Bijlage · Analysekeuze

De drie lagen — beschrijven, verwachten, beslissen — met een beslisboom en een landkaart

Waarom je vastloopt bij de eerste zin

Je leest een tentamenvraag. Er staan twee variabelen in, er staan wat getallen bij, en je weet: hier moet ik iets mee. Alleen wát?

Dat is bijna nooit een gat in je kennis. Je kúnt een gemiddelde uitrekenen, je kúnt een z-score opzoeken. Het gat zit ervoor: je weet niet welke van de tien dingen die je kunt, hier aan de beurt is.

Deze bijlage doet twee dingen. Eerst leggen we de stof in drie lagen — dat is de landkaart in je hoofd. Daarna staat er een beslisboom waarmee je vanaf de vraag naar de juiste berekening loopt, en een overzicht van alles wat er gevraagd kan worden.

De drie lagen

Alles in OZP 1 zit in één van drie lagen. Ze verschillen niet in moeilijkheid maar in wat je aan het doen bent.

De beschrijflaag — je telt en vat samen

Je hebt data en je zegt wat erin zit. Meer niet.

Je telt hoe vaak iets voorkomt, je rekent een gemiddelde uit, je kijkt hoe ver de scores uit elkaar liggen, je legt twee variabelen naast elkaar en kijkt of ze meebewegen.

Andere woorden die je hiervoor tegenkomt: tellen, samenvatten, beschrijvende statistiek. Of gewoon: wat je ziet.

Het kenmerk: je doet geen enkele uitspraak over mensen die je niet gemeten hebt. Meet je vijfentwintig egels, dan gaat alles wat je zegt over die vijfentwintig egels.

De verwachtingslaag — je legt een verdeling over de werkelijkheid

Hier verandert er iets. Je neemt aan dat de werkelijkheid een bepaalde vorm heeft — een normaalverdeling bijvoorbeeld — en dan kun je kansen uitrekenen die verder gaan dan wat je geteld hebt.

Hoe groot is de kans dat een willekeurige egel boven de 120 scoort? Daar tel je niets voor. Je hebt er niet eens data voor nodig. Je gebruikt de verdeling.

Andere woorden: modelleren, kansrekening, de theoretische verdeling. Of: wat toeval doet.

Het kenmerk: er is een verdeling in het spel, maar geen hypothese en geen conclusie. Je rekent een kans uit, en daar houdt het op.

De beslislaag — je zegt iets over de populatie

Nu steek je je nek uit. Je hebt vijfentwintig egels gemeten en je wilt iets zeggen over alle egels. Dat kan, maar niet zonder onzekerheid, en die onzekerheid moet je erbij zetten.

Dat doe je op twee manieren: met een interval (het echte gemiddelde ligt waarschijnlijk hiertussen) of met een toets (dit verschil is te groot om toeval te zijn).

Andere woorden: generaliseren, inferentie, toetsende statistiek. Of: wat je concludeert.

Het kenmerk: er staat een uitspraak over de populatie op papier, met een marge of een p-waarde eronder.

Waarom dit helpt

Neem de twee formules die het vaakst door elkaar gaan:

\[z = \frac{x - \mu}{\sigma} \qquad\text{en}\qquad z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\]

Ze lijken op elkaar, ze gebruiken dezelfde tabel, en ze zitten allebei in de verwachtingslaag. Het is niet twee machines. Het is één machine, en het enige verschil is waar je hem op richt: op één waarneming (links) of op een gemiddelde (rechts).

Dat een gemiddelde minder ver uitwaaiert dan een losse waarneming — daar gaat die \(\sqrt{n}\) over, en verder niets. Er komt geen hypothese aan te pas en er wordt niets geconcludeerd. Het is nog steeds gewoon een kans.

Pas als je die kans gebruikt om te zéggen dat het gemiddelde afwijkt, stap je naar de beslislaag. Dan heet dezelfde breuk ineens een z-toets. Zelfde rekenwerk, andere bedoeling.

Twee plekken waar de lagen door elkaar lopen

Een indeling die overal perfect klopt bestaat niet. Twee keer loopt het door elkaar, en het is beter dat je dat weet dan dat je erover struikelt.

Het betrouwbaarheidsinterval zit op de naad

Een betrouwbaarheidsinterval heeft geen hypothese en geen p-waarde. Je legt een verdeling op een gemiddelde en leest er een marge van af — dat is de machinerie van de verwachtingslaag.

Maar wát je zegt, gaat over de populatie: het echte gemiddelde ligt waarschijnlijk tussen 96 en 108. Dat is de beslislaag.

Het interval zit dus op de naad tussen twee, en dat is precies waarom hij makkelijker aanvoelt dan een toets — terwijl hij evenveel aanneemt.

Chi-kwadraat doet alle drie tegelijk

Bij een kruistabel gebeurt alles in één berekening:

je telt de cellen en rekent de verwachte waarden uit de tabel zelf uit — beschrijflaag;
je legt er een \(\chi^2\)-verdeling op — verwachtingslaag;
je verwerpt \(H_0\) of niet — beslislaag.

Dat maakt hem niet moeilijker, maar het verklaart wel waarom hij zo vol voelt. Je doet drie dingen achter elkaar en het heet één toets.

De beslisboom

Kijk eerst naar de vorm van je data — hoeveel variabelen, welk meetniveau, zit er een richting in. Dat is wat je in de vraag kunt zien. Welke laag je in zit, volgt daaruit.

Eén variabele

één numerieke variabele
│
├─ BESCHRIJVEN ......... x̄ · s² · s · midrange · modus · mediaan
│                        let op hoe de data binnenkomt:
│                        losse scores · frequentietabel · kansen
│
├─ VERWACHTEN
│   ├─ kans op één waarneming ..... z = (x − μ) / σ            → tabel
│   └─ kans op een gemiddelde ..... z = (x̄ − μ) / (σ/√n)      → tabel
│                                    nog steeds geen toets
│
└─ BESLISSEN
    ├─ σ bekend ..... x̄ ± z*·σ/√n        of   z = (x̄ − μ)/(σ/√n)
    └─ σ onbekend ... x̄ ± t*·s/√n        of   t = (x̄ − μ)/(s/√n), df = n − 1

De onderste twee takken gebruiken exact dezelfde breuk als de tak erboven. Het enige nieuwe is dat er een \(H_0\) bij komt, of een marge omheen.

Eén variabele die discreet is — een dobbelsteen, een aantal keer raak — heeft zijn eigen kansverdeling: daar reken je \(E(X)\) en \(\text{Var}(X)\) uit. Verwachtingslaag.

Twee variabelen

wat je hebt	wat je uitrekent	laag	komt dat op het tentamen?
allebei categorisch	kruistabel, percentages, verwachte waarden	alle drie	ja — \(\chi^2\), \(df=(r-1)(c-1)\)
allebei numeriek, geen richting	Pearson \(r\)	beschrijven	nee — uitrekenen en interpreteren
allebei numeriek, wél richting	\(\hat{y}=b_0+b_1x\) en \(r^2\)	beschrijven	nee — voorspellen en interpreteren
groep (twee categorieën) + numeriek	twee gemiddelden vergelijken	beslissen	ja — \(t(n_{\min}-1\ df)\)

Een correlatie toetsen — wel geleerd, niet gevraagd

In de rest van je studie krijgt een correlatie een p-waarde: dan toets je of \(\rho\) in de populatie nul is. Op het tentamen wordt dat niet gevraagd — nergens in de colleges, de werkgroepen of op het formuleblad staat een toets voor \(r\).

In de les leer je hem wél, en dat is geen omweg. De route loopt zoals je hem inmiddels kent: \(H_0: \rho = 0\), en omdat \(\sigma\) onbekend is gedraagt het zich als een \(t\) —

\[t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} \qquad df = n-2\]

— en dan zoek je de \(p\) op in de \(t\)-tabel. Dat je die route kunt lopen maakt zichtbaar wat de tabel hierboven bedoelt: \(r\) is een beschrijvende maat, net als het gemiddelde. Er kán een toets omheen, en zonder die toets betekent \(r\) nog steeds iets.

De landkaart — alles op een rij

Alle berekeningen die gevraagd kunnen worden, per laag. Gebruik dit om af te vinken, niet om op te zoeken. Wat er níét in staat, is het toetsingsschema zelf — de acht stappen van onderzoeksvraag tot conclusie, met de situatieschets erin en de keuze eenzijdig of tweezijdig. Dat schema hangt niet aan één techniek maar aan alle toetsen tegelijk; je vindt het bij thema 8.

Beschrijflaag

situatie	wat je uitrekent	thema
centrum van één variabele	modus (nominaal), mediaan (ordinaal), gemiddelde en midrange (interval)	1, 2
spreiding	variantie \(s^2\), standaardafwijking \(s\), bereik, IQR	1, 2
de data komt anders binnen	zelfde maten, andere formule: losse scores · frequentietabel · kansverdeling	1, 2, 4
alles verschuift of schaalt	schaaltransformaties — wat gebeurt er met \(\bar{x}\) en \(s\)	1
vorm van de verdeling	scheefheid, uitbijters, boxplot, histogram	2
twee categorische variabelen	kruistabel met rij- en kolompercentages	11
twee numerieke variabelen	Pearson \(r\) — sterkte en richting	5
voorspellen uit een verband	\(\hat{y}=b_0+b_1x\), met \(b_1 = r\frac{s_y}{s_x}\) en \(b_0 = \bar{y}-b_1\bar{x}\); verklaarde variantie \(r^2\); residu \(e = y - \hat{y}\)	6

Verwachtingslaag

situatie	wat je uitrekent	thema
kans op één waarneming, normaal verdeeld	\(z = \frac{x-\mu}{\sigma}\), dan de z-tabel	3
een discrete kansvariabele	kansverdeling, \(E(X)\), \(\text{Var}(X)\)	4
kans op een gemiddelde van \(n\) waarnemingen	steekproevenverdeling: \(z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)	7
waarom dat mag bij een scheve verdeling	centrale limietstelling	7

Beslislaag

situatie	wat je uitrekent	thema
schatten van \(\mu\), \(\sigma\) bekend	\(\bar{x} \pm z^{*}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)	7
schatten van \(\mu\), \(\sigma\) onbekend	\(\bar{x} \pm t^{*}\frac{s}{\sqrt{n}}\)	9
hoe groot moet mijn steekproef zijn?	\(n = \left(\frac{z^{*}\sigma_x}{m}\right)^2\) — met \(m\) de foutenmarge die je nog accepteert	7
toetsen van \(\mu\), \(\sigma\) bekend	\(z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)	8
toetsen van \(\mu\), \(\sigma\) onbekend	\(t = \frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\), \(df = n-1\)	9
twee groepen vergelijken	\(t(n_{\min}-1\ df) = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}\)	9
samenhang tussen twee categorische variabelen	\(\chi^2 = \sum\frac{(O-E)^2}{E}\), \(df=(r-1)(c-1)\), plus gestandaardiseerde celresiduen	11
hoe goed is mijn toets?	\(\alpha\), \(\beta\), power, effectgrootte	8, 10

En dan is er nog methodenleer

Betrouwbaarheid, validiteit, onderzoeksopzet, de derde variabele, steekproeftrekking, ethiek. Daar komt geen rekenmachine aan te pas, en het is een flink deel van het meerkeuzedeel. Thema 13.

Die stof zit strikt genomen buiten de drie lagen — of eigenlijk eronder. Want alle drie de lagen gaan ervan uit dat je meting deugt, en dat is precies wat methodenleer onderzoekt.

Handrekenen — bij OZP 1 · Bijlage Analysekeuze, versie 0.1.

Terug naar boven