Thema 3 · Discrete kansvariabelen

Deel 1 — Beschrijven · het gewogen gemiddelde

Een dobbelspel in het bos

De kraai heeft een gokspel opgezet. Je gooit met een dobbelsteen, en hij heeft ’m stiekem onzuiver én raar gemaakt: de ogen zijn priemgetallen (2, 3, 5, 7, 11, 13), en de lage vallen vaker dan de hoge. De kansen liggen dus vast — en als de kansen vastliggen, kunnen we van tevoren uitrekenen wat er gemiddeld gebeurt. Dat is dit korte thema: rekenen aan een discrete kansvariabele.

OpmerkingWat is een discrete kansvariabele?

Een kansvariabele is eigenlijk gewoon een getal waarvan je nog niet weet wat het wordt — maar waarvan je de kansen wél kent. Discreet betekent dat er enkel losse mogelijkheden zijn: je springt van de ene waarde naar de andere (1, 2, 3 … — geen 2,7 ertussen). Omdat de kansen bekend zijn, gaat het eigenlijk over de hele populatie: we hoeven niks te schatten, we wéten hoe vaak elke waarde valt.

De kraaiendobbelsteen, $X$ = aantal ogen:

$i$	oog $x_i$	kans $p_i$
1	2	,20
2	3	,20
3	5	,20
4	7	,20
5	11	,10
6	13	,10
		1,00

Let op de twee linkerkolommen: de index $i$ (1 t/m 6) nummert gewoon de rijen, de ogen $x_i$ (2, 3, 5, 7, 11, 13) zijn de echte waarden. Handig dat ze niet op elkaar lijken — bij een gewone 1-t/m-6-steen zou je ze zo door elkaar halen.

De verwachtingswaarde = een gewogen gemiddelde

Wat is de gemiddelde uitkomst? Niet gewoon $(2+3+5+7+11+13)/6$ — want de lage ogen tellen zwaarder mee, die vallen vaker. Je moet elke waarde wegen met zijn kans. Dat is de verwachtingswaarde:

$$\mu_x = E(X) = \sum p_i\, x_i$$

Dit is precies hetzelfde idee als het gewone gemiddelde (thema 1) en het gemiddelde uit een frequentietabel (thema 2) — alleen weeg je nu met kansen in plaats van frequenties.

$i$	$x_i$	$p_i$	$p_i \cdot x_i$	$(x_i - \mu_x)^2 \cdot p_i$
1	2	,20	0,40	$(2-5{,}8)^2 \cdot {,}20 = 2{,}888$
2	3	,20	0,60	$(3-5{,}8)^2 \cdot {,}20 = 1{,}568$
3	5	,20	1,00	$(5-5{,}8)^2 \cdot {,}20 = 0{,}128$
4	7	,20	1,40	$(7-5{,}8)^2 \cdot {,}20 = 0{,}288$
5	11	,10	1,10	$(11-5{,}8)^2 \cdot {,}10 = 2{,}704$
6	13	,10	1,30	$(13-5{,}8)^2 \cdot {,}10 = 5{,}184$
			$\mu_x = 5{,}8$	$\sigma_x^2 = 12{,}76$

Dus $\mu_x = 5{,}8$. Kun je een 5,8 gooien? Nee — die zit netjes tussen de ogen in. Maar het is wél de verwachting — het gemiddelde als je oneindig vaak zou gooien.

De variantie van een kansvariabele

Dezelfde gedachte als in thema 1 (de blauwe vierkantjes), maar weer gewogen met de kans. We hebben geen echte worpen meer nodig: de kans zelf vertelt hoe zwaar elke afwijking meetelt.

$$\sigma_x^2 = \sum (x_i - \mu_x)^2 \, p_i = 12{,}76, \qquad \sigma_x = \sqrt{12{,}76} \approx 3{,}57$$

(De rechterkolom van de tabel hierboven, opgeteld.)

OpmerkingDe brug: frequenties worden kansen

Dit ligt dichter bij thema’s 1 en 2 dan het lijkt. Daar woog je het gemiddelde met frequenties:

$$\bar{y} = \frac{\sum f_i\, y_i}{n} = \sum \underbrace{\frac{f_i}{n}}_{\text{proportie}}\, y_i$$

Hier weeg je met kansen:

$$\mu_x = \sum \underbrace{p_i}_{\text{kans}}\, x_i$$

Zelfde structuur, andere gewichten — en de gewichten zijn familie. Deel je een frequentie door $n$ (precies de “keer $\tfrac{1}{n}$”-blik uit thema 1), dan wordt $f_i$ een proportie: hoe vaak in jóuw data. Op de lange duur stabiliseert die proportie tot een kans $p_i$: hoe vaak het zou gebeuren. Frequenties worden kansen. De variantie volgt exact dezelfde gewogen-vierkantjes-logica — alleen weegt thema 2 met $f_i/n$ en dit thema met $p_i$.

De kraai verandert de regels (lineaire transformatie)

De kraai zegt: je betaalt €10 inleg, en krijgt €5 per geworpen oog terug. Je winst is dan $Y = -10 + 5X$ — een lineaire transformatie ($a = -10$, $b = 5$). Wat is je verwachte winst en de spreiding?

• Gemiddelde schuift én schaalt mee: $\mu_Y = a + b\,\mu_x = -10 + 5 \cdot 5{,}8 = 19$. (Verwachte winst €19 — de kraai heeft écht belabberd gerekend.)
• Variantie: $\sigma_Y^2 = b^2 \, \sigma_x^2 = 5^2 \cdot 12{,}76 = 319$.
• Standaardafwijking: $\sigma_Y = |b| \, \sigma_x = 5 \cdot 3{,}57 = 17{,}86$ ( $= \sqrt{319}$, klopt).

BelangrijkLet op: de variantie krijgt b-kwadraat

De makkelijkste fout (ik trap er zelf soms even in): bij de variantie staat $b^{2}$, niet $b$. De standaardafwijking krijgt $|b|$. Logisch ook: een variantie leeft in “kwadraten” (denk aan de vierkantjes uit thema 1), dus een schaalfactor telt daar gekwadrateerd. Een constante $a$ erbij verschuift alleen het midden en doet niets met de spreiding.

TipBruggetje naar straks

Onthoud $\sigma_Y^2 = b^2\sigma_x^2$ goed — want precies díé regel verklaart in Deel 4 waarom de standaardfout $\sigma_{\bar{x}} = \sigma_x / \sqrt{n}$ is. Dit voelt nu misschien als een detail, maar het is straks precies de reden waarom een gemiddelde minder spreidt dan losse scores. Hier leg je dat fundament.

Oefenen

OpmerkingT3.1 — Eerlijke dobbelsteen

Neem nu een eerlijke dobbelsteen: elk oog kans $1/6$.

1. Wat is $\mu_x = E(X)$?

2. Kun je dat oog ook echt gooien?

OpgeletAntwoord T3.1

(a) $\mu_x = \sum p_i x_i = \tfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \tfrac{21}{6} = 3{,}5$.

(b) Nee — een 3,5 bestaat niet op de dobbelsteen. De verwachtingswaarde is een gemiddelde, geen mogelijke uitkomst.

OpmerkingT3.2 — Andere spelregels

Bij de eerlijke dobbelsteen ($\mu_x = 3{,}5$, en reken zelf na dat $\sigma_x^2 \approx 2{,}92$). De uil verandert het spel: $Y = 2 + 3X$ punten. Wat worden $\mu_Y$, $\sigma_Y^2$ en $\sigma_Y$?

OpgeletAntwoord T3.2

$\mu_Y = a + b\mu_x = 2 + 3 \cdot 3{,}5 = 12{,}5$.

$\sigma_Y^2 = b^2 \sigma_x^2 = 3^2 \cdot 2{,}92 = 9 \cdot 2{,}92 = 26{,}28$ (let op: $b^2 = 9$, niet 3).

$\sigma_Y = |b|\,\sigma_x = 3 \cdot \sqrt{2{,}92} = 3 \cdot 1{,}71 = 5{,}13$ ($=\sqrt{26{,}28}$).

Tot slot

Niks nieuws onder de zon: een kansvariabele reken je precies zoals een gewone groep, alleen weeg je nu met kansen in plaats van met frequenties. Een 5,8 kun je niet gooien en €19 winst krijg je nooit netjes uitbetaald — en tóch zijn dat de getallen waar je op moet rekenen, want het is wat er op de lange duur uit komt rollen.

Hou vooral dat ene regeltje vast: bij een lineaire transformatie krijgt de variantie een $b^2$, geen $b$. Dat lijkt nu een mug die ik zit te ziften, maar het is geen detail. Het is straks de hele reden dat een gemiddelde minder spreidt dan losse scores — de motor onder de standaardfout. Hier leg je ’m alvast neer.

---

Oefenboek OZP 1 · Thema 3, versie 0.1 (handrekenen & theorie).