Thema 5 · Correlatie

Deel 3 — Samenhang · bewegen ze samen?

Twee variabelen tegelijk

Tot nu toe keken we naar één variabele per keer. Nu twee. De egels worden ouder én langer — en de vraag is: bewegen die twee samen? Niet door de tijd, maar in de data: horen hogere leeftijden bij hogere (of juist lagere) lengtes? Als een egel ouder is, is hij dan ook langer? Dat is samenhang (correlatie, verband, associatie — allemaal hetzelfde, zie Deel 0).

TipOhwoo — we go bivariate

Even feest: vanaf nu kijken we naar twee dingen tegelijk. Niet één rijtje getallen meer, maar twee die iets met elkaar te maken kunnen hebben. Dat is een sprong — al is het, eerlijk, nog een bescheiden sprong: twee. De echte knal is multivariaat, een hele zwerm variabelen die door elkaar dansen. Dat is voor later; voel ’m eerst met z’n tweeën.

OpmerkingDe egels — nu met leeftijd erbij

Bij elke egel meten we nu twee dingen: leeftijd $x$ (maanden) en lengte $y$ (cm).

$i$	leeftijd $x_i$	lengte $y_i$
1	2	11
2	2	20
3	3	14
4	3	23
5	4	20
6	5	26
7	5	29
8	6	17
9	6	20

De lengtes zijn dezelfde negen als in Deel 1: $\bar{y} = 20$, $s_y = \sqrt{31{,}5} \approx 5{,}61$. Voor de leeftijd: $\bar{x} = 4$, en (reken na) $s_x = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58$.

Hier is de wolk — negen egels, elk een puntje:

Figuur 1: Spreidingsdiagram van de negen egels: leeftijd (maanden) op de horizontale as, lengte (cm) op de verticale as. Elke egel is één punt. Globaal lopen oudere egels iets hoger (langer), maar er zit duidelijk ruis op de wolk.

Kijk er even naar vóór je verder leest: zie je een verband? En valt je iets op — zit er een egel tussen die juist tegen de trend in lijkt te gaan?

Het gevoel: vier kwadranten

Teken een verticale lijn op $\bar{x} = 4$ en een horizontale op $\bar{y} = 20$. Dat hakt de wolk in vier kwadranten. Loop nu elke egel langs en vraag twee dingen: scoort hij hoog of laag op leeftijd, en hoog of laag op lengte?

• Zelfde kant op (hoog-hoog óf laag-laag) → draagt bij aan een positief verband.
• Tegengesteld (hoog-laag óf laag-hoog) → draagt bij aan een negatief verband.
• Precies op een gemiddelde (op leeftijd óf op lengte) → draagt niks bij. Eén afwijking is dan nul, en nul keer wat-dan-ook blijft nul — ook al wijkt die egel op de ándere variabele fors af. Eén factor nul, en het hele product is nul.

De meeste egels gaan mee met de trend: jong-en-kort linksonder, oud-en-lang rechtsboven (allebei positief). Maar let op de dwarsliggers: een jonge egel die tóch al lang is (linksboven) en een oude egel die kort gebleven is (rechtsonder) — die trekken juist tegen het verband in (negatief). En een paar egels liggen precies op de lengte-gemiddelde lijn (lengte 20): die scoren wél gemiddeld op lengte, maar niet op leeftijd. Hun product is nul; ze doen niet mee.

Figuur 2: Dezelfde egels, nu met de gemiddelde-lijnen (stippellijnen op leeftijd 4 en lengte 20) die de wolk in vier kwadranten delen. Blauw = positief product (gaat mee met het verband), oranje = negatief product (dwarsligger), grijs = ligt op een gemiddelde en draagt niets bij. Het teken in elke hoek is het teken van het product van de twee afwijkingen.

Covariantie: samen afwijken

We vangen dat in een getal. Per egel vermenigvuldigen we zijn afwijking op $x$ met zijn afwijking op $y$ — een kruisproduct. Min × min = plus, dus laat je niet vangen door min-min: dat is gewoon plus. Aan of dat product plus of min is — het teken — zie je of een egel aan een positief of negatief verband bijdraagt; en een product van nul betekent: doet niet mee.

TipElk product is een rechthoekje

Dat kruisproduct $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ heeft ook een meetkundige kant. Lengte × breedte is een oppervlakte — en hier zijn de twee zijden de twee afwijkingen: hoever deze egel van de gemiddelde leeftijd zit, en hoever van de gemiddelde lengte. Elke egel spant zo zijn eigen rechthoekje op.

• Allebei dezelfde kant op (beide plus óf beide min) → een positief rechthoekje.
• De een vóór, de ander tegen → een negatief rechthoekje (er staat een minteken voor).
• Precies op één van de twee gemiddelden → een platte rechthoek, oppervlakte nul (de egel-die-niks-bijdraagt van hierboven).

De covariantie is dan niets anders dan het gemiddelde van al die rechthoekjes, hun plus en min netjes meegeteld. Eerst per egel een vlakje, dán pas optellen.

$i$	$x_i$	$y_i$	$x_i-\bar{x}$	$y_i-\bar{y}$	product
1	2	11	−2	−9	18
2	2	20	−2	0	0
3	3	14	−1	−6	6
4	3	23	−1	+3	−3
5	4	20	0	0	0
6	5	26	+1	+6	6
7	5	29	+1	+9	9
8	6	17	+2	−3	−6
9	6	20	+2	0	0
				som	30

De som van de producten is 30. Deel door $n-1$ (net als bij de variantie in Deel 1 — we beschrijven een steekproef) en je hebt de covariantie:

$$s_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1} = \frac{30}{8} = 3{,}75$$

De $\sum_{i=1}^{n}$ betekent: tel op over álle egels, van de eerste ($i=1$) tot de laatste ($i = n = 9$) — dezelfde optel-machine als in thema 1. Omdat we bijna altijd over alle egels sommeren, laten we die grenzen verderop gewoon weg; dan staat er kortweg $\sum$. Eerst expliciet, dan vanzelfsprekend.

Merk op: de twee dwarsliggers (egels 4 en 8, met een negatief product) drukken de som omlaag. Zonder hen zou het verband sterker ogen — maar zo eerlijk is de natuur niet.

Ruw is ruk → de Pearson-correlatie

Die covariantie van 3,75 — is dat veel? Ruw is ruk — al is ‘ruk’ hier nét te streng. Het téken (positief) lees je meteen af: leeftijd en lengte gaan samen dezelfde kant op. En het getal zélf bétekent ook iets: het leeft in de product-eenheid maand·cm — de gemiddelde rechthoek van hierboven. Wat je er níet aan afziet, is of 3,75 groot of klein is: dat hangt aan de eenheden. Meet je leeftijd in jaren in plaats van maanden, dan verandert het getal terwijl het verband hetzelfde blijft. Daarom standaardiseren we naar de Pearson-correlatie $r_{xy}$, die altijd netjes tussen −1 en +1 loopt. De truc: we delen de gezamenlijke beweging (de covariantie) door hoeveel $x$ en $y$ ieder los spreiden ($s_x$ en $s_y$):

$$r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y} = \frac{3{,}75}{\sqrt{2{,}5}\cdot\sqrt{31{,}5}} = \frac{3{,}75}{8{,}87} \approx {,}42$$

(Hetzelfde als het gemiddelde product van de z-scores, $r_{xy} = \tfrac{1}{n-1}\sum z_x z_y$ — standaardiseren maakt het vergelijkbaar.) Een $r$ van ,42: een matig positief verband (tegen de ,5 aan). Een vuistregel die je vaak ziet: rond ±,2 zwak, ±,5 matig, ±,8 sterk. Let op dat het college daar juist géén harde grenzen aan hangt — de slotdia van college 5 zegt dat de kwalificatie van de sterkte contextafhankelijk is. Gebruik de vuistregel dus om te ordenen, niet om te oordelen. Egels worden dus langer met de leeftijd, maar er is flink wat ruis — precies wat je in de wolk al zag.

Wil je juist weten hoeveel cm langer per maand — een echt “zoveel per eenheid” — dan deel je de covariantie niet door béide spreidingen, maar alleen door die van leeftijd. Dan reken je de eenheid maand·cm om naar cm-per-maand: de regressiehelling. Dat is thema 6. Dezelfde gedeelde beweging, twee keer anders gelezen.

TipVerklaarde variantie: r² — en weer terug

Kwadrateer je $r$, dan krijg je het aandeel gedeelde variatie: $r_{xy}^2 = {,}42^2 \approx {,}18$. Oftewel: zo’n 18% van de variatie in lengte hangt samen met de variatie in leeftijd — en dat mag je omdraaien: net zo goed hangt 18% van de variatie in leeftijd samen met de lengte. De overige 82% hangt (nog) niet samen met leeftijd — er speelt veel meer mee dan leeftijd alleen.

“Verklaard” is hier een rekenwoord, geen oorzaak-woord: het betekent hangt samen met, niet komt door — zie ook Pas op hieronder.

En je kunt het in stukken wegen. De negen egels hebben $s^2_y = 31{,}5$ variantie in lengte — dat getal maakte je zelf in thema 1. Daarvan hangt $5{,}625$ samen met leeftijd. Dat tweede getal kun je hier nog niet zelf uitrekenen: het is de variantie van de lengtes zóals leeftijd ze voorspelt, en dat voorspellen leer je pas in thema 6. Neem ’m hier gewoon aan. Dat deel op het geheel is:

$$r^2_{xy} = \frac{\text{verklaarde variantie in } y}{\text{totale variantie in } y} = \frac{5{,}625}{31{,}5} \approx {,}18$$

Dezelfde ${,}18$ als hierboven, nu van de andere kant bekeken.

De weg terug bestaat ook. Heb je $r^2$ en wil je $r$, dan trek je de wortel. Bij de egels is $r^2_{xy} = \dfrac{5{,}625}{31{,}5} \approx {,}1786$, en $\sqrt{{,}1786} \approx {,}42$ — precies de $r$ waar we mee begonnen.

Twee keer ${,}18$, twee verschillende getallen eronder. Hierboven kwadrateerden we de afgeronde ${,}42$, en dat geeft ${,}1764$; de breuk geeft ${,}1786$. Op twee decimalen is dat allebei ${,}18$, dus daar merk je er niets van. Bij T5.4 straks wél — daar kost dezelfde afronding je de tweede decimaal. Vuistregel: reken door met wat in je rekenmachine staat, en rond pas af als je het opschrijft.

Eén ding raakt onderweg zoek: het teken. $(-{,}42)^2$ en $({,}42)^2$ geven allebei ${,}18$. Uit $r^2$ alleen kun je dus niet zien of het verband stijgt of daalt; dat moet je ergens anders vandaan halen.

OpmerkingIn SPSS — klikpad

Data om mee te spelen: egels.sav — of de hele zip. Met de hand voel je wat er gebeurt; SPSS doet het kruisproduct-rekenwerk voor je. Voor een Pearson-correlatie:

Analyze → Correlate → Bivariate → zet leeftijd en lengte naar rechts → Pearson aangevinkt laten → OK.

In de output-tabel lees je $r$ af op het kruispunt van de twee variabelen (en eronder de bijbehorende $p$).

Pas op

• Lineariteit. $r$ meet alleen rechte samenhang. Je kunt door elke wolk een rechte lijn leggen, maar is dat terecht? Een kromme “hema-worst” verstop je niet in een $r$ — teken altijd eerst de scatterplot.
• Uitbijters kunnen $r$ flink optillen of platdrukken; één extreem punt doet veel.
• Ingeperkt bereik. Kijk je maar naar een deel van de spreiding, dan zakt $r$ in — ook als het verband gewoon bestaat. Het college laat dat zien met huiswerk en schoolcijfers: over de hele klas is $r = -{,}60$, maar kijk je alleen naar wie minder dan zes uur huiswerk doet, dan is er nog $-{,}01$ over, en alleen bij wie meer doet $-{,}27$. Dezelfde kinderen, dezelfde samenhang — alleen een smaller stuk van de wolk. Denk aan een onderzoek naar intelligentie en studiesucces onder alleen universiteitsstudenten: die zijn al voorgeselecteerd, dus je vindt bijna niks, en dat betekent niet dat er niks ís.
• Schaal maakt niet uit. Meet je lengte in cm of in meters, $r$ blijft gelijk — hij is gestandaardiseerd.
• Correlatie ≠ causatie. De egels worden langer met de leeftijd, niet noodzakelijk vanwege de leeftijd — ze groeien door voedsel, zorg en een beetje liefde. Tijd is geen oorzaak; het is een meeloper. Pas dus op met het woord “invloed”: dat is iets causaals, en daar gaat een correlatie niet over.

TipGevoel ontwikkelen

Wil je leren hoe een wolk en een $r$ bij elkaar horen: speel een paar potjes guess the correlation (online te vinden). Een strakke, smalle wolk is makkelijk te raden; een ronde wolk ($r \approx 0$) is lastig. Goede oefening vóór je gaat rekenen.

Oefenen

OpmerkingT5.1 — Wie draagt bij, wie werkt tegen?

Kijk naar de productentabel hierboven.

1. Welke egel draagt het meest bij aan het positieve verband?

2. Twee egels hebben een negatief product — welke, en wat is er bijzonder aan die egels?

3. Drie egels dragen niks bij — waarom niet?

4. Wat zou er met $r$ gebeuren als álle egels precies even oud (leeftijd 4) waren?

OpgeletAntwoord T5.1

(a) Egel 1 (leeftijd 2, lengte 11): de jongste én de kortste, dus van beide gemiddelden ver de “goede” kant op → product 18.

(b) Egel 4 (leeftijd 3, lengte 23) en egel 8 (leeftijd 6, lengte 17). Het zijn dwarsliggers: egel 4 is jong maar tóch al lang, egel 8 is oud maar kort gebleven. Ze gaan tegen de trend in, dus hun product is negatief (−3 en −6) en ze drukken de covariantie omlaag.

(c) Egels 2, 5 en 9 liggen precies op de lengte-gemiddelde lijn (lengte 20): hun afwijking op $y$ is 0, dus het product is 0 — wat hun leeftijd ook is. Ze scoren gemiddeld op lengte en zeggen daarom niets over de samenhang.

(d) Dan is er geen variatie in leeftijd ($x_i - \bar{x} = 0$ voor iedereen), dus alle producten zijn 0 en de covariantie is 0. En dan is ook de waarde van $r$ gelijk aan nul — kortweg $r = 0$. Zonder verschil in $x$ kan er geen samenhang zijn — je hebt verschil nodig.

OpmerkingT5.1 in SPSS — controleer de correlatie

Data: egels.sav — de negen doorlopende egels, kolommen leeftijd en lengte.

Analyze → Correlate → Bivariate → zet leeftijd en lengte naar Variables → Pearson aangevinkt laten → OK.

Aflezen: op het kruispunt van de twee variabelen staat Pearson Correlation = ,423 ($r \approx {,}42$) — exact het getal dat je uit de covariantie ($3{,}75$) en de twee spreidingen ($\sqrt{2{,}5}$ en $\sqrt{31{,}5}$) met de hand vond. De tabel-opgave (welke egel draagt bij, wie werkt tegen) lees je af uit de kruisproducten; SPSS bevestigt alleen het eindgetal.

OpmerkingT5.2 — Interpreteren

Een onderzoeker vindt tussen schoenmaat en leesvaardigheid bij kinderen een correlatie van $r = {,}70$. Mogen we concluderen dat grotere voeten beter lezen veroorzaken? Wat is hier waarschijnlijk aan de hand?

OpgeletAntwoord T5.2

Nee — correlatie ≠ causatie. Er is vermoedelijk een derde variabele die met beide samenhangt: leeftijd. Oudere kinderen hebben grotere voeten én lezen beter. De schoenmaat doet niks; leeftijd loopt mee. (Zo’n meeloper heet ook wel een confounder.)

OpmerkingT5.3 — Welke r hoort bij welke wolk?

Drie onderzoekertjes in het dierenbos maken elk een spreidingsdiagram. Hun puntenwolken staan hieronder beschreven (de schetsen komen nog). Bij die drie wolken horen deze drie correlaties, in willekeurige volgorde: $r = {,}85$, $r = -{,}2$ en $r = {,}25$.

Koppel elke wolk aan de best passende $r$, en leg per keuze in één zin uit waaróm — noem telkens de richting (welke kant loopt de wolk op?) en de sterkte (hoe strak ligt hij om een lijn?).

Drie puntenwolken — A, B en C. Welke $r$ hoort bij welke?

• Wolk A — egels: leeftijd × lengte, nu bij veertig egels. De punten liggen in een strak, smal lint dat duidelijk omhoog loopt: oudere egels zijn vrijwel zonder uitzondering langer.
• Wolk B — mollen: uren in de zon × aantal wormen per dag. Een brede, bijna ronde bal punten die héél licht naar rechtsonder helt.
• Wolk C — uilen: nachtelijke alertheid × aantal gevangen muizen. De punten lopen omhoog, maar rommelig: je ziet een trend, met flink wat ruis eromheen.

OpgeletKort antwoord T5.3

• Wolk A $\rightarrow r = {,}85$ — omhoog (positief) én strak lint (sterk).
• Wolk B $\rightarrow r = -{,}2$ — licht omlaag (negatief) én bijna rond (zwak); de énige negatieve wolk.
• Wolk C $\rightarrow r = {,}25$ — omhoog (positief) maar breed en ruizig (zwak-matig).
• Ezelsbruggetje: richting = welke kant de wolk op loopt (teken van $r$), sterkte = hoe smal hij om een lijn ligt (hoe dicht $|r|$ bij 1).

OpgeletVolledige uitwerking T5.3 — stap voor stap

Je hebt geen getallen nodig; je matcht op vorm. Twee vragen per wolk: welke kant op, en hoe strak?

1. Richting eerst — teken van $r$. Wolk A en C lopen omhoog (positief), wolk B helt omlaag (negatief). Er is maar één negatieve $r$ in het rijtje, dus B krijgt $-{,}2$. Klaar met B.
2. Sterkte = hoe smal het lint. Van de twee positieve wolken is A het strakst — de punten liggen bijna op een rechte lijn. Strakker lint betekent grotere $|r|$, dus A krijgt ${,}85$.
3. Wat overblijft, past. Wolk C is stijgend maar breed en ruizig, dus zwak-matig positief: C krijgt ${,}25$.
4. Check met de vuistregel (rond ±,2 zwak, ±,5 matig, ±,8 sterk — een hulpmiddel om te ordenen, geen grens): A sterk, C zwak, B zwak. Past.
5. Val op: $r$ zegt iets over hoe strak de wolk om een lijn ligt, níét over hoe steil die lijn is. Een flauw stijgend maar kaarsrecht lint kan een hogere $r$ hebben dan een steile maar wijd uitwaaierende wolk. Teken dus altijd eerst, en kijk naar de breedte van de wolk — niet naar de hellingshoek.

OpmerkingT5.4 — r uit verklaarde variantie

Bij een andere groep egels dan onze negen is opnieuw leeftijd en lengte gemeten. De losse metingen ken je niet, maar twee varianties wél:

in de lengte $y$	variantie
totaal	$s^2_y = 4{,}1$
daarvan verklaard door leeftijd	$1{,}5$

Het verband tussen leeftijd en lengte is positief: ouder gaat samen met langer.

Bereken de correlatie $r$ tussen leeftijd en lengte, op twee decimalen.

OpgeletKort antwoord T5.4

• Verklaard deel: $r^2 = \dfrac{1{,}5}{4{,}1} \approx {,}3659$
• Wortel terug: $r = \sqrt{\dfrac{1{,}5}{4{,}1}} \approx {,}6049$
• Teken: de opgave zegt dat het verband positief is, dus $r$ is positief
• Antwoord: $r \approx {,}60$; zo’n 37% van de variatie in lengte is verklaard door leeftijd. (In de berekening blijf je bij de proportie; het % pas in de conclusie.)

OpgeletVolledige uitwerking T5.4 — stap voor stap

Je krijgt twee varianties en je wilt één $r$. De brug is $r^2$, uit het kader Verklaarde variantie: r² — en weer terug hierboven. Vier stappen, elk op zijn eigen regel:

1. Welk deel van de spreiding in lengte is verklaard door leeftijd?

$$r^2 = \frac{\text{verklaarde variantie in } y}{\text{totale variantie in } y} = \frac{1{,}5}{4{,}1}$$

2. Reken die breuk uit. Blijf bij de proportie — nog geen procenten:

$$r^2 \approx {,}3659$$

3. Trek de wortel. Laat de breuk daarbij gewoon in je rekenmachine staan:

$$r = \sqrt{\frac{1{,}5}{4{,}1}} \approx {,}6049$$

4. Zet het teken erop. Kwadrateren gooit het teken weg: $(+{,}6049)^2$ en $(-{,}6049)^2$ geven allebei ${,}3659$. Je wortel komt er positief uit, maar dat komt door de wortel en niet door de data — $r^2$ is de richting vergeten en kan hem niet teruggeven. De opgave kan dat wél: ouder gaat samen met langer, dus

$$r \approx +{,}60$$

Conclusie: $r \approx {,}60$ tussen leeftijd en lengte, en zo’n 37% van de variatie in lengte is verklaard door leeftijd.

WaarschuwingRond niet halverwege af

Was je in stap 2 gestopt bij ${,}37$ en had je dáár de wortel uit getrokken, dan kreeg je $\sqrt{{,}37} \approx {,}6083$ — afgerond ${,}61$ in plaats van ${,}60$. Eén stap te vroeg afronden, en je tweede decimaal klopt niet meer. Laat het getal op je rekenmachine staan en rond pas af als je het opschrijft.

Val op: uit $s^2_y$ en het verklaarde deel rolt altijd $r^2$, nooit $r$ direct. Er zitten dus nog twee handelingen achter: worteltrekken, en het teken erbij zoeken. Vergeet je de wortel, dan lever je ${,}37$ in waar ${,}60$ hoort.

(In thema 6 krijgt “het verklaarde deel” ook een eigen symbool: het is dan de variantie van de voorspelde lengtes, $s^2_{\hat{y}}$. Zelfde getal, andere naam.)

OpmerkingT5.5 — Verandert r² als je de schaal omrekent?

Je hebt de zakcenten van de egels gemeten in euro’s en de samenhang met hun lengte bekeken. De proportie verklaarde variantie is $r^2 = {,}30$. Nu reken je alle zakcenten om naar centen (dus keer 100). Wat gebeurt er met $r^2$ — wordt hij groter, kleiner, of blijft hij gelijk? Leg uit.

OpgeletKort antwoord T5.5

• Euro $\rightarrow$ cent is een lineaire hercodering (elke waarde $\times 100$).
• $r$ is gestandaardiseerd $\rightarrow$ ongevoelig voor lineair strekken of verschuiven.
• Dus $r$ blijft gelijk, en dan blijft ook $r^2 = {,}30$ gelijk.
• Zelfde idee als “schaal maakt niet uit” bij Pas op: cm of meter, euro of cent — $r$ trekt zich er niks van aan.

OpgeletVolledige uitwerking T5.5 — stap voor stap

De verleiding is te denken “grotere getallen $\rightarrow$ meer variantie $\rightarrow$ ander verband”. Maar $r$ is juist gebouwd om dat weg te delen. Stap voor stap:

1. Wat is euro $\rightarrow$ cent? Elke waarde keer 100 (en eventueel plus een constante): een lineaire transformatie. De wolk wordt uitgerekt, maar geen enkel punt verspringt ten opzichte van de andere — de vorm en de volgorde blijven identiek.
2. Waarom raakt dat $r$ niet? In $r = \dfrac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$ groeit de teller (de covariantie) mee met factor 100, én de noemer (via $s$ van diezelfde variabele) met factor 100. Die 100 valt boven en onder tegen elkaar weg. $r$ blijft exact gelijk.
3. En $r^2$? Kwadrateer je een getal dat niet verandert, dan verandert het kwadraat ook niet: $r^2 = {,}30$ blijft ${,}30$.
4. Intuïtie. De punten in de spreidingswolk schuiven niet; alleen het bijschrift op de as verandert (euro wordt cent). Zelfde wolk, zelfde samenhang, zelfde verklaarde variantie.
5. Val op — waar het wél zou breken: alleen een lineaire omrekening laat $r$ met rust. Een niet-lineaire hercodering (bijvoorbeeld de logaritme nemen) buigt de wolk krom en verándert $r$ wél. Strekken en verschuiven mag; buigen niet.

Tot slot

Alles wat correlatie doet, voelde je al in die vier kwadranten: gaan twee dingen dezelfde kant op, of trekken ze tegen elkaar in? De covariantie telt dat op — gemiddeld rechthoekje — en omdat ruw ruk is delen we ‘m door de twee spreidingen, zodat er een $r$ uit komt die altijd tussen −1 en +1 ligt. (Al ’bewegen’ die egels natuurlijk niks; ze liggen daar gewoon. Wat samen varieert, zijn de metingen — deze egel, zó gemeten op leeftijd én lengte. ‘Samen bewegen’ is het gevoel; ‘samen variëren’ is wat er precies staat.) Maar let op wat een $r$ je niet geeft: richting. Het is een dubbele pijl — leeftijd-en-lengte hangen samen, punt. Wie is hier nou de voorspeller? Daar zwijgt de correlatie over. In het volgende thema zetten we er één pijl op, één kant op, en voorspellen we lengte uít leeftijd. Dat is regressie.

---

Oefenboek OZP 1 · Thema 5, versie 0.1 (handrekenen & theorie). Doorlopend voorbeeld: de egels.