Thema 9 · t-toets

Deel 5 — Toetsen · de σ die we niet kennen

Van z naar t: σ kennen we nooit

In thema 8 deden we alsof we \(\sigma_x\) kennen. Dat is een prettige fictie voor het uitleggen, maar in de echte wereld komt zo’n populatie-standaardafwijking nooit kant-en-klaar binnenwaaien. We schatten \(\sigma_x\) met de standaardafwijking van onze steekproef: \(s_x\). En dat extra schatten kost ons iets — vandaar een nieuwe verdeling: de t-verdeling.

OpmerkingDe egels — nu zonder cadeau van God

Zelfde context als thema 8: pienterheid, \(H_0: \mu_x = 100\), \(H_1: \mu_x > 100\), \(\alpha = .05\), steekproef van \(n = 25\) egels met \(\bar{x} = 106\). Maar nu: \(\sigma_x\) kennen we niet (alleen God kende ’m). We hebben \(s_x = 15\) uit de steekproef — onze beste gok.

Wat verandert er?

Drie dingen, en eigenlijk maar drie:

  1. De standaardfout wordt geschat: \(SE_{\bar{x}} =s_x / \sqrt{n}\) in plaats van \(\sigma_x / \sqrt{n}\).
  2. De toetsingsgrootheid heet \(t\) in plaats van \(z\) — zelfde formule, andere naam: \(t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{SE_{\bar{x}}}\).
  3. We zoeken de kans op in de t-verdeling met \(n-1\) vrijheidsgraden (\(df\)), niet in de z-tabel.

Voor onze egels: \(SE_{\bar{x}} =15/\sqrt{25} = 3\) (toevallig gelijk aan thema 8 — handig voor het vergelijken). \(df = n - 1 = 24\).

De t-verdeling: z, maar met extra onzekerheid in de staarten

De t-verdeling lijkt op de standaardnormale, maar heeft dikkere staarten — meer kans op extreme uitkomsten. Dat is precies wat je krijgt als je \(\sigma\) door \(s\) vervangt: \(s\) is zelf ook een schatting met ruis, dus de hele toetsstatistiek wordt iets onzekerder. Hoe groter \(n\) (dus \(df\)), hoe beter \(s\) de echte \(\sigma\) benadert, en hoe meer de t-verdeling op de z-verdeling lijkt. Bij \(df = \infty\) valt t samen met z.

Figuur 1: De standaardnormale verdeling (z, donkergrijs, doorgetrokken) en de t-verdeling bij df = 9 (oranje, gestippeld). De t-verdeling heeft dikkere staarten en een iets lagere top — meer onzekerheid in de extremen. Bij df = 24 is het verschil al klein; bij df → ∞ vallen ze samen.
TipVrijheidsgraden — een korte intuïtie

Met \(n\) scores en een vastgelegd gemiddelde, mogen \(n-1\) scores nog vrij wisselen — de laatste ligt vast (anders verandert het gemiddelde). Vandaar \(df = n - 1\). Hoe meer vrijheidsgraden, hoe stabieler \(s_x\) als schatting van \(\sigma_x\), hoe smaller de staarten.

De snelle weg (3 regels, overzicht)

Voor de egels (\(\bar{x} = 106\), \(s_x = 15\), \(n = 25\), \(\mu_0 = 100\), eenzijdig, \(\alpha = .05\)):

  1. Standaardiseer: \(t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{SE_{\bar{x}}} = \dfrac{106 - 100}{3} = 2{,}00\) met \(df = 24\).
  2. Zoek de kans: \(p = .028\) (rechterstaart, t-tabel df = 24). \(p < .05\).
  3. Beslis: verwerp de nulhypothese.

Conclusie: ook zonder \(\sigma_x\) als cadeau scoren egels significant boven de norm van 100. Klaar.

De lange weg — het toets-stappenplan

Stap 1 · Onderzoeksvraag. Zijn egels pienterder dan de norm van 100?

Stap 2 · Hypothesen. \(H_0: \mu_x = 100\). \(H_1: \mu_x > 100\) (rechtszijdig).

Stap 3 · Toetskeuze. Eén gemiddelde, \(\sigma_x\) onbekend → één-steekproefs t-toets (in plaats van z).

Stap 4 · Laat \(H_0\) waar zijn en teken de steekproevenverdeling. Onder \(H_0\) ligt het centrum op \(\mu_0 = 100\) met geschatte standaardfout \(SE_{\bar{x}} =15/\sqrt{25} = 3\). De rechterstaart van 5% (= \(\alpha\)) is het verwerpingsgebied — maar nu met t (df = 24), niet met z:

Figuur 2: De steekproevenverdeling onder H0 (mu0 = 100, geschatte standaardfout 3, t-verdeling met df = 24). De oranje staart is het verwerpingsgebied (α = .05); de kritieke waarde ligt op x̄c = 105,13 (iets verder dan T8’s 104,94, omdat de t-verdeling extra onzekerheid in de staart inbouwt). De gevonden steekproef x̄ = 106 (blauwe lijn) valt nog steeds in het verwerpingsgebied → verwerpen.

Stap 5 · Toetsingsgrootheid. \(t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{SE_{\bar{x}}} = \dfrac{106 - 100}{3} = 2{,}00\).

Stap 6 · p-waarde of kritieke waarde.

  • p-waarde: in de t-tabel bij \(df = 24\) hoort bij \(t = 2{,}00\) een eenzijdige \(p \approx .028\). (Vergelijk T8: voor \(z = 2{,}00\) was \(p = .023\). T levert iets hogere \(p\) — de dikkere staart.)
  • Kritieke waarde: bij \(\alpha = .05\) eenzijdig en \(df = 24\) is \(t^* = 1{,}711\). Dus \(\bar{x}_c = 100 + 1{,}711 \cdot 3 = 105{,}13\). De gevonden \(\bar{x} = 106 > 105{,}13\) → verwerpen.

Stap 7 · Statistische beslissing. Verwerp de nulhypothese (\(t = 2{,}00\), \(df = 24\), \(p = .028\), eenzijdig, \(\alpha = .05\)).

Stap 8 · Inhoudelijke conclusie. Bij egels ligt de gemiddelde pienterheid significant boven de norm van 100 — ook nu we \(\sigma_x\) niet kenden en met \(s_x\) moesten werken.

Belangrijkt-tabel afwijkend van z-tabel — en de procenten-rij

De t-tabel is anders opgebouwd dan de z-tabel: je zoekt in de kolom een tail-percentage (5%, 2,5%, …) en in de rij je \(df\) — daar staat de kritieke \(t^*\). (Bij de z-tabel zoek je in het binnenwerk een kans-bij-een-z; de t-tabel is bewust korter.) Voor \(df = 24\) en eenzijdig 5%: \(t^* = 1{,}711\). Voor \(df \to \infty\) zie je 1,645 staan — exact de z-waarde. Dat is dezelfde “procenten-rij” als het college gebruikt; alleen vraag jij ’m rechtstreeks (“welke \(t\) bij 5% in één staart bij df = 24?”) in plaats van via de p-waarde.

Het t-betrouwbaarheidsinterval

Net als in thema 7 kun je rond \(\bar{x}\) een interval bouwen, maar nu met \(t^*\) in plaats van \(z^*\) en met \(SE_{\bar{x}}\) in plaats van \(\sigma_{\bar{x}}\):

\[\bar{x} \pm t^* \cdot SE_{\bar{x}}\]

Voor 95% tweezijdig bij \(df = 24\): \(t^* = 2{,}064\) (uit de t-tabel). Dus \(106 \pm 2{,}064 \cdot 3 = 106 \pm 6{,}19 = [99{,}81\,;\,112{,}19]\). Iets breder dan T8’s \(z\)-CI \([100{,}12\,;\,111{,}88]\) — de prijs van het schatten. Let op: hier ligt 100 wél nét binnen het interval — dus bij een tweezijdige toets (\(\alpha = .05\), \(H_1: \mu \neq 100\)) zou je deze nét niet verwerpen. Eenzijdig wel.

Twee andere t-toetsen — kort

Tot nu toe één steekproef tegen een norm. In de echte wereld vergelijk je vaker twee dingen:

TipDe onafhankelijke (independent samples) t-toets — twee groepen

Wanneer? Je vergelijkt twee verschillende groepen op één variabele (bijv. egels vs marmotten op pienterheid). \(H_0: \mu_1 = \mu_2\).

Formule (pooled): \(t = \dfrac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{SE_{\text{verschil}}}\) met \(SE_{\text{verschil}} = s_p\sqrt{\tfrac{1}{n_1} + \tfrac{1}{n_2}}\) en \(s_p\) de “samengetrokken” SD; \(df = n_1 + n_2 - 2\).

De rest van het stappenplan blijft hetzelfde — verwacht onder \(H_0\) verschil = 0, kijk hoe ver je af zit in \(SE_{\bar{x}}\)-lineaaltjes.

TipDe gepaarde (paired samples) t-toets — twee metingen op dezelfde dieren

Wanneer? Je hebt twee metingen aan dezelfde eenheden (bijv. egel-pienterheid vóór en ná een training). Bereken per egel het verschil \(d_i = y_{i,\text{na}} - y_{i,\text{voor}}\), en toets of dat verschil 0 is.

Formule: doe een gewone één-steekproefs t-toets op de verschillen: \(t = \bar{d}/(s_d/\sqrt{n})\) met \(df = n - 1\).

Trucje: gepaard reduceert de variatie tussen egels (elke egel is z’n eigen controle) → vaak meer power dan een onafhankelijke t op dezelfde data.

In OZP 1 oefen je vooral de één-steekproefs versie; de andere twee komen verderop in je studie. De gedachte is steeds dezelfde: een verschil delen door zijn standaardfout, en kijken hoe extreem dat is onder \(H_0\).

Oefenen

OpmerkingT9.1 — t-toets uitvoeren

Bij een steekproef van \(n = 16\) leerlingen op een nieuwe leesvaardigheidstoets vind je \(\bar{x} = 54\), \(s_x = 8\). De landelijke norm is \(\mu_0 = 50\). Toets eenzijdig (\(H_1: \mu > 50\)) bij \(\alpha = .05\). (a) Wat is \(SE_{\bar{x}}\) en \(df\)? (b) Wat is \(t\)? (c) De kritieke waarde \(t^*\) bij eenzijdig \(\alpha = .05\), \(df = 15\) is 1,753. Verwerpen?

(a) \(SE_{\bar{x}} =8/\sqrt{16} = 2\). \(df = 16 - 1 = 15\).

(b) \(t = \dfrac{54 - 50}{2} = 2{,}00\).

(c) \(t = 2{,}00 > 1{,}753\) → verwerp de nulhypothese. De leerlingen scoren significant boven de landelijke norm (\(t = 2{,}00\), \(df = 15\), eenzijdig, \(\alpha = .05\)).

OpmerkingT9.2 — t-CI bouwen

Met diezelfde steekproef (\(\bar{x} = 54\), \(s_x = 8\), \(n = 16\)): bouw het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor \(\mu_x\). Gebruik \(t^*_{\text{tweezijdig},.05,df=15} = 2{,}131\). Ligt 50 erin?

\(SE_{\bar{x}} =2\). Foutenmarge \(M = 2{,}131 \cdot 2 = 4{,}26\). Interval: \(54 \pm 4{,}26 = [49{,}74\,;\,58{,}26]\). 50 ligt erin (maar nét). Bij een tweezijdige toets zou je dus niet verwerpen — terwijl je eenzijdig wél verwerpt. Dezelfde val als in T8: kies één-/tweezijdig vooraf en met onderbouwing.

Wat blijft liggen

We toetsten alleen gemiddelden. In thema 10 vragen we ons af: hoe goed vángt deze toets een echt effect? — dat is power. En in thema 11 stappen we over op categorieën (chi-kwadraat).

Tot slot

Z en t zijn familieleden. Z is het ideaal, t de werkelijkheid: een beetje extra onzekerheid omdat we \(\sigma\) schatten. De stappen blijven gelijk, de figuur blijft gelijk, alleen de tabel verandert. En vergeet niet — drie regels voor de snelle weg, acht stappen voor de lange weg met figuur.

Werkboek OZP 1 · Thema 9, versie 0.1 (handrekenen & theorie; SPSS later). Doorlopend voorbeeld: de egels.

Terug naar boven