Thema 4 · Discrete kansvariabelen
Deel 2 — Standaardiseren · het gewogen gemiddelde
Een dobbelspel in het bos
De kraai heeft een gokspel opgezet. Je gooit met een dobbelsteen, en hij heeft ’m stiekem onzuiver én raar gemaakt: de ogen zijn priemgetallen (2, 3, 5, 7, 11, 13), en de lage vallen vaker dan de hoge. De kansen liggen dus vast — en als de kansen vastliggen, kunnen we van tevoren uitrekenen wat er gemiddeld gebeurt. Dat is dit korte thema: rekenen aan een discrete kansvariabele.
De kraaiendobbelsteen, \(X\) = aantal ogen:
| \(i\) | oog \(x_i\) | kans \(p_i\) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | ,20 |
| 2 | 3 | ,20 |
| 3 | 5 | ,20 |
| 4 | 7 | ,20 |
| 5 | 11 | ,10 |
| 6 | 13 | ,10 |
| 1,00 |
Let op de twee linkerkolommen: de index \(i\) (1 t/m 6) nummert gewoon de rijen, de ogen \(x_i\) (2, 3, 5, 7, 11, 13) zijn de echte waarden. Handig dat ze niet op elkaar lijken — bij een gewone 1-t/m-6-steen zou je ze zo door elkaar halen.
De verwachtingswaarde = een gewogen gemiddelde
Wat is de gemiddelde uitkomst? Niet gewoon \((1+2+\dots+6)/6\) — want de lage ogen tellen zwaarder mee, die vallen vaker. Je moet elke waarde wegen met zijn kans. Dat is de verwachtingswaarde:
\[\mu_x = E(X) = \sum p_i\, x_i\]
Dit is precies hetzelfde idee als het gewone gemiddelde (Deel 1) en het gemiddelde uit een frequentietabel (thema 2) — alleen weeg je nu met kansen in plaats van frequenties.
| \(i\) | \(x_i\) | \(p_i\) | \(p_i \cdot x_i\) | \((x_i - \mu_x)^2 \cdot p_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ,20 | 0,40 | \((2-5{,}8)^2 \cdot {,}20 = 2{,}888\) |
| 2 | 3 | ,20 | 0,60 | \((3-5{,}8)^2 \cdot {,}20 = 1{,}568\) |
| 3 | 5 | ,20 | 1,00 | \((5-5{,}8)^2 \cdot {,}20 = 0{,}128\) |
| 4 | 7 | ,20 | 1,40 | \((7-5{,}8)^2 \cdot {,}20 = 0{,}288\) |
| 5 | 11 | ,10 | 1,10 | \((11-5{,}8)^2 \cdot {,}10 = 2{,}704\) |
| 6 | 13 | ,10 | 1,30 | \((13-5{,}8)^2 \cdot {,}10 = 5{,}184\) |
| \(\mu_x = 5{,}8\) | \(\sigma_x^2 = 12{,}76\) |
Dus \(\mu_x = 5{,}8\). Kun je een 5,8 gooien? Nee — die zit netjes tussen de ogen in. Maar het is wél de verwachting — het gemiddelde als je oneindig vaak zou gooien.
De variantie van een kansvariabele
Dezelfde gedachte als in Deel 1 (de blauwe vierkantjes), maar weer gewogen met de kans. We hebben geen echte worpen meer nodig: de kans zelf vertelt hoe zwaar elke afwijking meetelt.
\[\sigma_x^2 = \sum (x_i - \mu_x)^2 \, p_i = 12{,}76, \qquad \sigma_x = \sqrt{12{,}76} \approx 3{,}57\]
(De rechterkolom van de tabel hierboven, opgeteld.)
De kraai verandert de regels (lineaire transformatie)
De kraai zegt: je betaalt €10 inleg, en krijgt €5 per geworpen oog terug. Je winst is dan \(Y = -10 + 5X\) — een lineaire transformatie (\(a = -10\), \(b = 5\)). Wat is je verwachte winst en de spreiding?
- Gemiddelde schuift én schaalt mee: \(\mu_Y = a + b\,\mu_x = -10 + 5 \cdot 5{,}8 = 19\). (Verwachte winst €19 — de kraai heeft écht belabberd gerekend.)
- Variantie: \(\sigma_Y^2 = b^2 \, \sigma_x^2 = 5^2 \cdot 12{,}76 = 319\).
- Standaardafwijking: \(\sigma_Y = |b| \, \sigma_x = 5 \cdot 3{,}57 = 17{,}86\) ( \(= \sqrt{319}\), klopt).
Oefenen
Tot slot
Niks nieuws onder de zon: een kansvariabele reken je precies zoals een gewone groep, alleen weeg je nu met kansen in plaats van met frequenties. Een 5,8 kun je niet gooien en €19 winst krijg je nooit netjes uitbetaald — en tóch zijn dat de getallen waar je op moet rekenen, want het is wat er op de lange duur uit komt rollen.
Hou vooral dat ene regeltje vast: bij een lineaire transformatie krijgt de variantie een \(b^2\), geen \(b\). Dat lijkt nu een mug die ik zit te ziften, maar het is geen detail. Het is straks de hele reden dat een gemiddelde minder spreidt dan losse scores — de motor onder de standaardfout. Hier leg je ’m alvast neer.
Werkboek OZP 1 · Thema 4, versie 0.1 (handrekenen & theorie).