Bijlage · Je formuleblad

Wat je meekrijgt, wat je zelf moet kennen, en waar het blad iets anders schrijft dan wij

Waar dit over gaat

Bij het tentamen krijg je een formuleblad met een paar tabellen erachter. Dat blad neemt je een hoop uit handen — en precies daarom is het gevaarlijk om erop te gokken. Wat er niet op staat, staat er niet op, en dat merk je liever nu dan in de zaal.

Deze bijlage doet dus twee dingen. Eerst: wat krijg je mee. Daarna, en daar gaat het om: wat moet je zelf kennen.

Als je maar één zin uit deze bijlage meeneemt, neem dan deze: het blad ontlast je geheugen, niet je begrip.

Welk blad dit is

Wat hieronder staat komt van het blad Formuleblad Tentamen OP1, het blad van 2024-2025. Let op: dat jaartal staat niet op het blad zelf — daar staat geen enkel jaartal op — maar in de bestandsnaam waaronder we het hebben. Een nieuwer OP1-blad hebben we niet.

Leg het er dus naast zodra je het van je opleiding krijgt, en kijk of er iets veranderd is. Verandert er iets, dan verandert deze bijlage mee.

Op de voorkant van dat blad staat nog iets wat je moet weten: je mag er geen aantekeningen op maken, en je levert het na afloop weer in bij de surveillant. Een blad dat je thuis hebt volgeschreven met wat eraan ontbreekt, helpt je dus niet. Die dingen moeten in je hoofd.

Wat je krijgt

Het blad draagt 13 formules en 3 tabellen. Verder niets: geen uitleg, geen definitie van een symbool, geen woord over wat je wanneer gebruikt.

De formules

Links staat de formule zoals het blad hem schrijft. Rechts staat hij zoals wij hem schrijven, met subscripts erbij. Dat verschil is geen muggenzifterij — zie Waar het blad iets anders schrijft verderop.

wat het uitrekent	zoals het blad het schrijft	zoals wij het schrijven	thema
correlatie	`r = 1/(n−1) Σ ((xᵢ − x̄)/sₓ)((yᵢ − ȳ)/s_y)`	$r_{xy} = \dfrac{1}{n-1}\sum\left(\dfrac{x_i - \bar{x}}{s_x}\right)\left(\dfrac{y_i - \bar{y}}{s_y}\right)$	5
regressielijn	`ŷ = b₀ + b₁x`	$\hat{y} = b_0 + b_1 x$	6
helling	`b₁ = r · s_y/sₓ`	$b_1 = r_{xy}\,\dfrac{s_y}{s_x}$	6
snijpunt met de y-as	`b₀ = ȳ − b₁x̄`	$b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x}$	6
verklaarde variantie	`r² = s²_ŷ / s²_y`	$r^2 = \dfrac{s^2_{\hat{y}}}{s^2_y}$	6
interval om $\mu_x$ , $\sigma_x$ bekend	`x̄ ± z * σ/√n`	$\bar{x} \pm z^{*}\,\dfrac{\sigma_x}{\sqrt{n}}$	7
interval om $\mu_x$ , $\sigma_x$ onbekend	`x̄ ± t * s/√n`	$\bar{x} \pm t^{*}\,\dfrac{s_x}{\sqrt{n}}$	9
hoe groot moet $n$ zijn	`n = (z * σ/m)²`	$n = \left(\dfrac{z^{*}\sigma_x}{m}\right)^2$ , met $m$ de foutenmarge die je hoogstens wilt	7
z-toets	`z = (x̄ − μ)/(σ/√n)`	$z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\dfrac{\sigma_x}{\sqrt{n}}}$	8
t-toets, één steekproef	`t = (x̄ − μ)/(s/√n) ; df = n−1`	$t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\dfrac{s_x}{\sqrt{n}}}$ , $df = n-1$	9
t-toets, twee groepen	`t(n_min − 1 df) = (x̄₁ − x̄₂)/√{s₁²/n₁ + s₂²/n₂}`	$t = \dfrac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$ , $df = n_{\min}-1$	9
chi-kwadraat	`X² = Σ (geobserveerde − verwachte waarde)² / verwachte waarde ; df = (r−1)(c−1)`	$\chi^2 = \sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ , $df = (r-1)(c-1)$	11
gestandaardiseerd celresidu	`(O − E)/√(E * (1 − rijtotaal/n) * (1 − kolomtotaal/n))`	$\dfrac{O-E}{\sqrt{E\left(1 - \dfrac{\text{rijtotaal}}{n}\right)\left(1 - \dfrac{\text{kolomtotaal}}{n}\right)}}$	11

In de correlatie staat tussen de haakjes twee keer dezelfde bouwsteen: waarde min gemiddelde, gedeeld door de standaardafwijking. Dat is de z-score — hier in zijn steekproefvorm, met $\bar{x}$ en $s_x$ in plaats van $\mu_x$ en $\sigma_x$ , omdat je met data werkt en niet met een populatie. Korter staat er dus $r_{xy} = \dfrac{1}{n-1}\sum z_x z_y$ , en zo kom je hem in thema 5 ook tegen; het blad schrijft hem alleen helemaal uit.

De tabellen

Achter de formules, in deze volgorde:

	wat erin staat	hoe je hem leest
Tabel A	standaardnormale verdeling	de kans links van een gegeven $z$ — twee helften, eerst de negatieve $z$ ’s, dan de positieve
Tabel F	kritieke $\chi^2$	rij is $df$ , kolom is de rechterstaartkans
Tabel D	kritieke $t$	rij is $df$ , kolom is de eenzijdige staartkans; de onderste twee rijen geven $z^{*}$ en het tweezijdige betrouwbaarheidsniveau $C$

Het zijn dezelfde tabellen als in Bijlage · Kansverdeling-tabellen hier in het oefenboek — zelfde vrijheidsgraden, zelfde staartkansen, zelfde getallen. Daar heten ze alleen niet A, F en D maar bij hun verdeling: Standaardnormale verdeling, De t-verdeling en De chi-kwadraat-verdeling. Oefen het aflezen dus gewoon hier; op het tentamen kijk je dan naar iets vertrouwds.

Let op de volgorde

Eerst A, dan F, dan D. Niet alfabetisch en niet in de volgorde waarin je ze leert. Blader dus één keer door het blad voordat de klok loopt, zodat je op de dag zelf niet zit te zoeken.

Wat er niet op staat

Hier gaat het om. Alles hieronder wordt in dit oefenboek gevraagd en staat niet op je blad. Je moet het dus kennen — of, beter: je moet het zó vaak gedaan hebben dat je het niet hoeft te kennen.

Dit is de lijst om af te vinken. Er staat geen enkel punt buiten; wat eronder volgt is toelichting bij de punten die het vaakst misgaan.

Het zijn er 19: 11 bij het beschrijven, 2 bij het standaardiseren, 5 bij het toetsen en 1 bij de kruistabel.

Beschrijven

wat je zelf moet kunnen	thema
gemiddelde: $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum x_i$	1
variantie $s_x^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ en standaardafwijking $s_x = \sqrt{s_x^2}$	1
gemiddelde uit een frequentietabel: $\bar{x} = \dfrac{\sum f_i x_i}{n}$	2
mediaan, $Q_1$ , $Q_3$ en $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$	2
modus, midrange en bereik	2
schaaltransformatie: wat $x_{\text{nieuw}} = a + b\,x$ doet met $\bar{x}$ en met $s_x$	1
verwachting van een discrete kansvariabele: $\mu_x = \sum p_i x_i$	3
variantie van een discrete kansvariabele: $\sigma_x^2 = \sum (x_i - \mu_x)^2 p_i$	3
covariantie $s_{xy} = \dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1}$	5
residu $e = y - \hat{y}$	6
$\text{SST} = \text{SSM} + \text{SSE}$ , en $r^2 = \dfrac{\text{SSM}}{\text{SST}}$	6

Dat is geen toeval. Het blad begint bij de correlatie. Alles daarvóór — tellen, samenvatten, spreiding — krijg je niet mee. En let op wat dat betekent voor de formules die je wél krijgt: in b₁ = r · s_y/sₓ staan twee standaardafwijkingen, en hóé je die uitrekent staat nergens op het blad.

Standaardiseren

wat je zelf moet kennen	thema
de z van één waarneming: $z = \dfrac{x - \mu_x}{\sigma_x}$ — zie het kader hieronder	4
de standaardfout als eigen ding: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma_x}{\sqrt{n}}$	7

Die standaardfout staat wél op het blad, maar niet met een naam: hij zit verstopt binnen de formules, als σ/√n. Je moet hem er dus zelf uit herkennen.

Toetsen

wat je zelf moet kennen	thema
betrouwbaarheidsinterval om het verschil tussen twee groepen: $(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^{}\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}$ , met $t^{}$ bij $df = n_{\min}-1$ — dezelfde $df$ als de toets	9
power: $\text{power} = 1 - \beta$	10
de kritieke waarde $\bar{x}_c$ — de grens op de scoreschaal waarboven je $H_0$ verwerpt	8, 10
terugrekenen van een gewenste power naar de benodigde $n$	10
het toetsingsschema: de acht stappen van onderzoeksvraag tot inhoudelijke conclusie	8

Power is de grootste. Thema 10 rekent er een heel hoofdstuk mee, en er staat geen letter over op het blad. Het toetsingsschema is geen formule, maar het is wél waar je punten op verliest.

Kruistabel

wat je zelf moet kennen	thema
de verwachte celfrequentie $E = \dfrac{\text{rijtotaal} \times \text{kolomtotaal}}{N}$ — zie het kader hieronder	11

Drie van deze punten gaan het vaakst mis. Hier staan ze uitgeschreven.

De z die je het vaakst nodig hebt, staat er niet op

Er staat één z-formule op het blad, en dat is die voor een gemiddelde:

$z = \dfrac{\bar{x} - \mu_x}{\dfrac{\sigma_x}{\sqrt{n}}} \qquad\text{(staat op het blad)}$

De z voor één waarneming staat er niet:

$z = \dfrac{x - \mu_x}{\sigma_x} \qquad\text{(staat er niet op)}$

Terwijl dat de eerste is die je leert, en de enige die je bij een kansvraag over één persoon nodig hebt.

Leg ze naast elkaar. Boven staat $\bar{x}$ en onder $x$ — dat is alleen wáár je op richt. Verder is er één verschil, en dat zit in de noemer: bij één waarneming deel je door $\sigma_x$ , bij een gemiddelde door $\sigma_x$ gedeeld door $\sqrt{n}$ .

Dat $\sqrt{n}$ is het hele punt. Met $\sigma_x = 15$ en $n = 25$ deel je bij één egel door 15, en bij een gemiddelde van 25 egels door $\dfrac{15}{\sqrt{25}} = 3$ — een lineaaltje dat vijf keer zo fijn is. Een gemiddelde waaiert dus minder ver uit dan een losse waarneming, en daarom wordt dezelfde afstand tot het midden een veel grotere z. Waaróm dat zo is, staat in thema 7.

Eén waarschuwing bij de bovenste: zodra je hem als toets gebruikt, is die $\mu_x$ de waarde die $H_0$ voorspelt, en schrijven wij $\mu_0$ . Zelfde formule, andere naam voor hetzelfde getal — zie kader 2 hieronder.

Hoe je aan een verwachte waarde komt, staat er niet bij

De chi-kwadraat-formule op het blad rekent met verwachte waarden. Maar de formule die je die verwachte waarden gééft —

$E = \frac{\text{rijtotaal} \times \text{kolomtotaal}}{N}$

— staat er niet op. Zonder die stap kun je met de formule die je wél krijgt helemaal niets beginnen. Thema 11.

Die $N$ is het totaal van de hele kruistabel: iedereen bij elkaar. Op het blad staat op die plek een kleine n, in de formule voor het celresidu. Hetzelfde getal, twee schrijfwijzen.

Power: een heel hoofdstuk, en geen letter op het blad

Thema 10 vraagt je drie dingen die nergens op het blad staan: de power uitrekenen ( $\text{power} = 1 - \beta$ ), de kritieke waarde $\bar{x}_c$ bepalen — de grens op de scoreschaal waarboven je $H_0$ verwerpt — en van een gewenste power terug rekenen naar de $n$ die je daarvoor nodig hebt.

Goed nieuws: het is geen nieuwe machinerie. Alle drie lopen ze over de ketting die je bij de z-score en het betrouwbaarheidsinterval ook al bent gelopen — van een score naar een aantal lineaaltjes naar een kans, of net andersom:

$\text{score } x \;\rightleftarrows\; \text{lineaaltjes } z \;\rightleftarrows\; \text{kans } p$

Wat je gegeven krijgt bepaalt aan welk eind je begint. Bij power krijg je de grens en zoek je de kans; bij een interval krijg je de kans en zoek je de grens. Zelfde wandeling, andere kant op.

Twee die je wél leert maar niet gevraagd worden

Deze twee staan niet op het blad, en dat is hier geen gat maar een aanwijzing: ze worden op het tentamen ook niet gevraagd. Daarom staan ze hierboven niet in de lijst — je hoeft ze niet te kennen, alleen te herkennen.

De toets voor een correlatie, $t = \dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$ met $df = n-2$ . Zie het kader in Bijlage · Analysekeuze.
De gepaarde t-toets, $t = \dfrac{\bar{d}}{\dfrac{s_d}{\sqrt{n}}}$ , waarbij $\bar{d}$ het gemiddelde verschil per persoon is. Thema 9 zegt het er zelf bij: ter kennismaking, geen tentamenstof.

Kom je een vraag tegen waarbij je twijfelt of je de gepaarde of de twee-groepen-toets moet pakken, dan is het antwoord in OZP 1 altijd de twee-groepen-toets — die staat op je blad, en de gepaarde niet.

Waar het blad iets anders schrijft dan wij

Vijf plekken. Je hoeft er niets mee te doen behalve ze herkennen — maar als je ze niet herkent, denk je op het tentamen dat je naar iets nieuws kijkt.

1. Het blad zet geen subscripts

Er staat σ, en niet $\sigma_x$ . Er staat s, en niet $s_x$ . Dat maakt uit, want er zijn twee spreidingen in het spel: hoe ver losse waarnemingen van elkaar liggen ( $\sigma_x$ ) en hoe ver steekproefgemiddelden van elkaar liggen ( $\sigma_{\bar{x}}$ ). Een kale σ zegt niet welke van de twee bedoeld wordt — en dat is nu precies het verschil waar het eerste kader hierboven over ging.

Wij zetten het subscript er altijd bij. Vertaal dus, elke keer dat je het blad gebruikt: de sigma van wát?

2. Er staat μ waar μ₀ hoort

In de z- en de t-toets schrijft het blad μ. Maar je toetst tegen de waarde die $H_0$ voorspelt, en dat is $\mu_0$ . Het is altijd $\mu_0$ als je een nulhypothese toetst; het blad zegt het alleen niet.

3. De correlatie mist haar x en y

Op het blad staat een kale r. Een correlatie is een samenhang tussen twee variabelen, dus hoort er $r_{xy}$ te staan — anders weet je bij drie variabelen niet welke twee. In de breuken eronder staan sₓ en s_y wél met subscript, dus op dit punt is het blad ook niet consequent met zichzelf.

4. De chi-kwadraat staat er met een Latijnse X

Het blad schrijft X², met de gewone letter X. De tabel een paar bladzijden verderop heet wél Tabel F, χ² distribution critical values, met de Griekse chi. Het is hetzelfde ding. Wij schrijven $\chi^2$ .

En in diezelfde formule spelt het blad geobserveerde waarde en verwachte waarde helemaal uit, terwijl het gestandaardiseerde celresidu er vlak onder gewoon O en E gebruikt. Nergens op het blad staat dat dat dezelfde twee dingen zijn. Dat moet jij dus weten.

5. Bij de t-toets voor twee groepen staat df tussen de haakjes

Het blad schrijft de toets voor twee groepen zo:

t(n_min − 1 df) = (x̄₁ − x̄₂)/√{s₁²/n₁ + s₂²/n₂}

Wij zetten die vrijheidsgraden erachter in plaats van erin: $t = \ldots$ , $df = n_{\min}-1$ . Dezelfde afspraak, andere plek.

Wat het blad je wil vertellen is wélke vrijheidsgraden je moet gebruiken, en dat is nuttig: de kleinste groep bepaalt, want dat is je zwakste schakel.

En als je straks een resultaat opschrijft, komt er tussen die haakjes iets anders te staan dan op het blad: het getal. Bij $n_1 = 10$ en $n_2 = 15$ is $n_{\min} - 1 = 9$ , dus schrijf je $t(9)$ .

Kort samengevat

Het blad geeft je het rekenwerk vanaf de correlatie. Alles ervóór — hoe je een gemiddelde, een standaardafwijking, een covariantie of een verwachte celfrequentie uitrekent — breng je zelf mee. En van wat erná komt ontbreken de power, de gepaarde toets, het interval om een verschil, en het toetsingsschema.

Ga er dus van uit dat het blad je geheugen ontlast en niet je begrip.

Oefenboek OZP 1 · Bijlage Je formuleblad, versie 0.1. Gecontroleerd tegen het blad Formuleblad Tentamen OP1 (2024-2025), zes bladzijden, gelezen als beeld.

Terug naar boven