Hoofdstuk 1 · Gemiddelde en spreiding

M en SD lezen · mean & standard deviation

De prikkel

Ergens op een kale rots bij Antarctica staat een weegschaal, en daaromheen scharrelen 342 pinguïns die daar niet om gevraagd hebben.¹ Eén voor één worden ze opgetild, op de schaal gezet, en weer losgelaten. Elke keer schrijft iemand één getal op. Gewicht, in grammen. Meer niet: 342 dieren, 342 getallen.

Tel die 342 getallen op, deel door 342, en er komt iets keurigs uit: 4202 gram. Ziedaar, de gemiddelde pinguïn: 4,2 kilo. Alleen — ik heb de lijst nagekeken, en op die hele rots staat geen enkele pinguïn die 4202 gram weegt. Niet één. De gemiddelde pinguïn is er zelf niet bij.

Dat jeukt. Eén getal dat 342 dieren samenvat en van niemand is — wat vertelt zo’n getal dan eigenlijk? En, misschien wel spannender: wat laat het weg? Trek even mee; we gaan dat getal openmaken.

Speel het

⬇ Download de data — penguins.csv

Haal de pinguïns binnen en laat drie getallen uitrekenen: het gemiddelde, de standaardafwijking en de mediaan van het gewicht.

OpmerkingIn SPSS · trek eraan

1. Open penguins.csv in SPSS: File → Open → Data, en zet het bestandstype op CSV.
2. Ga naar Analyze → Descriptive Statistics → Descriptives en sleep gewicht naar het vak Variable(s).
3. Klik op Options en zorg dat Mean en Std. deviation aangevinkt staan. OK — daar zijn de eerste twee getallen.
4. Voor de mediaan (Descriptives kent die niet): Analyze → Descriptive Statistics → Explore, sleep gewicht naar Dependent List — de tabel geeft de mediaan (en meer), en onder Plots → Histogram krijg je er meteen een plaatje van alle 342 gewichten bij.

Drie getallen. Lees ze één voor één:

• Gemiddelde (mean): M = 4202. Het balanspunt. Denk aan alle gewichten als knikkers op een lange lat: leg je vinger onder 4202 en de lat is in evenwicht. Het “midden” — maar dan het midden waar de zwaarte om draait.
• Standaardafwijking (standard deviation): SD = 802. Het antwoord op de vraag die meteen ná het midden komt: en hoe ver liggen ze daar dan omheen? Zoiets als de gemiddelde afstand tot het midden: een pinguïn zit hier typisch een gram of 800 van het gemiddelde af — sommige veel dichterbij, sommige veel verder. (Voor de fijnproever: de formule kwadrateert die afstanden eerst en wortelt daarna terug, daarover later. De lees-intuïtie “typische afstand tot het gemiddelde” mag je gewoon houden.)
• Mediaan (median) = 4050. De middelste pinguïn: zet alle 342 op een rij van licht naar zwaar en kijk wie er halverwege staat. Hé — die ligt een stuk lager dan het gemiddelde. Onthoud dat jeukje; het komt zo terug.

Maar er staat nóg een kolom in het bestand: soort. Drie soorten pinguïns lopen er op die rots — Adelie, Chinstrap en Gentoo. Reken het gemiddelde eens per soort uit, en gooi de gewichten ook in een plaatje.

OpmerkingIn SPSS · per soort

1. Blijf in Explore en sleep soort naar de Factor List: je krijgt de tabel — en het histogram — nu apart per soort, drie gemiddelden onder elkaar.
2. (Alternatief: Data → Split File → Organize output by groups met soort, en draai Descriptives opnieuw. Vergeet Split File daarna niet weer uit te zetten, anders splitst álles wat je hierna doet.)

En daar valt het ene getal uit elkaar. Adelie: M = 3701. Chinstrap: M = 3733. Gentoo: M = 5076. Twee soorten die vlak bij elkaar rond de 3,7 kilo zitten — en één soort die daar ruim een kilo boven hangt. Het plaatje zegt hetzelfde in vorm: geen net bergje met één top, maar een berg met een dikke schouder aan de rechterkant. Die schouder, dat zijn de Gentoo’s.

Snap het

Terug naar 4202. Wat is dat getal nu nog waard?

Meer dan je misschien denkt — en minder. Eerst de winst. M zegt waar het midden ligt, en SD zegt hoe wijd de dieren daaromheen wonen. Die twee samen zijn al een halve verdeling: “gemiddeld 4202, typisch zo’n 800 eromheen” vertelt je dat een pinguïn van 3500 of van 4900 gram hier doodgewoon is (binnen één SD van het midden), en dat de zwaarste van de rots — 6300 gram — een flinke uitschieter is. Wie alleen het gemiddelde rapporteert, geeft je een plek zonder omtrek; de SD is de omtrek.

Dan het verlies. Dat ene gemiddelde, 4202, mengt drie soorten door elkaar. Twee soorten wonen rond de 3700, één rond de 5076 — en 4202 valt precies in het gat daartussen, waar bijna geen pinguïn woont. De gemiddelde pinguïn bestaat niet, en nu zie je waaróm niet: het is geen typisch dier, het is het balanspunt van een gemengd gezelschap.

En kijk wat dat mengen met de SD doet. Binnen één soort is de spreiding veel kleiner — Adelie 459, Chinstrap 384, Gentoo 504 — maar over alles heen was hij 802. Dat verschil is geen extra individuele variatie: het is het sóórtverschil dat zich als spreiding vermomt. Eén getal voor het midden verbergt drie middens; één getal voor de spreiding telt de afstand tussen groepen mee alsof het gewone wiebel is.

Nu het jeukje van de mediaan. 4050 tegenover 4202: het gemiddelde ligt hoger, omdat de zware Gentoo-schouder rechts het balanspunt naar zich toe trekt — de mediaan trekt zich van schouders en uitschieters niets aan, die telt alleen wie er halverwege de rij staat. Lopen gemiddelde en mediaan uit elkaar, dan is dat dus een seintje: deze verdeling hangt scheef, of bestaat uit stukken. Over die vórm van verdelingen gaat Hoofdstuk 2; en of zo’n verschil tussen groepen echt is of ook toeval had kunnen zijn, dat gaan we in Hoofdstuk 9 schudden. Hier volstaat het seintje.

In gewone taal, één zin: deze 342 pinguïns wegen gemiddeld zo’n 4,2 kilo met een typische afwijking van ruim 800 gram — maar dat gemiddelde mengt drie soorten die elk om een eigen midden wonen.

En dat is meteen de leeshouding voor elk gemiddelde dat je vanaf nu tegenkomt — “de gemiddelde Nederlander”, “het gemiddelde inkomen”, “de gemiddelde patiënt”. Twee vragen erbij, altijd: hoe ver liggen ze eromheen? (vraag om de SD) en wie zitten er allemaal in dat gemiddelde? (vraag om de groepen). Een gemiddelde zonder die twee antwoorden is een adres zonder stad.

◠ Zelfde vorm in het boek

Hier: één getal voor het midden, één voor de ruimte eromheen — en de ontdekking dat er in dat midden bijna niemand woont.

In het boek: W1 — Gemiddelde en spreiding

Daar heet dit hoofdstuk “De gemiddelde slok” — en proef je waarom sommige dingen zich laten middelen en andere niet.

TODO (broertje, boek-boog H1): stem-pas door Ben — verhaal-stem-opening en het fijnproever-terzijde kunnen nog losser/stiller. Getallen nagerekend op penguins.csv (24-7): n=342, M=4201.75→4202, SD=801.95→802, mediaan=4050; per soort Adelie 3701/459 (n=151), Chinstrap 3733/384 (n=68), Gentoo 5076/504 (n=123); min 2700, max 6300, geen enkele pinguïn exact 4202. Geen schud-trede: puur beschrijven, geen waar-of-toeval-vraag (charter: “default aan, natuurlijk uit”). Sidebar-nummering/volgorde regelt C later. De R- en JASP-tweeling delen deze tekst; alleen “Speel het” verschilt.

Voetnoten

1. Palmer Penguins — Gorman, Williams & Fraser (2014), Palmer Station Antarctica LTER; via het R-pakket palmerpenguins (CC0). Alle getallen in dit blok zijn op die échte data nagerekend.