Thema 7 · Steekproevenverdeling & betrouwbaarheidsinterval

Deel 4 — Van steekproef naar populatie · de bordjes

Van één egel naar een hele steekproef

Tot nu toe keken we naar de score van één egel. Nu nemen we een hele steekproef — zeg 25 egels — en kijken naar hun gemiddelde. Want in de praktijk zien we de populatie nooit; we hebben alleen een steekproef, en daarmee willen we iets zeggen over alle egels. Dit is de stap naar inferentie: van steekproef naar populatie.

OpmerkingDe egels — pienterheid, nu in steekproeven

De pienterheid is normaal verdeeld met \(\mu_x = 100\) en \(\sigma_x = 15\) (thema 3). We trekken steekproeven van \(n = 25\) egels en kijken naar het steekproefgemiddelde \(\bar{x}\).

Drie verdelingen — niet door elkaar halen

Dit is hét struikelpunt van het hele vak, dus we maken het scherp. Er zijn drie verdelingen:

1. Populatieverdeling — de pienterheid \(x\) van alle egels. \(N(100, 15)\).
2. Steekproefverdeling — de 25 losse \(x\)-scores binnen één steekproef. Een klein, hobbelig wolkje.
3. Steekproevenverdeling — de verdeling van het stéékproefgemiddelde \(\bar{x}\) over heel veel steekproeven. Op het bordje staat geen \(x\), maar \(\bar{x}\).

Die derde is de nieuwe, en de belangrijkste.

Figuur 1: Twee curves overlapt: de brede populatieverdeling van pienterheid (lichtblauw, σx = 15) en de smalle steekproevenverdeling van het steekproefgemiddelde x̄ bij n = 25 (donkerblauw, σx̄ = 3). Beide hebben centrum 100. De bordjes liggen veel dichter bij elkaar dan individuele egels — dat is wat de standaardfout vangt.

De bordjes — het spelletje, opnieuw

Herinner je het spelletje uit thema 1 (er komt iets binnen, wat is je beste gok?). Nu schalen we het op:

Jullie nemen állemaal een steekproef van 25 egels, rekenen het gemiddelde uit, schrijven dat op een bordje, en hangen het op. Ik kom langs en gok wat erop staat. Mijn beste gok: 100 (het populatiegemiddelde). Maar het ene bordje zegt 103, het andere 97 — ze wijken af.

Die afwijking van een bordje is weer een gokfout. En de gemiddelde gokfout van een bordje is de standaardafwijking van het steekproefgemiddelde — die noemen we de standaardfout, \(\sigma_{\bar{x}}\).

TipIndividuen variëren met σ, statistieken met de standaardfout

Eén egel wijkt af met \(\sigma_x\). Eén bórdje (een steekproefgemiddelde) wijkt af met \(\sigma_{\bar{x}}\) — en dat is kleiner, want een gemiddelde “middelt de uitschieters weg”. Het is nog steeds gewoon een standaardafwijking (de gemiddelde gokfout) — alleen van een ander soort gebeurtenis: niet een individu, maar een steekproefuitkomst.

De standaardfout

\[\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma_x}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3\]

(Herinner je uit thema 4: een variantie schaalt met het kwadraat van een factor. Een gemiddelde is een gewogen optelling; daar valt de \(\sqrt{n}\) uit — dáárom \(\sqrt{n}\).) Speel met \(n\) en je ziet de theorie:

\(n\)	\(\sigma_{\bar{x}} = 15/\sqrt{n}\)
9	5
25	3
100	1,5

Hoe groter de steekproef, hoe dichter de bordjes bij elkaar liggen — hoe preciezer je schatting.

TipCentrale limietstelling — waarom we de z-tabel mogen gebruiken

Het bijzondere (en eigenlijk flauwe): als je steekproef groot genoeg is (vuistregel \(n \gtrsim 15\)), dan is de steekproevenverdeling bij benadering normaal — hoe lelijk of scheef de populatie ook is. Daarom mogen we voor \(\bar{x}\) gewoon de z-tabel pakken. Let op het woordje bij benadering: een steekproevenverdeling is nooit exact normaal (dat vereist oneindig veel steekproeven), wel dichtbij genoeg.

Het betrouwbaarheidsinterval

We vonden in onze enige echte steekproef \(\bar{x} = 106\). Dat is onze puntschatting van \(\mu_x\). Maar één getal is te stellig — we geven een range eromheen waarvan we redelijk zeker zijn dat de ware \(\mu_x\) erin ligt:

\[\bar{x} \pm z^* \cdot \sigma_{\bar{x}}\]

Voor 95% zekerheid is \(z^* = 1{,}96\) (de heilige z-waarde). Dus:

\[106 \pm 1{,}96 \cdot 3 = 106 \pm 5{,}88 = [\,100{,}12\,;\,111{,}88\,]\]

Dat stuk dat je naar links én rechts gaat, \(M = z^* \cdot \sigma_{\bar{x}} = 5{,}88\), heet de foutenmarge (de halve breedte). De \(z^*\)-waarden uit je hoofd: 90% → 1,645; 95% → 1,96; 99% → 2,576.

TipWelke kant op? p → z → x (lineaaltje = σ_x̄)

Een betrouwbaarheidsinterval is gewoon de richtings-engine uit thema 3, maar nu met de standaardfout als lineaaltje. Je krijgt een kans (het CI-niveau) en zoekt een gebeurtenis (de grenzen): dus \(p \to z \to x\). Het fietsje vertrekt nu vanuit \(\bar{x}\), met snelheid \(\sigma_{\bar{x}}\), en je wandelt \(z^*\) lineaaltjes naar links en naar rechts.

OpmerkingWat betekent ‘95%’ precies? (het hoefijzer)

Strikt genomen: als je dit spelletje 100 keer zou doen — 100 keer een steekproef nemen en een 95%-interval berekenen — dan bevat in 95 van die 100 gevallen het interval de ware \(\mu_x\). (Als een hoefijzer dat je 100 keer naar de paal gooit en 95 keer raak.) De “gezellige” lezing — met 95% zekerheid ligt \(\mu_x\) tussen 100,12 en 111,88 — mag je voelen, maar weet dat de strikte versie over de intervallen gaat, niet over deze ene.

Foutenmarge en steekproefgrootte

De foutenmarge hangt af van \(n\): meer egels → kleinere \(M\). Andersom kun je vooraf uitrekenen hoeveel egels je nodig hebt voor een gewenste precisie. Wil je \(M \le 2\) bij 95% (\(\sigma_x = 15\))?

\[n = \left(\frac{z^* \cdot \sigma_x}{M}\right)^2 = \left(\frac{1{,}96 \cdot 15}{2}\right)^2 = 14{,}7^2 = 216{,}09 \;\to\; 217\]

(Naar boven afronden — met 216 zit je nog net boven de grens; meer egels = kleinere marge.)

Oefenen

OpmerkingT7.1 — Standaardfout en n

De pienterheid heeft \(\sigma_x = 15\). (a) Wat is de standaardfout bij \(n = 9\)? En bij \(n = 100\)? (b) Waarom wordt het interval smaller als \(n\) groter wordt?

OpgeletAntwoord T7.1

(a) \(\sigma_{\bar{x}} = 15/\sqrt{9} = 5\); en \(15/\sqrt{100} = 1{,}5\).

(b) Een groter \(n\) middelt de uitschieters sterker weg, dus de bordjes (steekproefgemiddelden) liggen dichter bij elkaar → kleinere \(\sigma_{\bar{x}}\) → kleinere foutenmarge \(z^*\sigma_{\bar{x}}\) → smaller interval. Meer informatie, preciezere schatting.

OpmerkingT7.2 — Een interval bouwen

Een steekproef van \(n = 9\) egels geeft \(\bar{x} = 108\) (\(\sigma_x = 15\)). Bouw het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor \(\mu_x\). Ligt 100 erin?

OpgeletAntwoord T7.2

\(\sigma_{\bar{x}} = 15/\sqrt{9} = 5\). Foutenmarge \(M = 1{,}96 \cdot 5 = 9{,}8\). Interval: \(108 \pm 9{,}8 = [\,98{,}2\,;\,117{,}8\,]\). Wandel je van links naar rechts, dan kom je 100 tegen — dus ja, 100 ligt erin. (In thema 8 zie je: dat betekent dat we bij een toets H₀: \(\mu_x = 100\) niet zouden verwerpen.)

Wat blijft liggen

Hier gebruiken we \(\sigma_x\) alsof we ’m kennen. In de echte wereld ken je de populatie-standaardafwijking nooit (alleen God) — dan schat je ’m met \(s_x\) uit de steekproef, wordt het lineaaltje de standaardfout \(s_x/\sqrt{n}\), en gebruik je de \(t\)-verdeling in plaats van \(z\). Dat komt in thema 9. En in thema 8 draaien we de vraag om: niet “wat is \(\mu_x\)?”, maar “ís \(\mu_x\) gelijk aan een bepaalde waarde?” — dan toetsen we.

Tot slot

Drie verdelingen, één nieuw beeld: de bordjes. De standaardfout is de spreiding van die bordjes, \(\sigma_x/\sqrt{n}\), en daarmee bouw je een betrouwbaarheidsinterval rond je schatting. Het is nog steeds de richtings-engine — alleen wandelt het fietsje nu met de standaardfout als lineaaltje. In het volgende deel gaan we toetsen.

---

Werkboek OZP 1 · Thema 7, versie 0.1 (handrekenen & theorie; SPSS later). Doorlopend voorbeeld: de egels.