Vierde beweging · Verschil onthechten

Oefening 11.1 · Mediatie: direct en indirect

Mediatie: direct, indirect en totaal · mediation

Data bij deze oefening — luchtkwaliteit.csv luchtmetingen in New York · diamantjes.csv de twaalf steentjes uit het boek · wat elke kolom betekent

prikkel

Eén helling van 0.13 — maar langs welke weg?

zon, temperatuur en ozon · de omweg

Een zomer boven New York, honderdelf dagen lang gemeten.¹ Op de dagen met veel zon ligt er meer ozon in de lucht; op de bewolkte dagen minder. Reken je die band uit, dan komt er een helling van 0.13 uit: elke extra streepje zonnestraling gaat, in déze zomer, samen met zo’n 0.13 ppb meer ozon.

Zon maakt ozon — het klinkt als een rechte lijn van het één naar het ander. Maar ozon ontstaat niet zómaar uit licht; het vormt zich fotochemisch, en dat gaat sneller als de lucht warm is. En zon maakt de lucht warm. Dus misschien loopt het zon-effect niet kaarsrecht naar de ozon, maar neemt het onderweg een omweg: zon → warmere lucht → meer ozon. De vraag van dit blok is niet óf zon en ozon samenhangen — dat weten we al — maar langs welke weg. Hoeveel van die 0.13 gaat rechtstreeks, en hoeveel gaat via de temperatuur?

speel het

Knip het effect in tweeën in JASP

paden a en b · direct en indirect effect

JASP heeft voor precies deze vraag een aparte module. Je wijst aan wat de voorspeller is, wat de tussenstap (mediator) is en wat de uitkomst is, en JASP knipt het effect zelf in een direct en een indirect deel.

Eerst zoals in het boek — de twaalf diamantjes · JASP 0.98.1

SEM → Mediation Analysis.
glans naar Dependent Variable, gladheid naar Mediators, karaat naar Predictors.

Van het totale effect van 32.14 loopt 31.16 via gladheid — 97%. Direct blijft 0.98 over.

Het pad karaat → gladheid → glans draagt a × b = 31.16 van het totale effect van 32.14: 97% loopt via de slijper, en wat rechtstreeks overblijft is die 0.98 uit het vorige hoofdstuk.

Nu jij — met de luchtmetingen die je in oefening 2.1 al zag. Bekende data, nieuwe vraag: die helling van 0.13, langs welke weg loopt die eigenlijk?

In JASP · trek eraan · JASP 0.98.1

Open luchtkwaliteit.csv in JASP (menu linksboven → Open).
Ontbreekt de module? Klik rechtsboven op het blauwe + en zet SEM aan. Klik dan bovenin op SEM → Mediation Analysis.
Sleep de uitkomst ozon naar het vak Dependent Variable.
Sleep de voorspeller zon naar het vak Predictor.
Sleep de tussenstap temp_F naar het vak Mediator.
JASP toont nu een tabel met Direct, Indirect en Total effect — de drie stukken die je zoekt.

Kijk naar die drie regels. Het totale effect van zon op ozon is 0.127. Het directe effect is 0.057 — dat stuk loopt rechtstreeks, buiten de warmte om. En het indirecte effect is 0.070 — het stuk dat via de temperatuur wordt doorgegeven. Ze passen op elkaar als puzzelstukjes: 0.057 + 0.070 = 0.127. Direct plus indirect is precies het totaal. Wil je zien waar die 0.070 vandaan komt: het is het product van twee paden — zon warmt de lucht op (pad a ≈ 0.031 graad per streepje) en elke graad warmer levert meer ozon op (pad b ≈ 2.28 ppb per graad). 0.031 × 2.28 ≈ 0.070.

trek het opnieuw

Bootstrap het indirecte pad

bootstrappen · trekken met teruglegging · 95%-interval

Dat indirecte pad van 0.070 — is dat echt, of kan zo’n omweg-getal ook uit toeval opborrelen? We willen het toetsen, maar er is een addertje: het indirecte effect is een product van twee geschatte getallen, en zulke producten hebben een scheve verdeling. Een nette symmetrische foutmarge klopt hier niet. Daarom leunt mediatie op bootstrappen: je trekt uit je 111 dagen duizend keer een nieuwe steekproef van 111 dagen — mét teruglegging, dus sommige dagen dubbel en andere niet — en herberekent telkens het indirecte effect. Die duizend waarden vormen een verdeling, en het middelste stuk daarvan (van 2.5% tot 97.5%) is je 95%-interval.

Het mooie: dit doet JASP zélf, je hoeft er niet voor te programmeren.

In JASP · zet de bootstrap aan · JASP 0.98.1

Blijf in SEM → Mediation Analysis met dezelfde velden ingevuld.
Open het kopje Statistics (of Options) en zet onder Confidence intervals de methode op Bootstrap.
Vul bij Replications het aantal 1000 in en draai opnieuw.
In de effect-tabel staan nu bij Indirect een onder- en bovengrens.

Kijk naar die twee grenzen bij het indirecte effect: het 95%-interval loopt van ongeveer 0.023 tot 0.113 — en het komt met geen enkele voet aan de nul. Duizend hertrekkingen, en het indirecte pad blijft staan. De omweg via de temperatuur is niet toeval; hij is echt. (Je eigen grenzen wijken een paar duizendsten af — een bootstrap trekt elke keer nét andere steekproeven, dus de staart wiebelt een beetje. De boodschap blijft: ruim boven nul.)

snap het

Wat mediatie wél en niet bewijst

mediator · richting van de pijlen · gemeenschappelijke oorzaak

Wat je hier hebt gedaan heet mediatie, en de kern past in één zin: het totale effect valt uiteen in een direct deel en een indirect deel.

\[ \underbrace{0.127}_{\text{totaal } (c)} \;=\; \underbrace{0.057}_{\text{direct } (c')} \;+\; \underbrace{0.070}_{\text{indirect } (a\cdot b)} \]

Ruim de helft — 55% — van het zon-effect op ozon loopt niet rechtstreeks, maar via de temperatuur. Zon warmt de lucht, warme lucht maakt ozon. De temperatuur is de mediator: de tussenstap die een stuk van het effect doorgeeft. Dat is de vraag die mediatie stelt — hoeveel van het effect van A op C loopt via B? — en het antwoord is hier: meer dan de helft.

Maar nu het addertje, en het is een grote. Die pijlen heb jíj erin gelegd. De data tonen je drie variabelen die samenhangen — meer niet. Dat zon vóór temperatuur komt, en temperatuur vóór ozon, dat weet je niet uit de getallen; dat weet je uit de natuurkunde. De fotochemie zegt: zon warmt op, warmte maakt ozon. Die kennis leg je bovenop de cijfers, en pas dán mag je het een mediatiemodel noemen. Draai de pijlen om en de wiskunde loopt net zo hard door — de getallen protesteren niet. Een mediatiemodel is een hypothese over hoe het werkt, geen bewijs dát het zo werkt.

Waarom dat scherp houden? Neem een tegenvoorbeeld. Stel je zou “pinguïnsoort → vinlengte → gewicht” als mediatie opschrijven: soort werkt op gewicht via de vin. De rekensom levert keurige getallen op — maar de pijl klopt niet, want vinlengte veroorzaakt geen gewicht; het zijn twee dingen die de soort samen groot maakt. Daar is de “mediator” in werkelijkheid een gemeenschappelijke oorzaak, en het model liegt met een uitgestreken gezicht. Bij zon → temperatuur → ozon durven we de pijlen wél te tekenen, niet omdat de cijfers mooier zijn, maar omdat de fysica de richting kent. De statistiek levert de grootte; de richting moet ergens anders vandaan komen.

jouw beurt

Nu de omweg van de wind

negatief indirect pad · tekens van de paden

Jouw beurt

Jouw beurt — dezelfde ontleding, maar nu met de wind als startpunt. In luchtkwaliteit.csv zit ook de kolom wind (windsnelheid in mijl/uur). Meer wind gaat samen met mínder ozon; de vraag is weer: loopt dat effect rechtstreeks, of deels via de temperatuur? (Wind koelt de lucht af, koelere lucht maakt minder ozon — dat is de omweg die je gaat opmeten.)

Draai de Mediation Analysis opnieuw, maar zet nu de wind vooraan: sleep wind naar Predictor en laat ozon in Dependent Variable en temp_F in Mediator staan. Lees weer de drie regels — Total, Direct, Indirect. Ter controle kom je op een totaal effect van ongeveer −5.73: elke mijl/uur meer wind gaat samen met bijna zes ppb minder ozon.
Kijk naar de andere twee regels: het directe effect is ongeveer −3.29 en het indirecte effect ongeveer −2.43 — samen precies de −5.73 van het totaal (op afronding na). Ruim veertig procent van het wind-effect loopt dus via de temperatuur.
Denk-vraag: alle getallen zijn hier negatíef, en tóch klopt de optelsom direct + indirect = totaal net zo netjes als bij de zon. Waaróm mag een indirect pad negatief zijn — en wat betekent een negatief indirect effect eigenlijk voor de omweg die de wind neemt? (Hint: kijk naar het teken van pad a — wat doet wind mét de temperatuur? — en het teken van pad b.)

rapportage

Schrijf het op als een onderzoeker

rapportagezin · c, c′ en ab · bootstrap-CI

Rapportage

Ook een mediatie mag je in gewone-mensentaal opschrijven — het blijft dat boodschappenlijstje in zinsvorm, alleen staan er nu drie getallen op in plaats van twee: wat het totale effect was, hoeveel daarvan rechtstreeks liep, en hoeveel de omweg nam. Kijk maar:

Om te onderzoeken of de zomerzon boven New York zijn effect op de ozonconcentratie deels via de luchttemperatuur doorgaf, ontleedden we het totale zon-effect (n = 111) in een direct en een indirect deel. Het totale effect bedroeg c = 0.13; daarvan liep c′ = 0.06 rechtstreeks en ab = 0.07 via de temperatuur (95% bootstrap-CI [0.02, 0.11], 1000 hertrekkingen) — ruim de helft van het effect nam dus de omweg.

Zie hoe de zin op eigen benen staat: hij noemt de steekproef, de variabelen én de drie paden, en je kunt hem zó uit de opdracht tillen. Twee vormafspraken lopen weer mee: alléén de symbolen c, c′, ab en n zijn cursief — de gewone woorden blijven rechtop — en de getallen krijgen een punt (0.13, geen komma), netjes op twee decimalen.

Jouw beurt: schrijf zelf zo’n zelfstandige zin voor de omweg van de wind (c = −5.73, c′ = −3.29, ab = −2.43). Let op de min-tekens — een omweg mag best de andere kant op wijzen. Hardop voorlezen mag.

◠ Zelfde vorm in het boek

Hier: één totaal effect dat uiteenvalt in een rechtstreeks deel en een deel dat via een tussenstap wordt doorgegeven.

In het boek: W11 — Het doorgegeven verschil

Daar draait het om dezelfde ontleding — direct, indirect, totaal — en om de waarschuwing eronder: de pijlen tussen de variabelen leg jij erin, de data tonen alleen dat ze samen bewegen.

Hayes in dit blok

Eén naam gaat hier een paar keer vallen: Andrew F. Hayes. Hij is de methodoloog achter PROCESS, het gereedschap waarmee zo ongeveer iedereen mediatie en moderatie draait, en hij is de man van de modelnummers: zeg waar dan ook “model 4” en een onderzoeker weet dat je mediatie bedoelt, zeg “model 1” en het is moderatie. Maar dat is niet waarom hij hier staat. Hayes is interessant omdat hij zijn eigen gereedschap durft af te danken. De Sobel-toets, jarenlang dé manier om een indirect effect te toetsen — en die jij straks gewoon met de hand uitrekent — heeft hij zelf ten grave gedragen toen er iets beters kwam. Zo hoort een methodoloog te werken: niet trouw aan zijn gereedschap, trouw aan de vraag.

De Sobel-toets op een kladje

Je hebt het indirecte pad: a × b = 31.16. Maar twaalf steentjes is een kleine wereld — kan zo’n omweg-getal ook uit toeval opborrelen? Dat is precies wat de Sobel-toets vraagt. Hij zet het product ab af tegen zijn eigen standaardfout: dat geeft een z, en die z geeft een p. Meer is het niet — één breuk. Je hebt er geen macro voor nodig en geen menu; een kladje en de getallen die je net zelf hebt uitgerekend zijn genoeg. Pak een pen.

\[ z \;=\; \frac{a \times b}{\sqrt{\,b^2 \cdot SE_a^2 \;+\; a^2 \cdot SE_b^2\,}} \]

Invullen met wat je hebt — a = 3.93 (SE = 1.54) en b = 7.93 (SE = 1.62):

onder het wortelteken: 7.93² × 1.54² = 150.0, plus 3.93² × 1.62² = 40.4, samen 190.4
de wortel daarvan: SE van ab = 13.80
en dus z = 31.16 / 13.80 = 2.26, met p = .024

Van kladje naar PROCESS

Daar staat het: z = 2.26, p = .024. Significant, zegt Sobel. En toch is dit het moment waarop Hayes zelf zou ingrijpen. De toets leunt namelijk op een aanname: dat ab netjes normaal verdeeld is. Maar een product van twee geschatte getallen is dat niet — de verdeling trekt scheef, en bij twaalf steentjes al helemaal. Daarom geeft PROCESS voor het indirecte effect geen z en geen p, maar een bootstrap-betrouwbaarheidsinterval: duizenden keren opnieuw trekken en kijken waar ab landt. Waarom dan toch eerst dat kladje? Omdat je nu weet wát PROCESS voor je toetst. Een macro die je aanzet voordat je snapt wat hij doet, is een knop. Nu is het een verrekijker.

Extra — hetzelfde in één analyse · JASP 0.98.1

JASP heeft PROCESS niet, maar wel de analyse waar het om gaat, mét bootstrap:

SEM → Mediation Analysis.
glans naar Dependent Variable, gladheid naar Mediators, karaat naar Predictors.
Open Options en zet Bootstrap aan (5000 samples).

Je krijgt pad a, pad b, het directe en het totale effect, en het indirecte effect met een bootstrap-interval in plaats van een Sobel-z.

Voetnoten

airquality — dagelijkse metingen, New York, mei–september 1973 (New York State Department of Conservation & National Weather Service); via het R-basispakket datasets. Complete gevallen n = 111. Alle getallen in dit blok zijn op die échte data nagerekend.↩︎