Thema 9 · t-toets

Deel 5 — Toetsen · de σ die we niet kennen

Van z naar t: σ kennen we nooit

In thema 8 deden we alsof we $\sigma_x$ kennen. Dat is een prettige fictie voor het uitleggen, maar in de echte wereld komt zo’n populatie-standaardafwijking nooit kant-en-klaar binnenwaaien. We schatten $\sigma_x$ met de standaardafwijking van onze steekproef: $s_x$. En dat extra schatten kost ons iets — vandaar een nieuwe verdeling: de t-verdeling.

OpmerkingDe egels — nu zonder cadeau van God

Zelfde context als thema 8: pienterheid, $H_0: \mu_x = 100$, $H_1: \mu_x > 100$, $\alpha = .05$, steekproef van $n = 25$ egels met $\bar{x} = 106$. Maar nu: $\sigma_x$ kennen we niet (alleen God kende ’m). We hebben $s_x = 15$ uit de steekproef — onze beste gok.

Wat verandert er?

Drie dingen, en eigenlijk maar drie:

1. De standaardfout wordt geschat: $SE_{\bar{x}} = \dfrac{s_x}{\sqrt{n}}$ in plaats van $\dfrac{\sigma_x}{\sqrt{n}}$.
2. De toetsingsgrootheid heet $t$ in plaats van $z$ — zelfde formule, andere naam: $t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{SE_{\bar{x}}}$.
3. We zoeken de kans op in de t-verdeling met $n-1$ vrijheidsgraden ($df$), niet in de z-tabel.

Voor onze egels: $SE_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{25}} = 3$ (toevallig gelijk aan thema 8 — handig voor het vergelijken). $df = n - 1 = 24$.

De t-verdeling: z, maar met extra onzekerheid in de staarten

De t-verdeling lijkt op de standaardnormale, maar heeft dikkere staarten — meer kans op extreme uitkomsten. En daarom moet je bewijs ook iets sterker zijn: de kritieke grens ligt iets verder van het midden dan bij $z$ (je zag het in de figuur: $\bar{x}_c = 105{,}13$ in plaats van $104{,}94$). Die dikkere staarten krijg je precies doordat je $\sigma$ door $s$ vervangt: $s$ is zelf ook een schatting met ruis, dus de hele toetsstatistiek wordt iets onzekerder. Je hoort ook de kortere versie — een steekproef onderschat de spreiding in de populatie, zeker een kleine — en dat woord onderschatting moet je kennen, want er wordt in de werkgroep mee gerekend en naar gevraagd. Maar het is een ezelsbruggetje, geen mechanisme: door de $n-1$ in de noemer is $s$ nauwelijks te laag (bij $n = 25$ ongeveer één procent), en de staarten worden dik doordat $s$ schommelt, niet doordat hij te klein is. Hoe groter $n$ (dus $df$), hoe beter $s$ de echte $\sigma$ benadert, en hoe meer de t-verdeling op de z-verdeling lijkt. Bij heel veel vrijheidsgraden vallen $t$ en $z$ samen — vandaar dat de onderste rij van Tabel D gewoon $z^{*}$ heet.

Figuur 1: De standaardnormale verdeling (z, donkergrijs, doorgetrokken) en de t-verdeling bij df = 9 (oranje, gestippeld). De t-verdeling heeft dikkere staarten en een iets lagere top — meer onzekerheid in de extremen. Bij df = 24 is het verschil al klein; bij df → ∞ vallen ze samen.

TipVrijheidsgraden — een korte intuïtie

Met $n$ scores en een vastgelegd gemiddelde, mogen $n-1$ scores nog vrij wisselen — de laatste ligt vast (anders verandert het gemiddelde). Vandaar $df = n - 1$. En omdat we $s_x$ rond datzelfde steekproefgemiddelde berekenen, verliezen we precies die ene vrijheid — daarom duikt $df$ juist bij de t-toets (met geschatte $s$) op. Hoe meer vrijheidsgraden, hoe stabieler $s_x$ als schatting van $\sigma_x$, hoe smaller de staarten.

De snelle weg (3 regels, overzicht)

Voor de egels ($\bar{x} = 106$, $s_x = 15$, $n = 25$, $\mu_0 = 100$, eenzijdig, $\alpha = .05$):

1. Standaardiseer: $t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{SE_{\bar{x}}} = \dfrac{106 - 100}{3} = 2{,}00$ met $df = 24$.
2. Zoek de kans: $p = .028$ (rechterstaart, t-tabel df = 24). $p < .05$.
3. Beslis: verwerp de nulhypothese.

Conclusie: ook zonder $\sigma_x$ als cadeau scoren egels significant boven de norm van 100. Klaar.

Dezelfde toets-beweging als in T8, nu met $t$: $\bar{x} \to t \to p$. Je standaardiseert je steekproef met het lineaaltje (de geschatte SE) naar $t$, en zoekt de kans $p$ — alleen kijk je nu in de t-tabel ($df = n-1$), met die iets dikkere staart. Het kaartje zegt niet voor niks “$z$ (of $t$)”.

De lange weg — het toetsingsschema, acht stappen

Stap 1 · Onderzoeksvraag. Zijn egels pienterder dan de norm van 100?

Stap 2 · Hypothesen. $H_0: \mu_x = 100$. $H_1: \mu_x > 100$ (rechtszijdig). (Op de collegesheets en de antwoordbladen heet die tweede $H_a$ — zelfde hypothese, andere letter.)

Stap 3 · Toetskeuze. Eén gemiddelde, $\sigma_x$ onbekend → één-steekproefs t-toets (in plaats van z).

Stap 4 · Situatieschets — laat $H_0$ waar zijn en teken de steekproevenverdeling. Onder $H_0$ ligt het centrum op $\mu_0 = 100$ met geschatte standaardfout $SE_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{25}} = 3$. De rechterstaart van 5% (= $\alpha$) is het verwerpingsgebied — maar nu met $t$ ($df = 24$), niet met $z$:

Figuur 2: De steekproevenverdeling onder H0 (mu0 = 100, geschatte standaardfout 3, t-verdeling met df = 24). De oranje staart is het verwerpingsgebied (α = .05); de kritieke waarde ligt op x̄c = 105,13 (iets verder dan T8’s 104,94, omdat de t-verdeling extra onzekerheid in de staart inbouwt). De gevonden steekproef x̄ = 106 (blauwe lijn) valt nog steeds in het verwerpingsgebied → verwerpen.

Stap 5 · Toetsingsgrootheid. $t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{SE_{\bar{x}}} = \dfrac{106 - 100}{3} = 2{,}00$.

Stap 6 · p-waarde of kritieke waarde.

• p-waarde: in de t-tabel bij $df = 24$ hoort bij $t = 2{,}00$ een eenzijdige $p \approx .028$. (Vergelijk T8: voor $z = 2{,}00$ was $p = .023$. T levert iets hogere $p$ — de dikkere staart.)
• Kritieke waarde: bij $\alpha = .05$ eenzijdig en $df = 24$ is $t^* = 1{,}711$. Dus $\bar{x}_c = 100 + 1{,}711 \cdot 3 = 105{,}13$. De gevonden $\bar{x} = 106 > 105{,}13$ → verwerpen.

De kritieke-waarde-route, nu met $t$: $\alpha \to t_c \to \bar{x}_c$. Bij $\alpha$ (5% in één staart, $df = 24$) zoek je de kritieke $t$ (1,711 — iets verder dan z’s 1,645), en die plak je terug op de x-schaal ($\bar{x}_c = 105{,}13$). Zelfde koorts-cutoff, alleen ligt de lat een tikje hoger door de dikkere staart.

Stap 7 · Statistische beslissing. Verwerp de nulhypothese ($t = 2{,}00$, $df = 24$, $p = .028$, eenzijdig, $\alpha = .05$).

Stap 8 · Inhoudelijke conclusie. Bij egels ligt de gemiddelde pienterheid significant boven de norm van 100 — ook nu we $\sigma_x$ niet kenden en met $s_x$ moesten werken.

OpmerkingIn SPSS — klikpad

Data om mee te spelen: egels_pienterheid.sav — of de hele zip. Met de data per egel in een kolom doe je dezelfde toets met een paar klikken:

Analyze → Compare Means → One-Sample T Test → variabele naar Test Variable(s) → bij Test Value je norm (hier 100) invullen → OK.

Aflezen: kolom $t$, $df$ en Sig. (de p-waarde). Let op: SPSS geeft tweezijdig — voor een eenzijdige toets deel je die p door 2.

Belangrijkt-tabel afwijkend van z-tabel — en de procenten-rij

De t-tabel is anders opgebouwd dan de z-tabel: je zoekt in de kolom een staartkans en in de rij je $df$ — daar staat de kritieke $t^*$. Let op hoe die kolommen heten: bovenaan staan proporties (.05, .025, …) onder het kopje upper-tail probability. De percentages onderaan de tabel zijn iets anders — dat is de betrouwbaarheid, en die is tweezijdig. 95% hangt daar dus boven kolom .025, niet boven .05. (Bij de z-tabel zoek je in het binnenwerk een kans-bij-een-z; de t-tabel is bewust korter.) In schema:

• z-tabel: $z \;\to\;$ kans
• t-tabel: $df$ + staartkans $\;\to\;$ kritieke $t^*$. Voor $df = 24$ en eenzijdig 5%: $t^* = 1{,}711$. De onderste rij heet niet $\infty$ maar $z^{*}$; daar zie je 1,645 staan — exact de z-waarde. Dat is dezelfde “procenten-rij” als het college gebruikt; alleen vraag jij ’m rechtstreeks (“welke $t$ bij 5% in één staart bij $df = 24$?”) in plaats van via de p-waarde.

Het t-betrouwbaarheidsinterval

Net als in thema 7 kun je rond $\bar{x}$ een interval bouwen, maar nu met $t^*$ in plaats van $z^*$ en met $SE_{\bar{x}}$ in plaats van $\sigma_{\bar{x}}$:

$$\bar{x} \pm t^* \cdot SE_{\bar{x}}$$

Voor 95% tweezijdig bij $df = 24$: $t^* = 2{,}064$ (uit de t-tabel). Dus $106 \pm 2{,}064 \cdot 3 = 106 \pm 6{,}19 = [99{,}81\,;\,112{,}19]$. Iets breder dan T7’s $z$-CI $[100{,}12\,;\,111{,}88]$ — de prijs van het schatten. Let op: hier ligt 100 wél nét binnen het interval — dus bij een tweezijdige toets ($\alpha = .05$, $H_1: \mu \neq 100$) zou je deze nét niet verwerpen. Eenzijdig wel.

Hetzelfde fietsje als in thema 7: je start op $\bar{x}$ en fietst $t^*$ uur met snelheid $SE_{\bar{x}}$. Typ het ook in die volgorde. Voor de rechtergrens is dat $106 + 2{,}064 \times 3 = 112{,}19$, voor de linkergrens fiets je de andere kant op: $106 - 2{,}064 \times 3 = 99{,}81$.

Komt er bij jou $324{,}19$ uit? Dan rekent je rekenmachine na elke knop meteen uit. Typ dan eerst $2{,}064 \times 3 = 6{,}19$ en fiets daarna vanaf 106: $106 + 6{,}19$ en $106 - 6{,}19$.

TipTwee staarten? Dezelfde Pippi-regel als bij z

Toets je tweezijdig ($H_1: \mu_x \neq 100$)? Dan geldt precies de regel uit T8, ook bij $t$:

• p-waarde-methode: zoek één staart op in de t-tabel en doe ×2 (Pippi) — zo matcht het SPSS, dat een tweezijdige $p$ teruggeeft. (Andersom: SPSS geeft die $p$ al tweezijdig, dus voor een eenzijdige toets deel je ’m juist door 2.)
• kritieke-waarde-methode: deel $\alpha$ door 2 → ½α = .025 per kant → zoek $t^*$ bij .025. Géén Pippi hier; het is al per kant gesplitst.

Kort: Pippi (×2) ⇒ p-waarde; ½α per kant ⇒ kritieke waarde.

De onafhankelijke t-toets — twee groepen vergelijken

Je komt hem onder een handvol namen tegen: independent samples t-toets, two-sample t-toets, between-subjects t-toets. Eén toets, een stuk of zes etiketten — laat je er op een meerkeuzevraag niet door afleiden.

Tot nu toe één steekproef tegen een norm. Maar meestal wil je twee dingen naast elkaar leggen: werkt interventie A beter dan B, scoort groep 4A anders dan 4B. Daar is de onafhankelijke t-toets voor, en die moet je op het tentamen met de hand kunnen uitvoeren — inclusief zijn betrouwbaarheidsinterval. Let op dat “het betrouwbaarheidsinterval” bij twee groepen twee dingen kan betekenen: het interval om het verschil (verderop), of gewoon een interval om één van de twee groepsgemiddelden. Dat laatste is het één-steekproefs-interval van hierboven, met de $n$ en de $s$ van díé groep — en het is wat de werkgroep je het eerst vraagt.

De gedachte verandert niet. Je pakt een verschil, je deelt het door zijn standaardfout, en je kijkt hoe extreem dat is als er in werkelijkheid geen verschil zou zijn. Alleen is “het verschil” nu $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ in plaats van $\bar{x} - \mu_0$.

BelangrijkNeem de formule van het formuleblad, niet die uit je hoofd

Op het tentamen krijg je deze:

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}} \qquad df = n_{\min} - 1$$

Twee dingen om vast te houden. De noemer telt de twee standaardfouten in het kwadraat bij elkaar op en trekt daar de wortel uit — elke groep brengt zijn eigen onzekerheid mee. En de vrijheidsgraden zijn $n_{\min} - 1$: de kleinste groep bepaalt, want die is je zwakste schakel.

Dat laatste is de voorzichtige variant. SPSS rekent anders en komt op meer vrijheidsgraden uit — op twee manieren zelfs. Geen van beide is jouw 9. Leg je ze naast elkaar, dan denk je dat je fout zit — dat ben je niet. Waar dat vandaan komt lees je verderop; op het tentamen telt het blad.

Zo reken je hem uit

Het voorbeeld komt uit je eigen college. Twee interventies om peuters meer groente te laten eten: groep 1 proeft steeds andere soorten, groep 2 krijgt ouders die gevoeliger op het eetgedrag reageren. Daarna meet je de groente-inname.

$$\bar{x}_1 = 24{,}0 \quad s_1 = 13{,}0 \quad n_1 = 10$$ $$\bar{x}_2 = 20{,}0 \quad s_2 = 6{,}0 \quad n_2 = 15$$

Stap 5 · Toetsingsgrootheid. Eerst de noemer, want daar zit het werk:

$$\sqrt{\frac{13{,}0^2}{10} + \frac{6{,}0^2}{15}} = \sqrt{16{,}9 + 2{,}4} = \sqrt{19{,}3} \approx 4{,}3932$$

Laat die vier decimalen staan; je hebt ze zo nog nodig. Dan de teller, en delen:

$$t = \frac{24{,}0 - 20{,}0}{4{,}3932} \approx 0{,}91$$

De vrijheidsgraden. De kleinste groep heeft er 10, dus $df = 10 - 1 = 9$. Let op: níét 15, en níét 23.

Stap 6 · p-waarde. Zoek in Tabel D de rij $df = 9$. Daar staat bij 5% tweezijdig een kritieke waarde van 2,262. Onze 0,91 komt daar niet in de buurt; de tabel laat zien dat p ruim boven .05 ligt.

Stap 7 en 8. Niet verwerpen. In gewone taal: dit onderzoek laat niet zien dat de ene interventie beter werkt dan de andere. Let op wat daar níét staat — niet dat ze even goed werken, maar dat je met deze data het verschil niet kunt aantonen. Met tien en vijftien peuters en zulke grote spreidingen kun je een echt verschil makkelijk missen.

TipHet betrouwbaarheidsinterval voor het verschil

Dezelfde bouwstenen, andere vraag: niet is er verschil maar hoe groot is het ongeveer. Je pakt het gevonden verschil en zet er de foutmarge omheen:

$$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^{*} \cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$$

Voor de peuters, met de standaardfout van hierboven: $4{,}0 \pm 2{,}262 \times 4{,}3932 \approx 4{,}0 \pm 9{,}94$, dus $[-5{,}94\,;\,13{,}94]$. (Had je de standaardfout al op $4{,}39$ afgerond, dan kreeg je $9{,}93$ — net naast de rand. Rond ook hier pas af aan het eind.)

Kijk waar dat interval doorheen loopt: nul zit erin. Dat is dezelfde conclusie als de toets, maar je ziet er meteen bij hoe weinig je eigenlijk weet — het echte verschil kan zomaar zes eenheden de andere kant op zijn. Toets en interval vertellen hetzelfde verhaal; het interval is er eerlijker over.

Deze formule staat niet op het formuleblad. Hij volgt uit de twee stukken die er wél op staan — het interval met $t^{*}$, en de standaardfout hierboven.

OpmerkingEn die andere formule dan, die je overal ziet?

In SPSS, in je boek en op internet kom je een andere versie tegen, met een samengetrokken standaardafwijking $s_p$ en $df = n_1 + n_2 - 2$. Bij de peuters zou dat $df = 23$ geven in plaats van 9, en dus een andere kritieke waarde en een ander interval.

Die versie is niet fout — hij gaat er alleen van uit dat beide groepen dezelfde spreiding in de populatie hebben. Dat is precies wat SPSS in zijn bovenste regel doet (equal variances assumed): bij de peuters komt daar $t = 1{,}04$ uit bij $df = 23$.

De onderste regel (equal variances not assumed) laat die aanname los. Die gebruikt exact de noemer van jouw formuleblad, en geeft dus exact jouw eigen $t = 0{,}91$ terug — alleen de vrijheidsgraden zijn anders ingevuld, met een getal dat een komma heeft: $df = 11{,}59$. Jij houdt het op 9 en bent daarmee de voorzichtigste van de drie.

Voor OZP 1 heb je geen van beide nodig en worden ze niet getoetst. Kom je ze tegen: goed dat je ze herkent, en pak op het tentamen het blad.

TipTer kennismaking: de gepaarde (paired samples) t-toets — geen tentamenstof

Wanneer? Je hebt twee metingen aan dezelfde eenheden (bijv. egel-pienterheid vóór en ná een training). Bereken per egel het verschil $d_i = y_{i,\text{na}} - y_{i,\text{voor}}$, en toets of dat verschil 0 is.

Formule: doe een gewone één-steekproefs t-toets op de verschillen, met $df = n - 1$:

$$t = \dfrac{\bar{d}}{\dfrac{s_d}{\sqrt{n}}}$$

Trucje: gepaard reduceert de variatie tussen egels (elke egel is z’n eigen controle) → vaak meer power dan een onafhankelijke t op dezelfde data.

De gepaarde variant hierboven staat niet op het formuleblad en komt niet op het tentamen — herkennen is genoeg, hij komt verderop in je studie terug. De gedachte is bij alle drie dezelfde: een verschil delen door zijn standaardfout, en kijken hoe extreem dat is onder $H_0$.

Oefenen

OpmerkingT9.1 — t-toets uitvoeren

Bij een steekproef van $n = 16$ leerlingen op een nieuwe leesvaardigheidstoets vind je $\bar{x} = 54$, $s_x = 8$. De landelijke norm is $\mu_0 = 50$. Toets eenzijdig ($H_1: \mu > 50$) bij $\alpha = .05$.

1. Wat is $SE_{\bar{x}}$ en $df$?

2. Wat is $t$?

3. De kritieke waarde $t^*$ bij eenzijdig $\alpha = .05$, $df = 15$ is 1,753. Verwerpen?

OpgeletAntwoord T9.1

(a) $SE_{\bar{x}} = \dfrac{8}{\sqrt{16}} = 2$. $df = 16 - 1 = 15$.

(b) $t = \dfrac{54 - 50}{2} = 2{,}00$.

(c) $t = 2{,}00 > 1{,}753$ → verwerp de nulhypothese. De leerlingen scoren significant boven de landelijke norm ($t = 2{,}00$, $df = 15$, eenzijdig, $\alpha = .05$).

OpmerkingT9.1 in SPSS — controleer je t-toets

Data: leesvaardigheid.sav — 16 leerlingen, één kolom leesscore.

Analyze → Compare Means → One-Sample T Test → zet leesscore bij Test Variable(s) → vul bij Test Value de norm 50 in → OK.

Aflezen: t = 2,00, df = 15, en Sig. (2-tailed). SPSS geeft de p tweezijdig; onze toets is eenzijdig, dus deel die Sig. door 2. Je vindt exact je handwerk terug — en de toets verwerpt $H_0$.

OpmerkingT9.2 — t-CI bouwen

Met diezelfde steekproef ($\bar{x} = 54$, $s_x = 8$, $n = 16$): bouw het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor $\mu_x$. Gebruik $t^*_{\text{tweezijdig},.05,df=15} = 2{,}131$.

0. Wat typ je in voor de rechtergrens?

1. Bouw het hele interval. Ligt 50 erin?

OpgeletAntwoord T9.2

(0) Eerst je snelheid: $SE_{\bar{x}} = \dfrac{8}{\sqrt{16}} = 2$. Dan start je op $\bar{x} = 54$ en fietst $t^* = 2{,}131$ uur met die snelheid, dus je typt $54 + 2{,}131 \times 2 = 58{,}26$. Komt er bij jou $112{,}26$ uit? Dan rekent je rekenmachine na elke knop meteen uit. Typ dan eerst $2{,}131 \times 2 = 4{,}26$ en fiets daarna vanaf 54: $54 + 4{,}26$.

(a) $SE_{\bar{x}} = 2$. Foutenmarge $m = 2{,}131 \cdot 2 = 4{,}26$. Interval: $54 \pm 4{,}26 = [49{,}74\,;\,58{,}26]$. 50 ligt erin (maar nét). Noteer hem met zijn label erbij — 95% BI $[49{,}74\,;\,58{,}26]$ — en zeg het daarna in één zin, want daar wordt op nagekeken: het gemiddelde leesniveau in de populatie ligt met 95% zekerheid tussen 49,74 en 58,26. (Strikt genomen gaat die 95% over álle intervallen die je zo bouwt, niet over dit ene — zie thema 7.) Bij een tweezijdige toets zou je dus niet verwerpen — terwijl je eenzijdig wél verwerpt. Dezelfde val als in T8: kies één-/tweezijdig vooraf en met onderbouwing.

OpmerkingT9.2 in SPSS — het t-CI laten uitrekenen

Data: leesvaardigheid.sav — dezelfde 16 leerlingen als T9.1, kolom leesscore ($\bar{x} = 54$, $s = 8$).

Analyze → Compare Means → One-Sample T Test → leesscore bij Test Variable(s) → Test Value 50 → eventueel bij Options… het Confidence Interval Percentage op 95 → OK.

Aflezen: het 95% Confidence Interval of the Difference geeft $[-0{,}26\,;\,8{,}26]$ — dat is het interval rond het verschil met 50. Tel de testwaarde 50 er weer bij op en je krijgt $[49{,}74\,;\,58{,}26]$, exact je handwerk. Dat 0 nét binnen het verschil-interval ligt (en 50 dus binnen het score-interval) is precies waarom je tweezijdig níét zou verwerpen.

OpmerkingT9.3 — t-toets tweezijdig: anders dan de norm?

De kraaien staan bekend als de brutaaltjes van het bos, maar zijn ze ook pienterder of juist dommer dan de norm van $\mu_0 = 100$? Je vangt $n = 16$ kraaien, laat ze de pienterheidstoets doen en vindt $\bar{x} = 108$ met $s_x = 15$ (de standaardafwijking in deze steekproef — dus $\sigma_x$ onbekend). Toets tweezijdig op $\alpha = .05$ of kraaien gemiddeld afwijken van 100.

$t = 2{,}133$ bij $df = 15$ — tweezijdig, net voorbij de grens

OpgeletKort antwoord T9.3

• $H_0: \mu_x = 100$
• $H_1: \mu_x \neq 100$ — uit de vraag “anders dan 100?”, niet uit je steekproef
• $SE_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{16}} = 3{,}75$
• $t_{15} = \dfrac{108 - 100}{3{,}75} = 2{,}133$
• $df = 16 - 1 = 15$
• t-tabel, rij $df = 15$: $2{,}133$ ligt tussen $2{,}131$ (kolom .025) en $2{,}249$ (kolom .020) → eenzijdig $.020 < p < .025$
• Tweezijdig → ×2: $.040 < p < .050$
• $p \leq \alpha\ (.05)$ → $H_0$ verwerpen
• Antwoord: kraaien scoren gemiddeld significant anders (hier: hoger) dan de norm van 100

OpgeletVolledige uitwerking T9.3 — stap voor stap

1. $H_0$ / $H_1$ uit de vraag. Streep het vraagteken weg → de stellende zin “kraaien zijn anders dan 100” is je $H_1$; $H_0$ is de ontkenning. (Nooit uit je steekproef aflezen — de 108 mag de richting niet bepalen.) Dus, onder elkaar:
   $H_0: \mu_x = 100$
   $H_1: \mu_x \neq 100$
2. Toetskeuze. Eén gemiddelde, $s_x$ komt uit de steekproef → $\sigma_x$ onbekend → één-steekproefs t-toets.
3. Standaardfout. $SE_{\bar{x}} = \dfrac{s_x}{\sqrt{n}} = \dfrac{15}{\sqrt{16}} = \dfrac{15}{4} = 3{,}75$.
4. Toetsingsgrootheid. $t_{15} = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{SE_{\bar{x}}} = \dfrac{108 - 100}{3{,}75} = 2{,}133$ (op 3 decimalen, zodat je ’m makkelijk in de tabel matcht). $df = n - 1 = 15$.
5. Opzoeken = een range, geen exacte $p$. Ga naar rij $df = 15$. Je $t = 2{,}133$ valt tussen twee tabelwaarden: $2{,}131$ (onder kolom .025) en $2{,}249$ (onder kolom .020). Grotere $t$ → kleinere $p$, dus je eenzijdige kans zit tussen die twee kolom-$p$’s: $.020 < p < .025$.
6. Tweezijdig → ×2 (Pippi). Je $H_1$ heeft twee kanten ($\neq$), dus twee even grote staartjes: verdubbel de eenzijdige range. $.020 \times 2 = .040$ en $.025 \times 2 = .050$, dus $.040 < p < .050$.
7. Beslissen — when p is low, $H_0$ must go: de hele range ligt op of onder $\alpha = .05$, dus $p \leq .05$ → verwerp $H_0$.
8. Conclusie. Kraaien wijken gemiddeld significant af van de norm ($t = 2{,}133$, $df = 15$, tweezijdig, $\alpha = .05$); met $\bar{x} = 108$ scoren ze hoger dan 100. Pas hier, in de conclusiezin, mag je desnoods zeggen “een kans van minder dan 5%” — in de berekening zelf hield je netjes de proportie $p$ aan.

OpmerkingT9.4 — t-toets eenzijdig rechts: hoger dan de norm?

De boswachter beweert dat de wezels dit jaar gemiddeld hoger dan $\mu_0 = 6{,}5$ scoren op de foerageertoets. Bij $n = 30$ wezels vind je $\bar{x} = 7$ met $s_x = 1{,}2$. Toets eenzijdig (rechts) op $\alpha = .05$.

$t = 2{,}282$ bij $df = 29$ — eenzijdig rechts, in de rechterstaart

OpgeletKort antwoord T9.4

• $H_0: \mu_x = 6{,}5$
• $H_1: \mu_x > 6{,}5$ — uit de vraag “hoger dan 6,5?”
• $SE_{\bar{x}} = \dfrac{1{,}2}{\sqrt{30}} \approx 0{,}2191$
• $t_{29} = \dfrac{7 - 6{,}5}{0{,}2191} \approx 2{,}282$
• $df = 30 - 1 = 29$
• Rechterstaart (want $H_1$ “hoger”), rij $df = 29$: $2{,}282$ ligt tussen $2{,}150$ (kolom .02) en $2{,}462$ (kolom .01) → $.01 < p < .02$
• Eenzijdig → géén ×2
• $p \leq \alpha\ (.05)$ → $H_0$ verwerpen
• Antwoord: wezels scoren gemiddeld significant hoger dan 6,5

OpgeletVolledige uitwerking T9.4 — stap voor stap

1. $H_0$ / $H_1$ uit de vraag. Vraagteken weg → “wezels scoren hoger dan 6,5” = $H_1$; $H_0$ is de ontkenning. Dus:
   $H_0: \mu_x = 6{,}5$
   $H_1: \mu_x > 6{,}5$
2. Toetskeuze. Eén gemiddelde, $s_x$ uit de steekproef → één-steekproefs t-toets.
3. Standaardfout. $SE_{\bar{x}} = \dfrac{1{,}2}{\sqrt{30}} = \dfrac{1{,}2}{5{,}477} \approx 0{,}2191$. Hou hier vier decimalen aan: rond je nu al af op $0{,}219$, dan geeft de volgende stap $2{,}283$ in plaats van $2{,}282$.
4. Toetsingsgrootheid. $t_{29} = \dfrac{7 - 6{,}5}{0{,}2191} \approx 2{,}282$; $df = n - 1 = 29$.
5. Welke staart? Uit de $H_1$, niet uit het teken. $H_1$ zegt “hoger” → rechterstaart. (Dat $t$ positief uitkomt, bevestigt dat alleen maar.)
6. Opzoeken = een range. Rij $df = 29$: $t = 2{,}282$ valt tussen $2{,}150$ (kolom .02) en $2{,}462$ (kolom .01). Dus $.01 < p < .02$.
7. Eenzijdig → géén ×2. Er is maar één staart in het spel, dus je leest de kolom-$p$’s direct af — niet verdubbelen.
8. Beslissen. $p \leq .02 < \alpha\ (.05)$ → when p is low, $H_0$ must go → verwerp $H_0$.
9. Conclusie. De wezels scoren gemiddeld significant hoger dan de norm van 6,5 ($t = 2{,}282$, $df = 29$, eenzijdig, $\alpha = .05$).

OpmerkingT9.5 — t-toets eenzijdig links: lager dan de norm?

De vossen zouden dit seizoen juist lager dan $\mu_0 = 5{,}5$ scoren op de sluwheidstoets — te veel afleiding bij het kippenhok. Bij $n = 25$ vossen vind je $\bar{x} = 4{,}8$ met $s_x = 1{,}2$. Toets eenzijdig (links) op $\alpha = .05$.

$t = -2{,}917$ bij $df = 24$ — eenzijdig links; opzoeken als $+2{,}917$

OpgeletKort antwoord T9.5

• $H_0: \mu_x = 5{,}5$
• $H_1: \mu_x < 5{,}5$ — uit de vraag “lager dan 5,5?”
• $SE_{\bar{x}} = \dfrac{1{,}2}{\sqrt{25}} = 0{,}24$
• $t_{24} = \dfrac{4{,}8 - 5{,}5}{0{,}24} = -2{,}917$
• $df = 25 - 1 = 24$
• Linkerstaart (want $H_1$ “lager”); negatieve $t$ opzoeken als $+2{,}917$
• Rij $df = 24$: $2{,}917$ ligt tussen $2{,}797$ (kolom .005) en $3{,}091$ (kolom .0025) → $.0025 < p < .005$
• Eenzijdig → géén ×2
• $p \leq \alpha\ (.05)$ → $H_0$ verwerpen
• Antwoord: vossen scoren gemiddeld significant lager dan 5,5

OpgeletVolledige uitwerking T9.5 — stap voor stap

1. $H_0$ / $H_1$ uit de vraag. Vraagteken weg → “vossen scoren lager dan 5,5” = $H_1$; $H_0$ is de ontkenning. Dus:
   $H_0: \mu_x = 5{,}5$
   $H_1: \mu_x < 5{,}5$
2. Toetskeuze. Eén gemiddelde, $s_x$ uit de steekproef → één-steekproefs t-toets.
3. Standaardfout. $SE_{\bar{x}} = \dfrac{1{,}2}{\sqrt{25}} = \dfrac{1{,}2}{5} = 0{,}24$.
4. Toetsingsgrootheid. $t_{24} = \dfrac{4{,}8 - 5{,}5}{0{,}24} = \dfrac{-0{,}7}{0{,}24} = -2{,}917$; $df = n - 1 = 24$. De $t$ is negatief — logisch, want $\bar{x}$ ligt onder $\mu_0$.
5. Welke staart? Uit de $H_1$. $H_1$ zegt “lager” → linkerstaart. Het minteken van $t$ bevestigt dat.
6. Negatieve $t$ opzoeken alsof-ie positief is. De verdeling is symmetrisch, dus je zoekt $|t| = 2{,}917$ op in dezelfde tabel. Rij $df = 24$: $2{,}917$ valt tussen $2{,}797$ (kolom .005) en $3{,}091$ (kolom .0025). Dus $.0025 < p < .005$.
7. Eenzijdig → géén ×2. Eén staart, dus de kolom-$p$’s direct aflezen.
8. Beslissen. $p < .005 \leq \alpha\ (.05)$ → verwerp $H_0$.
9. Conclusie. De vossen scoren gemiddeld significant lager dan de norm van 5,5 ($t = -2{,}917$, $df = 24$, eenzijdig, $\alpha = .05$).

OpmerkingT9.6 — p-range aflezen (tentamenvraag V24)

Op het tentamen (versie V24) krijg je de rekenstap al cadeau: een collega vond $t = -1{,}78$ bij $df = 30$ en toetste tweezijdig. Gevraagd: bepaal de $p$-range en beslis bij $\alpha = .05$. (Herken de valkuil: de $t$ is al gegeven, jij hoeft ’m alleen nog in de tabel te plaatsen en de tweezijdig-regel toe te passen.)

$|t| = 1{,}78$ bij $df = 30$ — tweezijdig, binnen de grenzen (niet verwerpen)

OpgeletKort antwoord T9.6

• Negatieve $t$ opzoeken als $|t| = 1{,}78$
• Rij $df = 30$: $1{,}78$ ligt tussen $1{,}697$ (kolom .05) en $2{,}042$ (kolom .025) → eenzijdig $.025 < p < .05$
• Tweezijdig → ×2: $.05 < p < .10$
• $p > \alpha\ (.05)$ → $H_0$ niet verwerpen
• Antwoord: $.05 < p < .10$; niet significant

OpgeletVolledige uitwerking T9.6 — stap voor stap

1. Wat is er gegeven? $t = -1{,}78$, $df = 30$, tweezijdig. Je hoeft niets meer te standaardiseren — direct de tabel in. (Ook dít is een vaardigheid: soms geeft het tentamen de $t$ en vraagt alleen de $p$-range + beslissing.)
2. Negatieve $t$ opzoeken alsof-ie positief is. De $t$-verdeling is symmetrisch, dus je zoekt $|t| = 1{,}78$.
3. Opzoeken = een range. Rij $df = 30$: $1{,}78$ valt tussen $1{,}697$ (kolom .05) en $2{,}042$ (kolom .025). Grotere $t$ → kleinere $p$, dus je eenzijdige kans zit tussen die twee kolom-$p$’s: $.025 < p < .05$.
4. Tweezijdig → ×2 (Pippi). Verdubbel de eenzijdige range: $.025 \times 2 = .05$ en $.05 \times 2 = .10$, dus $.05 < p < .10$.
5. Beslissen. De hele range ligt boven $\alpha = .05$, dus $p > .05$ → $H_0$ niet verwerpen. (De riedel when p is low, $H_0$ must go gaat hier dus juist niet op: $p$ is niet laag genoeg.)
6. Conclusie. Met $.05 < p < .10$ is het resultaat niet significant bij $\alpha = .05$. Let op de val: was er eenzijdig getoetst, dan lag $p$ tussen $.025$ en $.05$ en had je wél verworpen — kies één-/tweezijdig dus vooraf en met onderbouwing.

OpmerkingT9.7 — Zes zinnen: z of t?

Je hoeft niets uit te rekenen. Lees elke zin en kies: reken je hier met $z$ of met $t$?

1. De pienterheidstoets is genormeerd op alle egels in het bos: bij hen is de standaardafwijking 15. Jij test 25 egels.
2. Jij test 25 egels. In jouw steekproef is de standaardafwijking 15.
3. In een pilot met 10 egels blijkt de standaardafwijking in de steekproef 12 te zijn. Daarom gaan de onderzoekers ervan uit dat de standaardafwijking in de populatie ook 12 is. Daarna testen ze 40 egels.
4. Het gemiddelde van alle egels in het bos is bekend: 100. Hoe groot de spreiding bij al die egels is, weet niemand. In jouw steekproef van 25 egels is de standaardafwijking 15.
5. Jij test 150 egels. In jouw steekproef is de standaardafwijking 15.
6. In een verslag over 25 egels staat $\sigma = 13$. Een zin verderop lees je dat die 13 is uitgerekend op diezelfde 25 egels.

OpgeletAntwoord T9.7

1. $z$. De tekst geeft de standaardafwijking van de populatie: alle egels in het bos.
2. $t$. Je hebt alleen de standaardafwijking van je eigen steekproef.
3. $z$. Die 12 komt wel uit een steekproef, maar de tekst zegt dat de onderzoekers hem als standaardafwijking van de populatie nemen. Daarmee is hij in deze opgave de $\sigma$, en reken je met $z$. Of die aanname verstandig is, is een andere vraag; voor je keuze telt wat de tekst zegt. Zo rekent de werkgroep zo’n opgave ook: met $z^* = 1{,}96$.
4. $t$. Een bekend populatiegemiddelde verandert niets: dat is gewoon je $\mu_0$, en die heb je bij elke toets. Het gaat om de spreiding in de populatie, en die kent niemand.
5. $t$, maar $z$ mag ook. Strikt is het $t$, want de 15 komt uit je steekproef. Maar met 150 egels schommelt die schatting nauwelijks meer: bij 95% tweezijdig is $t^* = 1{,}976$ (met $df = 149$) en $z^* = 1{,}960$. Daarom rekent het tentamen een t-toets met meer dan 100 deelnemers ook goed als je hem als z-toets doet (zo stond het in juni 2023). Op je blad schrijf je dus gewoon $t$; kies je $z$, dan is dat niet fout.
6. $t$. Er staat wel een $\sigma$, maar de tekst zegt dat het getal uit de steekproef komt. Dan is het eigenlijk een $s$.

Het gaat dus niet om de letter, maar om of de tekst zegt dat het de standaardafwijking van de populatie is. En de vuistregel blijft waar: je hebt sowieso nooit een $t$ en een $\sigma$ in dezelfde formule. Die gaat over de formule die jíj opschrijft; de slotregel hierboven gaat over de tekst die je leest. Eerst lees je of het getal van de populatie is, dan pas kies je de letter. In zin 3 wordt de 12 een $\sigma$, dus hoort er $z$ bij; in zin 6 is de $\sigma$ eigenlijk een $s$, dus hoort er $t$ bij.

Wat blijft liggen

We toetsten alleen gemiddelden. In thema 10 vragen we ons af: hoe goed vángt deze toets een echt effect? — dat is power. Twee dingen uit dít thema komen daar terug. Ten eerste tekende je hier voor het eerst twee verdelingen over dezelfde as (de $z$- en de $t$-berg, figuur hierboven) — in thema 10 doe je dat opnieuw, maar dan twee wérelden: de God-berg onder $H_0$ en de Allah-berg onder $H_1$. Diezelfde grammatica, twee curven op één getallenlijn. Ten tweede: strikt genomen leeft de “echte” wereld in thema 10 ook in een ($t$-achtige) verdeling, maar we rékenen power gewoon met $z$ — net als de snelle weg hier. De $t$-notatie van het college hoef je straks alleen te kunnen lézen, niet uit te rekenen. En in thema 11 stappen we over op categorieën (chi-kwadraat).

Tot slot

In thema 8 deed ik nog alsof we $\sigma$ kenden — een prettige fictie om de toets uit te leggen, maar $\sigma$ kennen we nóóit, dat weet alleen God. Dus knal je $s$ erin, je beste gok uit de steekproef, en je betaalt daar een prijs voor: een tikje dikkere staarten, een lat die een héél klein eindje verder van het midden ligt. Verder verandert er niks. Zelfde formule, zelfde plaatje, zelfde acht stappen — alleen sla je nu een andere tabel open. En onthoud waar het op neerkomt: $t$ is gewoon $z$ die eerlijk toegeeft dat-ie de $\sigma$ niet wist.

---

Oefenboek OZP 1 · Thema 9, versie 0.1 (handrekenen & theorie). Doorlopend voorbeeld: de egels.