin \(j\) een aftelnummer voor de soort is. Je mag het ook schrijven als alle interactietermen in de populatie zijn nul; één van de twee is genoeg.

e) F(2, 327) = 2.28, p = .103. Niet significant: deze keer lopen de lijnen zo goed als parallel.

f) Sekse F(1, 327) = 208.06, p < .001. Soort F(2, 327) = 650.21, p < .001. Allebei ruimschoots.

g) η² = .11 voor sekse, .70 voor soort en .00 voor de interactie. De soort doet vrijwel al het werk; dat mannetjes langere snavels hebben komt daar als een keurig parallelle laag bovenop.

h) De interactie staat stil omdat hij als laatste komt, wat je ook doet: er valt voor hem niets meer te verdelen — vandaar twee keer 2.28, terwijl de F voor sekse naar minder dan een derde zakt. Precies wat je bij het gewicht in de vier-varianten-tabel zag.

i) Bij de snavellengte lopen de twee lijnen zo goed als parallel: overal ongeveer vier millimeter tussen de vrouwtjes en de mannetjes. Bij het gewicht liepen ze zichtbaar uiteen — bij de Gentoo’s stond het sekseverschil veel wijder open dan bij de Chinstraps. Hoogte tegenover steilheid, en hier is het alleen hoogte.

j) Omdat dezelfde data zonder die vermelding niet na te rekenen is: je zag bij h) 208.06 en 66.81 op precies dezelfde 333 pinguïns. Wie niet weet welke van de twee je gebruikte, kan je F niet reproduceren en dus ook niet controleren.

k) Dat een interactie niet in de twee groeperingen zit maar in wat je meet. Sekse en soort zijn in allebei de analyses dezelfde twee kolommen, op dezelfde 333 dieren. Het gewicht van een Gentoo-mannetje loopt anders uit de pas dan zijn snavel. “Sekse en soort interacteren” is dus een onaffe zin — de vraag is altijd: interacteren ze op welke uitkomst?

Z) De spreiding per hokje loopt van 1.56 mm (Chinstrap-mannetjes) tot 3.11 mm (Chinstrap-vrouwtjes) — de grootste is 1.99 keer de kleinste. Dat is krap onder de twee, dus het mag, maar het is geen ruime marge; bij een grensgeval als p = .103 is dat het vermelden waard. Elke pinguïn is één keer gemeten, dus de waarnemingen zijn onafhankelijk.

En dan de tweede helft van de vraag, want dáár zit de winst. Waren de zes hokjes even groot geweest, dan had de hele type I/type III-kwestie niet bestaan. De twee cirkels overlappen alleen doordat de aantallen ongelijk zijn; bij gelijke aantallen valt er niets te verdelen en geven alle varianten hetzelfde getal. Het R-broertje meet dat na: trek 34 dieren uit elk hokje en type I met sekse eerst, type I met soort eerst en type III komen alle drie op dezelfde F uit. Op de échte, scheve verdeling geven ze 219.23, 211.81 en 208.06.

De weg terug, voor als de spreiding wél ver uiteen was gelopen:

Blijft staan: de zes celgemiddelden bij b) en de drie kloven bij c). Dat zijn beschrijvingen van deze 333 dieren.
Doe je over: alle drie de F’s bij e) en f), en daarmee je conclusie bij k). Die rusten op één gedeelde restspreiding over de zes hokjes, en die is er dan niet.

rapportage

Schrijf het op als een onderzoeker

rapportagezin · F en p · nul-vondst

Rapportage

Een interactie opschrijven klinkt als iets voor de gevorderden, maar het blijft een boodschappenlijstje in zinsvorm: wat vergeleek je, verschilde het, en waar zat het. Twee modelzinnen, één voor elke vorm die je vandaag zag.

Een helling die per groep verschilt:

Om te onderzoeken of het effect van vinlengte op gewicht afhangt van de soort, vergeleken we bij 342 pinguïns twee modellen: één waarin alle soorten dezelfde helling moesten delen, en één waarin elke soort een eigen helling mocht hebben. De hellingen verschilden significant tussen de soorten, F(2, 336) = 5.53, p = .004: bij de Gentoo’s ging een millimeter extra vin samen met meer extra gewicht (54.62 g/mm) dan bij de Adélies (32.83) en de Chinstraps (34.57). Het effect van vinlengte op gewicht werd dus gemodereerd door de soort.

Twee groeperingen tegelijk:

Om te onderzoeken of het effect van sekse op gewicht afhangt van de soort, voerden we bij 333 pinguïns een tweeweg-variantieanalyse uit met sekse en soort als factoren (type III-kwadratensommen). De interactie was significant, F(2, 327) = 8.76, p < .001, η² = .01: het sekseverschil was groter bij de Gentoo’s (805.09 g) dan bij de Chinstraps (411.76 g). Beide hoofdeffecten waren eveneens significant, voor sekse F(1, 327) = 311.84, p < .001, η² = .14, en voor soort F(2, 327) = 746.92, p < .001, η² = .66.

Kijk wat er cursief staat en wat niet. Alléén de symbolen F en p hellen; η² is een Griekse letter en blijft rechtop, en de gewone woorden en de gewichtsgetallen ook. De statistieken krijgen twee decimalen, APA-precies, terwijl de lopende tekst hierboven gerust rondde (“ruim zeshonderd gram”) voor de intuïtie. Een p die kleiner is dan .001 schrijf je niet uit maar als p < .001, en zonder nul ervoor. Alles staat in de verleden tijd, want je vertelt wat er gevónden werd, en beide zinnen staan op eigen benen: wie er één uit dit blok tilt, weet nog steeds wie er gemeten werd, wat er gemeten werd, en waar de interactie zat.

In geen van beide zinnen staat welk programma je gebruikt hebt. Dat is met opzet: een methodezin zegt wát je gedaan hebt, niet welke knop je hebt aangeklikt of welke regel je hebt getypt. Zag jij zelf maar één tabel in plaats van twee modellen? Dan legde je programma die twee voor je naast elkaar, en het getal is hetzelfde. Twee onderzoekers die dezelfde pinguïns dezelfde vraag stellen, hebben niet twee verschillende methoden gebruikt — en precies díé verwarring hoort een methodesectie weg te nemen.

Merk ook op dat de tweede zin zégt dat het type III-kwadratensommen zijn. JASP koos dat voor je, dus je hoefde er niets voor te doen — maar je moet het wél vermelden. Je zag hierboven dat dezelfde data vier verschillende F-waarden kan opleveren, dus zonder die vermelding kan niemand jouw getal narekenen.

Jouw beurt: schrijf zelf de rapportage-zin voor de taak hierboven — de snavellengte. Die interactie was juist níét significant (F(2, 327) = 2.28, p = .10), en ook een nul-vondst rapporteer je netjes op: dat het sekseverschil in snavellengte bij alle drie de soorten ongeveer even groot was, is een echt resultaat. De modelzinnen hierboven mag je lenen; hardop voorlezen mag ook.

◠ In het boek

Hier: als de moderator een groep is, kun je het tekenen — twee lijnen, drie lijnen, of zes hokjes.

In het boek: W10 — Verschil in verschil

Daar draait het om de lijnen die niet parallel lopen — het moment waarop je merkt dat “het effect” een tweede vraag nodig heeft: bij wie?

Voetnoten

Palmer Penguins — Gorman, Williams & Fraser (2014), Palmer Station Antarctica LTER; via het R-pakket palmerpenguins (CC0). Alle getallen in dit blok zijn op die échte data nagerekend.↩︎