Twee variabelen tegelijk
Tot nu toe keken we naar één variabele per keer. Nu twee. De egels worden ouder én langer — en de vraag is: bewegen die twee samen? Niet door de tijd, maar in de data: horen hogere leeftijden bij hogere (of juist lagere) lengtes? Als een egel ouder is, is hij dan ook langer? Dat is samenhang (correlatie, verband, associatie — allemaal hetzelfde, zie Deel 0).
Even feest: vanaf nu kijken we naar twee dingen tegelijk. Niet één rijtje getallen meer, maar twee die iets met elkaar te maken kunnen hebben. Dat is een sprong — al is het, eerlijk, nog een bescheiden sprong: twee. De echte knal is multivariaat, een hele zwerm variabelen die door elkaar dansen. Dat is voor later; voel ’m eerst met z’n tweeën.
Bij elke egel meten we nu twee dingen: leeftijd \(x\) (maanden) en lengte \(y\) (cm).
| 1 |
2 |
11 |
| 2 |
2 |
20 |
| 3 |
3 |
14 |
| 4 |
3 |
23 |
| 5 |
4 |
20 |
| 6 |
5 |
26 |
| 7 |
5 |
29 |
| 8 |
6 |
17 |
| 9 |
6 |
20 |
De lengtes zijn dezelfde negen als in Deel 1: \(\bar{y} = 20\), \(s_y = \sqrt{31{,}5} \approx 5{,}61\). Voor de leeftijd: \(\bar{x} = 4\), en (reken na) \(s_x = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58\).
Hier is de wolk — negen egels, elk een puntje:
Kijk er even naar vóór je verder leest: zie je een verband? En valt je iets op — zit er een egel tussen die juist tegen de trend in lijkt te gaan?
Het gevoel: vier kwadranten
Teken een verticale lijn op \(\bar{x} = 4\) en een horizontale op \(\bar{y} = 20\). Dat hakt de wolk in vier kwadranten. Loop nu elke egel langs en vraag twee dingen: scoort hij hoog of laag op leeftijd, en hoog of laag op lengte?
- Zelfde kant op (hoog-hoog óf laag-laag) → draagt bij aan een positief verband.
- Tegengesteld (hoog-laag óf laag-hoog) → draagt bij aan een negatief verband.
- Precies op een gemiddelde (op leeftijd óf op lengte) → draagt niks bij. Eén afwijking is dan nul, en nul keer wat-dan-ook blijft nul — ook al wijkt die egel op de ándere variabele fors af. Eén factor nul, en het hele product is nul.
De meeste egels gaan mee met de trend: jong-en-kort linksonder, oud-en-lang rechtsboven (allebei positief). Maar let op de dwarsliggers: een jonge egel die tóch al lang is (linksboven) en een oude egel die kort gebleven is (rechtsonder) — die trekken juist tegen het verband in (negatief). En een paar egels liggen precies op de lengte-gemiddelde lijn (lengte 20): die scoren wél gemiddeld op lengte, maar niet op leeftijd. Hun product is nul; ze doen niet mee.
Covariantie: samen afwijken
We vangen dat in een getal. Per egel vermenigvuldigen we zijn afwijking op \(x\) met zijn afwijking op \(y\) — een kruisproduct. Min × min = plus, dus laat je niet vangen door min-min: dat is gewoon plus. Aan of dat product plus of min is — het teken — zie je of een egel aan een positief of negatief verband bijdraagt; en een product van nul betekent: doet niet mee.
Dat kruisproduct \((x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\) heeft ook een meetkundige kant. Lengte × breedte is een oppervlakte — en hier zijn de twee zijden de twee afwijkingen: hoever deze egel van de gemiddelde leeftijd zit, en hoever van de gemiddelde lengte. Elke egel spant zo zijn eigen rechthoekje op.
- Allebei dezelfde kant op (beide plus óf beide min) → een positief rechthoekje.
- De een vóór, de ander tegen → een negatief rechthoekje (er staat een minteken voor).
- Precies op één van de twee gemiddelden → een platte rechthoek, oppervlakte nul (de egel-die-niks-bijdraagt van hierboven).
De covariantie is dan niets anders dan het gemiddelde van al die rechthoekjes, hun plus en min netjes meegeteld. Eerst per egel een vlakje, dán pas optellen.
| 1 |
2 |
11 |
−2 |
−9 |
18 |
| 2 |
2 |
20 |
−2 |
0 |
0 |
| 3 |
3 |
14 |
−1 |
−6 |
6 |
| 4 |
3 |
23 |
−1 |
+3 |
−3 |
| 5 |
4 |
20 |
0 |
0 |
0 |
| 6 |
5 |
26 |
+1 |
+6 |
6 |
| 7 |
5 |
29 |
+1 |
+9 |
9 |
| 8 |
6 |
17 |
+2 |
−3 |
−6 |
| 9 |
6 |
20 |
+2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
som |
30 |
De som van de producten is 30. Deel door \(n-1\) (net als bij de variantie in Deel 1 — we beschrijven een steekproef) en je hebt de covariantie:
\[s_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1} = \frac{30}{8} = 3{,}75\]
De \(\sum_{i=1}^{n}\) betekent: tel op over álle egels, van de eerste (\(i=1\)) tot de laatste (\(i = n = 9\)) — dezelfde optel-machine als in thema 1. Omdat we bijna altijd over alle egels sommeren, laten we die grenzen verderop gewoon weg; dan staat er kortweg \(\sum\). Eerst expliciet, dan vanzelfsprekend.
Merk op: de twee dwarsliggers (egels 4 en 8, met een negatief product) drukken de som omlaag. Zonder hen zou het verband sterker ogen — maar zo eerlijk is de natuur niet.
Ruw is ruk → de Pearson-correlatie
Die covariantie van 3,75 — is dat veel? Ruw is ruk — al is ‘ruk’ hier nét te streng. Het téken (positief) lees je meteen af: leeftijd en lengte gaan samen dezelfde kant op. En het getal zélf bétekent ook iets: het leeft in de product-eenheid maand·cm — de gemiddelde rechthoek van hierboven. Wat je er níet aan afziet, is of 3,75 groot of klein is: dat hangt aan de eenheden. Meet je leeftijd in jaren in plaats van maanden, dan verandert het getal terwijl het verband hetzelfde blijft. Daarom standaardiseren we naar de Pearson-correlatie \(r_{xy}\), die altijd netjes tussen −1 en +1 loopt. De truc: we delen de gezamenlijke beweging (de covariantie) door hoeveel \(x\) en \(y\) ieder los spreiden (\(s_x\) en \(s_y\)):
\[r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y} = \frac{3{,}75}{\sqrt{2{,}5}\cdot\sqrt{31{,}5}} = \frac{3{,}75}{8{,}87} \approx {,}42\]
(Hetzelfde als het gemiddelde product van de z-scores, \(r_{xy} = \tfrac{1}{n-1}\sum z_x z_y\) — standaardiseren maakt het vergelijkbaar.) Een \(r\) van ,42: een matig positief verband (tegen de ,5 aan). Vuistregel uit het college: vanaf ±,2 zwak, ±,5 matig, ±,8 sterk. Egels worden dus langer met de leeftijd, maar er is flink wat ruis — precies wat je in de wolk al zag.
Wil je juist weten hoeveel cm langer per maand — een echt “zoveel per eenheid” — dan deel je de covariantie niet door béide spreidingen, maar alleen door die van leeftijd. Dan reken je de eenheid maand·cm om naar cm-per-maand: de regressiehelling. Dat is thema 6. Dezelfde gedeelde beweging, twee keer anders gelezen.
Kwadrateer je \(r\), dan krijg je het aandeel gedeelde variatie: \(r_{xy}^2 = {,}42^2 \approx {,}18\). Oftewel: zo’n 18% van de variatie in lengte hangt samen met de variatie in leeftijd (en dat mag je omdraaien). De overige 82% hangt (nog) niet samen met leeftijd — er speelt veel meer mee dan leeftijd alleen.
Data om mee te spelen: egels.sav — of de hele zip. Met de hand voel je wat er gebeurt; SPSS doet het kruisproduct-rekenwerk voor je. Voor een Pearson-correlatie:
Analyze → Correlate → Bivariate → zet leeftijd en lengte naar rechts → Pearson aangevinkt laten → OK.
In de output-tabel lees je \(r\) af op het kruispunt van de twee variabelen (en eronder de bijbehorende \(p\)).
Pas op
- Lineariteit. \(r\) meet alleen rechte samenhang. Je kunt door elke wolk een rechte lijn leggen, maar is dat terecht? Een kromme “hema-worst” verstop je niet in een \(r\) — teken altijd eerst de scatterplot.
- Uitbijters kunnen \(r\) flink optillen of platdrukken; één extreem punt doet veel.
- Schaal maakt niet uit. Meet je lengte in cm of in meters, \(r\) blijft gelijk — hij is gestandaardiseerd.
- Correlatie ≠ causatie. De egels worden langer met de leeftijd, niet noodzakelijk vanwege de leeftijd — ze groeien door voedsel, zorg en een beetje liefde. Tijd is geen oorzaak; het is een meeloper. Pas dus op met het woord “invloed”: dat is iets causaals, en daar gaat een correlatie niet over.
Wil je leren hoe een wolk en een \(r\) bij elkaar horen: speel een paar potjes guess the correlation (online te vinden). Een strakke, smalle wolk is makkelijk te raden; een ronde wolk (\(r \approx 0\)) is lastig. Goede oefening vóór je gaat rekenen.
Oefenen
Kijk naar de productentabel hierboven.
Welke egel draagt het meest bij aan het positieve verband?
Twee egels hebben een negatief product — welke, en wat is er bijzonder aan die egels?
Drie egels dragen niks bij — waarom niet?
Wat zou er met \(r\) gebeuren als álle egels precies even oud (leeftijd 4) waren?
(a) Egel 1 (leeftijd 2, lengte 11): de jongste én de kortste, dus van beide gemiddelden ver de “goede” kant op → product 18.
(b) Egel 4 (leeftijd 3, lengte 23) en egel 8 (leeftijd 6, lengte 17). Het zijn dwarsliggers: egel 4 is jong maar tóch al lang, egel 8 is oud maar kort gebleven. Ze gaan tegen de trend in, dus hun product is negatief (−3 en −6) en ze drukken de covariantie omlaag.
(c) Egels 2, 5 en 9 liggen precies op de lengte-gemiddelde lijn (lengte 20): hun afwijking op \(y\) is 0, dus het product is 0 — wat hun leeftijd ook is. Ze scoren gemiddeld op lengte en zeggen daarom niets over de samenhang.
(d) Dan is er geen variatie in leeftijd (\(x_i - \bar{x} = 0\) voor iedereen), dus alle producten zijn 0 en de covariantie is 0. En dan is ook de waarde van \(r\) gelijk aan nul — kortweg \(r = 0\). Zonder verschil in \(x\) kan er geen samenhang zijn — je hebt verschil nodig.
Data: egels.sav — de negen doorlopende egels, kolommen leeftijd en lengte.
Analyze → Correlate → Bivariate → zet leeftijd en lengte naar Variables → Pearson aangevinkt laten → OK.
Aflezen: op het kruispunt van de twee variabelen staat Pearson Correlation = ,423 (\(r \approx {,}42\)) — exact het getal dat je uit de covariantie (\(3{,}75\)) en de twee spreidingen (\(\sqrt{2{,}5}\) en \(\sqrt{31{,}5}\)) met de hand vond. De tabel-opgave (welke egel draagt bij, wie werkt tegen) lees je af uit de kruisproducten; SPSS bevestigt alleen het eindgetal.
Een onderzoeker vindt tussen schoenmaat en leesvaardigheid bij kinderen een correlatie van \(r = {,}70\). Mogen we concluderen dat grotere voeten beter lezen veroorzaken? Wat is hier waarschijnlijk aan de hand?
Nee — correlatie ≠ causatie. Er is vermoedelijk een derde variabele die met beide samenhangt: leeftijd. Oudere kinderen hebben grotere voeten én lezen beter. De schoenmaat doet niks; leeftijd loopt mee. (Zo’n meeloper heet ook wel een confounder.)
Drie onderzoekertjes in het dierenbos maken elk een spreidingsdiagram. Hun puntenwolken staan hieronder beschreven (de schetsen komen nog). Bij die drie wolken horen deze drie correlaties, in willekeurige volgorde: \(r = {,}85\), \(r = -{,}2\) en \(r = {,}25\).
Koppel elke wolk aan de best passende \(r\), en leg per keuze in één zin uit waaróm — noem telkens de richting (welke kant loopt de wolk op?) en de sterkte (hoe strak ligt hij om een lijn?).
- Wolk A — egels: leeftijd × lengte, nu bij veertig egels. De punten liggen in een strak, smal lint dat duidelijk omhoog loopt: oudere egels zijn vrijwel zonder uitzondering langer.
- Wolk B — mollen: uren in de zon × aantal wormen per dag. Een brede, bijna ronde bal punten die héél licht naar rechtsonder helt.
- Wolk C — uilen: nachtelijke alertheid × aantal gevangen muizen. De punten lopen omhoog, maar rommelig: je ziet een trend, met flink wat ruis eromheen.
- Wolk A \(\rightarrow r = {,}85\) — omhoog (positief) én strak lint (sterk).
- Wolk B \(\rightarrow r = -{,}2\) — licht omlaag (negatief) én bijna rond (zwak); de énige negatieve wolk.
- Wolk C \(\rightarrow r = {,}25\) — omhoog (positief) maar breed en ruizig (zwak-matig).
- Ezelsbruggetje: richting = welke kant de wolk op loopt (teken van \(r\)), sterkte = hoe smal hij om een lijn ligt (hoe dicht \(|r|\) bij 1).
Je hebt geen getallen nodig; je matcht op vorm. Twee vragen per wolk: welke kant op, en hoe strak?
- Richting eerst — teken van \(r\). Wolk A en C lopen omhoog (positief), wolk B helt omlaag (negatief). Er is maar één negatieve \(r\) in het rijtje, dus B krijgt \(-{,}2\). Klaar met B.
- Sterkte = hoe smal het lint. Van de twee positieve wolken is A het strakst — de punten liggen bijna op een rechte lijn. Strakker lint betekent grotere \(|r|\), dus A krijgt \({,}85\).
- Wat overblijft, past. Wolk C is stijgend maar breed en ruizig, dus zwak-matig positief: C krijgt \({,}25\).
- Check met de vuistregel (±,2 zwak, ±,5 matig, ±,8 sterk): A sterk, C zwak, B zwak. Past.
- Val op: \(r\) zegt iets over hoe strak de wolk om een lijn ligt, níét over hoe steil die lijn is. Een flauw stijgend maar kaarsrecht lint kan een hogere \(r\) hebben dan een steile maar wijd uitwaaierende wolk. Teken dus altijd eerst, en kijk naar de breedte van de wolk — niet naar de hellingshoek.
Van een verband tussen twee egel-metingen ken je de losse getallen niet, maar wél twee varianties. De totale variantie in de lengte \(y\) is \(s^2_y = 4{,}1\), en de variantie in de voorspelde lengtes \(\hat{y}\) — de lengtes zoals een regressielijn ze zou voorspellen (die lijn zelf leer je pas tekenen in thema 6; hier heb je alleen déze variantie nodig) — is \(s^2_{\hat{y}} = 1{,}5\). Het verband is positief (langer bij meer). Bereken de correlatie \(r\).
- Verklaarde variantie: \(r^2 = \dfrac{s^2_{\hat{y}}}{s^2_y} = \dfrac{1{,}5}{4{,}1} \approx {,}37\)
- Wortel terug: \(r = \sqrt{{,}37} \approx {,}60\)
- Teken uit de helling: positief verband \(\rightarrow r \approx +{,}60\)
- Antwoord: \(r \approx {,}60\); zo’n 37% van de variatie in lengte is verklaard. (In de berekening blijf je bij de proportie \({,}37\); het % pas in de conclusie.)
De verklaarde variantie \(r^2\) is de brug tussen die twee varianties en de correlatie. Vier stapjes:
- Wat is \(r^2\)? Het is precies de proportie verklaarde variantie: het deel van de spreiding in \(y\) dat de voorspelling \(\hat{y}\) meepakt. In formule: \(r^2 = \dfrac{s^2_{\hat{y}}}{s^2_y}\).
- Vul in (blijf bij de proportie, nog geen %): \(r^2 = \dfrac{1{,}5}{4{,}1} = {,}366\).
- Wortel terug naar \(r\): \(r = \sqrt{{,}366} = {,}605\).
- Teken uit de helling. Worteltrekken geeft strikt genomen \(\pm\): de wortel zélf is altijd positief, dus de helling beslist het teken. Het verband is positief \(\rightarrow r = +{,}60\). (Was het verband dalend geweest, dan \(r = -{,}60\) — mét exact dezelfde \(r^2 = {,}37\). \(r^2\) vergeet de richting; de helling onthoudt hem.)
Conclusie: \(r \approx {,}60\), en zo’n 37% van de variatie in lengte hangt samen met de voorspeller. Val op: uit \(s^2_{\hat{y}}/s^2_y\) rolt altijd \(r^2\), nooit \(r\) direct — je moet nog worteltrekken en het teken uit de wolk of de helling halen.
Je hebt de zakcenten van de egels gemeten in euro’s en de samenhang met hun lengte bekeken. De proportie verklaarde variantie is \(r^2 = {,}30\). Nu reken je alle zakcenten om naar centen (dus keer 100). Wat gebeurt er met \(r^2\) — wordt hij groter, kleiner, of blijft hij gelijk? Leg uit.
- Euro \(\rightarrow\) cent is een lineaire hercodering (elke waarde \(\times 100\)).
- \(r\) is gestandaardiseerd \(\rightarrow\) ongevoelig voor lineair strekken of verschuiven.
- Dus \(r\) blijft gelijk, en dan blijft ook \(r^2 = {,}30\) gelijk.
- Zelfde idee als “schaal maakt niet uit” bij Pas op: cm of meter, euro of cent — \(r\) trekt zich er niks van aan.
De verleiding is te denken “grotere getallen \(\rightarrow\) meer variantie \(\rightarrow\) ander verband”. Maar \(r\) is juist gebouwd om dat weg te delen. Stap voor stap:
- Wat is euro \(\rightarrow\) cent? Elke waarde keer 100 (en eventueel plus een constante): een lineaire transformatie. De wolk wordt uitgerekt, maar geen enkel punt verspringt ten opzichte van de andere — de vorm en de volgorde blijven identiek.
- Waarom raakt dat \(r\) niet? In \(r = \dfrac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}\) groeit de teller (de covariantie) mee met factor 100, én de noemer (via \(s\) van diezelfde variabele) met factor 100. Die 100 valt boven en onder tegen elkaar weg. \(r\) blijft exact gelijk.
- En \(r^2\)? Kwadrateer je een getal dat niet verandert, dan verandert het kwadraat ook niet: \(r^2 = {,}30\) blijft \({,}30\).
- Intuïtie. De punten in de spreidingswolk schuiven niet; alleen het bijschrift op de as verandert (euro wordt cent). Zelfde wolk, zelfde samenhang, zelfde verklaarde variantie.
- Val op — waar het wél zou breken: alleen een lineaire omrekening laat \(r\) met rust. Een niet-lineaire hercodering (bijvoorbeeld de logaritme nemen) buigt de wolk krom en verándert \(r\) wél. Strekken en verschuiven mag; buigen niet.
Tot slot
Alles wat correlatie doet, voelde je al in die vier kwadranten: gaan twee dingen dezelfde kant op, of trekken ze tegen elkaar in? De covariantie telt dat op — gemiddeld rechthoekje — en omdat ruw ruk is delen we ‘m door de twee spreidingen, zodat er een \(r\) uit komt die altijd tussen −1 en +1 ligt. (Al ’bewegen’ die egels natuurlijk niks; ze liggen daar gewoon. Wat samen varieert, zijn de metingen — deze egel, zó gemeten op leeftijd én lengte. ‘Samen bewegen’ is het gevoel; ‘samen variëren’ is wat er precies staat.) Maar let op wat een \(r\) je niet geeft: richting. Het is een dubbele pijl — leeftijd-en-lengte hangen samen, punt. Wie is hier nou de voorspeller? Daar zwijgt de correlatie over. In het volgende thema zetten we er één pijl op, één kant op, en voorspellen we lengte uít leeftijd. Dat is regressie.
Werkboek OZP 1 · Thema 5, versie 0.1 (handrekenen & theorie). Doorlopend voorbeeld: de egels.
Terug naar boven
